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第6次数值积分 插值型积分 误差 求积公式的收敛性与稳定性 计算方法 NumericalAnalysis 第四章数值积分 数值积分引论机械求积方法以简单函数近似逼近被积函数方法 插值型求积公式插值型求积公式的例子求积公式的收敛性和稳定性 数值积分引论 第四章数值积分 4 0引言若函数f x 在区间 a b 上连续且其原函数为F x 则可用Newton Leibnitz公式 求定积分的值 评论 Newton Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用 但它并不能完全解决定积分的计算问题 1 被积函数f x 没有用初等函数的有限形式表示的原函数F x 例如 2 被积函数f x 的原函数能用初等函数表示 但表达式太复杂 例如的原函数 则无法应用Newton Leibnitz公式 在实际计算中经常遇到以下三种情况 3 被积函数f x 没有具体的解析表达式 其函数关系由表格或图形表示 对于以上情况 通过Newton Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的 因而需要研究一种新的积分方法 数值解法来建立积分的近似计算方法 将积分区间细分 在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分 这就是数值积分的思想 用代数插值多项式去代替被积函数f x 进行积分是本章讨论数值积分的主要内容 Home 机械求积方法 4 1数值积分概述 图4 1数值积分的几何意义 积分值的几何表示 由x a x b y 0以及y f x 这四条边所围的曲边梯形面积 该面积难于计算是因为它有一条曲边y f x 4 1 1数值积分的基本思想 y f x y a b 最常用的建立数值积分公式的两种方法 本段讲授机械求积方法 即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为 b a 高为的矩形面积 但点 的具体位置是未知的 因而的值也是未知的 第1种 机械求积方法 第2种 使用简单函数近似代替被积函数的方法 由积分中值定理可知 对于连续函数f x 在积分区间 a b 内存在一点 使得 谜 三个求积分公式 y 构造出一些求积分值的近似公式 则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式 梯形公式中的 y 中矩形公式中的 例如分别取 梯形公式 x a b y f x a b 用梯形面积代表积分值 中矩形公式 y f x a b y x a b 2 a b 用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值 y f x y Simpson公式 a b Simpson公式是以函数f x 在a b a b 2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f a b 2 Home 以简单函数近似逼近被积函数方法插值型求积公式 先用某个简单函数近似逼近f x 用代替原被积函数f x 即 函数应该对f x 有充分的逼近程度 并且容易计算其积分 第2种 使用简单函数近似代替被积函数的方法 以此构造数值算法 通常 将选取为f x 的插值多项式 这样f x 的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替 要求 4 1 2插值求积公式 其中 对k 0 n 其中 称为求积系数 取作为的近似值 即 记为 定义4 1求积公式 当其系数时 则称求积公式为插值 型 求积公式 4 1 记 4 1 的余项为 由插值余项定理得 其中 注意 当f x 是次数不高于n的多项式时 因此 求积公式 4 1 成为准确的等式 例1给定插值节点 为定积分 构造插值求积公式 解 以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为 从而 得到插值型求积公式如下 例2设积分区间 a b 为 0 2 取 解 梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示 计算其积分结果并与准确值进行比较 分别用梯形和辛卜生公式 可以看出 当f x 是x2 x3 x4时 辛卜生公式比梯形公式更精确 同学们 自己验证 某求积公式能对多大次数的多项式f x 成为准确等式 是衡量该公式的精确程度的重要指标 代数精度的定义 如果求积公式 4 1 对于一切次数小于等于m的多项式 是准确的 而对于次数为m 1的多项式是不准确的 则称该求积公式具有m次代数精度 在公式4 1中 令f x 1 x x2 x3 xn 若求积公式 4 1 的代数精度为n 则其系数应满足 定理4 1n 1个节点的求积公式 为插值型求积公式 公式至少具有n次代数精度 证 必要性 设n 1个节点的求积公式 插值型求积公式判断条件 为插值型求积公式 求积系数为 又 当f x 为不高于n次的多项式时 f x P x 其余项R f 0 因而这时求积公式至少具有n次代数精度 