计算方法之计算矩阵的特征值和特征量.ppt

1 定义设A为n阶方阵 若存在常数 与n维非零向量X使AX X成立 则称 为方阵A的特征值 非零向量X为A的对应于 的特征向量 由AX X A E X 0此方程有非零解的充要条件是 A E 0 即 特征多项式方程 2 在线性代数中按如下三步计算 1 计算出A的特征多项式 A E 2 求出特征方程 A E 0的全部根 i3 将 i代入 A iE X 0求出基础解系 即得A的对应于 i的特征向量 而基础解系的线性组合即为A的对应于 i的全部特征向量 3 解 计算特征多项式方程 即 解得A的两个特征值 1 4 2 2 1 1 4将 1 4代入 A E X 0得 A 4E X 0 4 取对应于 1 4的基础解向量 则对应于 1 4的全部特征向量为 2 2 2将 1 2代入 A E X 0得 A 2E X 0 取对应于 2 2的基础解向量 5 方法局限性 当矩阵阶数较高 如阶数n 4 时 将面临两方面的难题 1 多项式的计算对舍入误差非常敏感 2 求高次方程的根尤其是重根存在困难 则对应于 2 2的全部特征向量为 特 征 值 的 数 值 计 算 方 法 1 幂法 求按模最大特征值 即 2 反幂法 求按模最小特征值 即 3 Jacobi法 求实对称矩阵所有特征值和特征向量 6 幂法是一种迭代法 基本思想 把矩阵的特征值和特征向量作为一个无限序列的极限来求得 如对于n阶方阵A 任取一个初始向量X 0 作迭代计算X k 1 AX k 则可得迭代序列X 0 X 1 X k 序列的收敛情况与A的按模最大特征值有密切关系 分析序列的极限 即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值 7 下面介绍两种简单情况 一 按模最大特征值只有一个 且是单实根 二 按模最大特征值是互为反号的实根 8 定理设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi 其对应的特征值为 i i 1 2 n 且满足 1 2 n 则对任何非零初始向量V 0 至少第1个分量不为0 所构成的迭代序列V k 1 AV k k 0 1 2 有 其中 表示 中的第j个分量 一 按模最大特征值只有一个 且是单实根 9 证明 因为A具有n个线性无关的特征向量Xi i 1 2 n 而任一n维的非零向量 如V 0 总可以用Xi的线性组合来表示 V 0 1X1 2X2 nXn 其中 1 0 取V 1 AV 0 V 2 AV 1 A2V 0 10 V k 1 AV k Ak 1V 0 以构成向量迭代序列 由矩阵特征值的定义有 AXi iXi i 1 2 n 则有 11 同理可得 V k 1 的第j个分量 V k 的第j个分量 那么 12 由已知条件 故有 所以 定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法 1 取一非零初始向量V 0 如V 0 1 1 1 T 2 作迭代计算 V k 1 AV k 3 当k充分大时取 13 或者用各个分量比的平均值作为最大特征值 4 求 1所对应的特征向量 由 可得 而 故 则V k 即为所求对应 1的特征向量 14 例用幂法求下面的按模最大特征值及对应的特征向量 1 即初始非零向量V 0 2 作迭代计算V k 1 AV k 15 最大特征值的计算 特征向量 V 11 16 设n阶方阵A有n个线性无关的特征向量Xi 其对应的特征值为 i i 1 2 n 且满足 1 2 3 n 设其中 1 0 1 2 二 按模最大特征值是互为反号的实根 由迭代变换 17 迭代计算中V k 呈规律性摆动 当k充分大时有 则有 同理 k充分大时 再由 可得 取 18 规范化幂法运算 由 1 当 1 1时 V k 与V k 1 的各个不等于0的分量将随k的增大而过快地增大 而可能 溢出 2 当 1 1时 V k 与V k 1 的各个分量将随k的增大而过快地减小而趋于0 上述两种情况都会导致计算结果不准确 19 解决措施 在计算V k 1 之前 先将V k 规范化 具体操作如下 1 取U 0 V 0 1X1 2X2 nXn 非零向量 计算V 1 V 1 AU 0 AV 0 2 取U 1 即用V 1 中绝对值最大的分量去除V 1 中的所有分量 其次计算V 2 20 3 取U 2 即用V 2 中绝对值最大的分量去除V 2 中的所有分量 其次计算V 3 k 1 取U k 21 即用V k 中绝对值最大的分量去除V k 中的所有分量 其次计算V k 1 计算过程总结如下 22 由 规范化幂法运算中的几种情况 一 按模最大特征值 1是单实根 且 1 0 此时迭代向量序列 V k 将正常收敛 23 由向量知识 X1是对应 1的特征向量 那么 也是对应 1的特征向量 即可用U k 作为所求对应于 1的特征向量 由 那么 24 即 当k充分大时可用V k 1 中的最大分量作为所求最大特征值 1 25 解 取初始向量V 0 U 0 1 1 1 T 结果如下 由表可知 最大特征值为 1 44 99953对应特征向量为 1 0 33333 0 66667 T 26 此种情形下 按模最大特征值为 二 按模最大特征值 1是单实根 但 1 0 此时迭代向量序列 V 2k 和 V 2k 1 将分别收敛于互为反号的向量 当k充分大时 的符号会交替变号 而对应于 1的特征向量仍为U k 27 1 2 3 n 设其中 1 0 1 2 三 按模最大特征值是互为反号的实根 即 