充分性 若求积公式至少具有n次代数精度 则对n次多项式 精确成立 即 从而 所以由 和 知 即求积公式为插值型求积公式 其中 重要结论 梯形公式具有1次代数精度 辛卜生公式有3次代数精度 同学们自己验证 取f x 1 显然上式两端相等 取f x x 取f x x2 所以梯形公式只有1次代数精度 下面以梯形公式为例进行验证 Home 插值型求积公式的例子 例3试确定一个至少具有2次代数精度的公式 解 要使公式具有2次代数精度 则对f x 1 x x2 求积公式准确成立 即得如下方程组 解之得 所求公式为 插值型求积公式 系数的值与1 积分区间 a b 有关 2 节点的选取有关 3 和具体的f x 无关 例4试确定求积系数A B C 使得 可验证 该公式对于f x x3也成立 意外收获 而对x4不成立 因此 该求积公式有3次代数精度 A 1 3 B 4 3 C 1 3 具有最高的代数精度 解 分别取f x 1 x x2 使求积公式准确成立 得 Simpson求积公式 做法 选定n 1个插值节点 按照插值公式构造求积公式后 应验算该求积公式是否还有n 1次或更高的代数精度 问题 n 1个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高 回答 n 1个节点的插值求积公式保证了至少有n次代数精度 结论 n 1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n 但是有可能比n还大 解 该插值求积公式具有3个节点 因此至少有2次代数精度 例5已知插值求积公式 按照插值公式构造的系数 将f x x3代入公式两端 左端 右端 b4 a4 4 公式两端严格相等 再代入f x x4两端不相等 故该求积公式具有3次代数精度 讨论该公式的代数精度 Simpson公式 是否有3次代数精度呢 的代数精度 例6考察求积公式 评论 三个节点不一定具有2次代数精度 因为不是插值型的 解 可验证 对于f x 1 x时公式两端相等 再将f x x2代入公式 经过计算 左端 2 3 右端 1 所以该求积公式具有1次代数精度 课堂练习 例7给定求积公式如下 试证此求积公式是插值型的求积公式 证明 从而求积公式至少有2次代数精度 由定理4 1 此求积公式是插值型求积公式 可验证 该公式有3次代数精度 课堂练习 上的插值基函数 和插值求积公式如下 另外一种验证方法 具体地计算出以下插值型求积公式中的积分系数 A B C 实际上 在例1中 已经求出了在插值节点 这和题目中所给定的求积公式相同 因此题目中的积分公式是插值型求积公式 这个方法比较复杂 例8求证 不是插值型的 证明 设x0 1 x1 0 x2 1 从而求积公式拥有3个节点 但是仅有1次代数精度 由定理4 1 此求积公式不是插值型求积公式 课堂练习 例9给定求积公式 试确定求积系数A 1 A0 A1 使其有尽可能高的代数精度 并指出其代数精度 解 令求积公式对f x 1 x x2准确成立 则有 课堂练习 解之得 其代数精度至少为2 将f x x3代入求积公式两端相等 将f x x4代入求积公式两端不相等 所以其代数精度为3次 构造插值求积公式有如下特点 1 复杂函数f x 的积分转化为计算多项式的积分 2 求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关 而与被积函数f x 无关 无论f x 如何 永远可以预先算出Ak的值 3 n 1个节点的插值求积公式至少有n次代数精度 4 求积系数之和可用此检验计算求积系数的正确性 1 在积分区间 a b 上选取节点xk 3 利用f x 1 x xn 验算代数精度 构造插值求积公式的步骤 2 求出f xk 及利用或解关于Ak的线性方程组求出Ak 得到 例10对 构造至少有3次代数精度的求积公式 同学自己完成 解 3次代数精度需4个节点 在 0 3 上取0 1 2 3四个节点构造求积公式 确定求积系数Ak k 0 1 2 3 利用求积系数公式 因为求积公式有4个节点 所以至少具有3次代数精度 只需将f x x4代入来验证其代数精度 将f x x4代入两端不相等 所以只有3次代数精度 Home 求积公式的收敛性和稳定性 4 1 5 求积公式的收敛性和稳定性 一般地 求积公式 通常称为机械求积公式 若f x 在 a b 上有n 1阶连续导数 则插值型求积公式的余项的表达式为 误差估计公式 例1使用以下的插值型求积公式 计算 并且估计误差 解 利用以上求积公式 得 误差估计 用牛顿 莱布尼茨公式计算 得精确解 本题近似计算结果 2 3619 计算x 1 x2 在 0 1 上的定积分 得到误差估计 R f e 12 0 2266 实际误差R 2 3619 2 3504 0 0115 问题 为什么实际误差比使用公式得到的误差估计值要小 求积公式的收敛性定义 定义2在求积公式 1 3 中 若 其中 则称求积公式 1 3 是收敛的 求积公式的稳定性定义 则称公式 1 3 是稳定的 不会由f xk 的微小误差而导致积分值产生大的变化 定理2若求积公式 1 3 中的系数Ak 0 k 0 1 n 则求积公式是稳定的 证明 按照稳定性定义 求积公式是稳定的 作业习题1 1 3 2 1 Home