此时迭代向量序列 V 2k 和 V 2k 1 将分别收敛于两个互不相同的向量 当规范化运算到k充分大时停止 再作一次非规范化运算 则按模最大特征值 而特征向量仍为 28 验证 当k充分大时 29 故有 30 规范化幂法算法描述 1是单实根 且 1 0 一 数据说明a n n 存放方阵A中各元素 V0 n 表示迭代式中的V k V1 n 表示迭代式中的V k 1 U n 规范化向量lamda 按模最大特征值EPS 精度控制量二 操作步骤Step1输入A中元素 31 Step2V0 n 0 0 0 T V1 n 1 1 1 TStep3While V1 V0 EPSDOStep4V0 V1 Step5计算V k 1 AV k U i V0 i max V0 i 计算V k 1 AU k Step6计算 V1 V0 EndWhileStep7Output lamda max V1 n U n 32 设待求n阶矩阵A可逆 且其特征值为 i i 1 2 n 对应的特征向量为Xi 二者满足关系式AXi iXi等式两边同时乘以A 1 得Xi iA 1Xi 即 由特征值与特征向量的定义 知 为A 1的特征值 而Xi为对应的特征向量 33 显然 如果 i是A的按模最小特征值 那么其倒数则是A 1的按模最大特征值 问题的解决 求规范化幂法求出A 1的按模最大特征值 取其倒数即A的按模最小特征值 即 考虑A 1的计算烦琐 将上式变换为 反幂法 34 计算步骤 1 将A进行LU分解 2 取初始向量U 0 V 0 计算V 1 AU 0 U 1 V 1 V 1 代入AV 2 U 1 求V 2 U 2 V 2 V 2 代入AV 3 U 3 求V 3 当 V k 1 V k EPS时停止 3 取1 max V k 1 为按模最小特征值U k 为对应特征向量 35 实例 用反幂法求 的按模最小特征值 解法用先对A进行LU分解 取初始向量V 0 U 0 1 1 T 按 计算出V 1 再计算U 1 36 编程作业 编制反幂法求方阵按模最小特征值的程序 1 什么是实对称矩阵 对实矩阵A 若有A AT 即aij aji 则A为实对称矩阵 2 Jacobi法的基本思想 1 对实矩阵A 其所有特征值均为实数 而且一定存在一个正交矩阵P 使 37 其中 i i 1 2 n 即A的全部特征值 而正交矩阵P的第i列是对应于 i的特征向量 2 直接找到正交矩阵P非常困难 但可用一系列一系列的正交矩阵P1 P2 Pk反复作用于A 即作如下正交变换 38 使变换后的矩阵A k 1 在非主对角线上的元素趋近于0 而主对角线上的元素即为A的各个特征值的近似值 以矩阵P P1P2 Pk 1Pk的第i列作为对应于 i的特征向量 3 正交矩阵系列P1 P2 Pk如何构成 以2阶实对称矩阵A为例来考虑 其中 如何通过正交矩阵变换 将A转换为对角矩阵以求出其全部特征值呢 39 1 由实对称矩阵与二次型存在一一对应的关系 则A对应的二次型为 2 如何转化为标准型 坐标旋转 相当于如下矩阵变换 或者 40 其中 则可得标准二次型 3 再由 因 故有 41 令 因PPT E 故P为正交矩阵 结论 对2阶的实对称矩阵A 选取适当旋转角 作正交变换PTAP B 而b11和b22即A的两个特征值 P的两个列向量即对应的特征向量 解取正交矩阵 42 对A作正交变换 选取旋转角 45 使sin2 cos2 0 则有 43 则对应于特征值 1 4的特征向量为 对应于特征值 2 2的特征向量为 上述方法即为Jacobi法 44 Jacobi法应用于n阶实对称矩阵A 取如下正交矩阵 45 该矩阵的特点 1 主对角线元素vpp vqq cos 其余为1 2 两个非对角线元素 vpq vqp sin 3 剩余的其它元素均为0 现以V对A 其中aij aji i j 作正交变换得A 1 通过直接计算可知 除p q两行和p q两列以外 其余元素不变 A 1 中各元素的计算公式 46 选取旋转角 使满足 则可使一对非主对角线元素 47 一般地 取不同参数p q和 得不同正交矩阵V p q 逐次作用于A 1 A 2 A k 每变换一次都将使A的一对非主对角线元素化为0 不难证明 可知 随正交变换的逐次进行 主对角线元素所占的比重越来越大 而非主对角线元素所占比重越来越小 最后将趋近于0 48 若给定 0 当变换次数k充分大时 使满足 此时 矩阵A k 的主对角线元素即所求特征值 另外 在每次选取正交矩阵V p q 时 若使 即选取旋转主元 则可加快正交变换的效率 如 取 49 雅可比方法的算法描述先对下式做简化处理 令 则有 求出此方程的根 即确定了正交矩阵V p q 的旋转角度 分两种情形考虑 1 若app aqq 则t 1 取 45 2 若app aqq 则t取绝对值较小的根 50 确定了旋转角度 后即可计算 一 数据说明a n n 初值为n阶实对称A 结果为对角矩阵 其主对角线元素为所求特征值 v pq n n 每次变换前所选取的正交矩阵 v n n 各个正交矩阵的乘积V1V2 Vk 其列向量为对应某特征值的特征向量 EPS 误差控制量 51 二 操作步骤Step1输入a n n 中的元素Step2v n n 赋初值为单位矩阵 Step3 Step4While sum EPS Do Step5选取 Step6确定 并计算sin 和cos Step7为v pq n n 赋值 Step8计算a n n 中相关元素 Step9v n n v n n v pq n n Step10计算sumEndWhile