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第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1.(xx陕西)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y0,则这条抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(xx威海)抛物线y=ax2+bx+c(a0)如图所示,下列结论错误的是()A.abc0B.a+c4acD.2a+b03.(xx甘肃兰州)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为()A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-64.如图,一次函数y1=kx+n(k0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+nax2+bx+c的解集为()A.-1x9B.-1x9C.-1x9D.x-1或x95.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是()二、填空题6.(xx湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m1)的图象与x轴交点的判断,正确的是()A.没有交点B.有一个交点,且它位于y轴右侧C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧2.(xx枣庄)下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是()A.b20C.2a-b=0D.a-b+c=03.(xx潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或64.(xx菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=a+b+cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是()二、填空题5.(xx青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.6.(xx淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为.三、解答题7.(xx广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,求sinOCB的值.8.(xx陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标,并求ABC的面积;(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L,且L与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C,要使ABC和ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y千米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=-32t2+12t+30,若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3 sB.4 sC.5 sD.6 s3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分如图所示,x=-1是对称轴,下列结论:acy2;将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=a(x2-9).其中正确的是()A.B.C.D.二、填空题4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:温度t/-4-2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想并推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为.5.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是.三、解答题6.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是1 100元.(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元?(注:净收入=租车收入-管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元/台,就可多售出50台.供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;(2)求售价x的范围;(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?8.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a0)相交于A12,52和B(4,m)两点,点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PCx轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.9.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B(3,0),C(0,3)两点,抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B,C三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线在x轴下方的一个动点,过点M作MNy轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使PBN是以BN为腰的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.10.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=-49x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.(1)求抛物线的函数解析式;(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,CPQ的面积为S.求S关于m的函数表达式;当S最大时,在抛物线y=-49x2+bx+c的对称轴l上是否存在点F,使DFQ为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图1,平面直角坐标系中,二次函数y=-14x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于点A、B、C,其中点A(0,8),OB=12OA.(1)求二次函数的表达式;(2)若OD=OB,点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E为DF的中点.当CEF的面积最大时,求出点E的坐标;如图2,将CEF绕点E旋转180,C点落在M处,若M点恰好在该抛物线上,求出此时CEF的面积.12.如图,直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(-1,0).(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DEBC于E,作DFy轴交BC于F,求DEF周长的最大值;(3)在满足第(2)问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使DFP=DBC.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-32且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC,BC.求四边形PABC面积的最大值,并求出此时点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与ABC相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1.C当x=1时,y=a+2a-1+a-30,解得a1,又根据抛物线顶点坐标公式可得-2a-12a0,4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选C.2.DA.由图象开口可知:a0,b0,由抛物线与y轴的交点可知:c0,abc0,故A正确;B.由图象可知:x=-1时,y0,y=a-b+c0,a+c2,a0,4ac-b24ac,故C正确;D.对称轴x=-b2a1,a0,2a+b0,故D错误.故选D.3.A4.A5.D二、填空题6.答案-3a-2或13a12解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得am2+(a2-1)m-a=0,m=-(a2-1)(a2-1)2+4a22a=-(a2-1)(a2+1)2a,解得m1=1a,m2=-a,2m3,21a3或2-a3,解得13a12或-3a1,=(-2a)2-4a=4a(a-1)0,ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,x=2a-4a(a-1)2a0,故选D.2.D抛物线与x轴有两个交点,b2-4ac0,即b24ac,所以A选项错误;抛物线开口向上,a0,抛物线与y轴的交点在x轴下方,c0,ac0,所以B选项错误;二次函数图象的对称轴是直线x=1,-b2a=1,2a+b=0,所以C选项错误;抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),a-b+c=0,所以D选项正确.故选D.3.B对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h5.当h5,2x5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选B.4.B二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,a0,该抛物线对称轴位于y轴的右侧,a、b异号,即b0.当x=1时,y0,a+b+c9解析抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,0,即(-6)2-41m9.6.答案2解析如图,B,C是线段AD的三等分点,AC=BC=BD,由题意得:AC=BD=m,当y=0时,x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x1=1,x2=-3,A(-3,0),B(1,0),AB=3+1=4,AC=BC=2,m=2,故答案为2.三、解答题7.解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,得0=-1+a+b,0=-9+3a+b,解得a=4,b=-3.抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)当点P是线段BC的中点时,易得点P的横坐标为32,当x=32时,y=34,所以点P的坐标为32,34.(3)由(2)得点C的坐标为0,32,OC=32,又OB=3,BC=OC2+OB2=352.sinOCB=OBBC=3352=255.8.解析(1)令y=0,得x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,A(-3,0),B(2,0).AB=5,令x=0,得y=-6,C(0,-6),OC=6,SABC=12ABOC=1256=15.(2)由题意得AB=AB=5.要使SABC=SABC,只要抛物线L与y轴的交点为C(0,-6)或C(0,6)即可.设所求抛物线L:y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.抛物线L与抛物线L的顶点的纵坐标相同,24-m24=-24-14,-24-n24=-24-14,解得m=7,n=1(n=1舍去).抛物线L的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.二次函数的综合应用培优训练一、选择题1.C当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,b=-21a,根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,得当x=-b2a=10.5时,y最大,即高度最高.故选C.2.B礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下,高度h取最大值时,t=-b2a,即t=-122-32=4.故选B.3.D二次函数的图象开口向下,a0,acy2,故正确;设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y=ax2+k,c=-8a,a+k=-8a,k=-9a,将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即y=a(x2-9),故正确.正确结论为.故选D.二、填空题4.答案-1解析设l=at2+bt+c(a0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组c=49,a+b+c=46,16a+4b+c=25,解得a=-1,b=-2,c=49,所以l与t之间的二次函数解析式为l=-t2-2t+49,当t=-b2a=-1时,l有最大值50,即最适合这种植物生长的温度是-1 .5.答案x4解析由题图可知,当x4时,直线y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,不等式mx+nax2+bx+c的解集为x4.三、解答题6.解析(1)由题意知,若观光车能全部租出,则00,解得x22,x是5的倍数,每辆车的日租金至少应为25元.(2)设每天的净收入为y元,当0100时,y2=50-x-1005x-1 100=50x-15x2+20x-1 100=-15x2+70x-1 100=-15(x-175)2+5 025,当x=175时,y2的最大值为5 025,5 0253 900,故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5 025元.7.解析(1)根据题中条件售价每降低10元/台,月销售量就可多售出50台,则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式为y=200+50400-x10,化简得y=-5x+2 200.(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务,则x300,-5x+2 200450,解得300x350.所以售价x的范围为300x350.(3)w=(x-200)(-5x+2 200),整理得w=-5(x-320)2+72 000.x=320在300x350内,当x=320时,w有最大值,为72 000,即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72 000元.8.解析(1)B(4,m)在直线y=x+2上,m=6,即B(4,6),A12,52和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,a122+12b+6=52,16a+4b+6=6,解得a=2,b=-8,抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.设动点P的坐标为(n,n+2),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2n-942+498,-20,抛物线开口向下,有最大值,当n=94时,线段PC的长有最大值498.9.解析(1)由题意将点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得a+b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,解得a=1,b=-4,c=3,抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点M的坐标为(m,m2-4m+3),MNy轴,点N的坐标为(m,-m+3).A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点M是抛物线在x轴下方的一个动点.1m3.线段MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-m-322+94,当m=32时,线段MN取最大值,最大值为94.(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).当m=32时,点N的坐标为32,32,PB=(2-3)2+(n-0)2=1+n2,PN=2-322+n-322,BN=3-322+0-322=322.PBN以BN为腰的等腰三角形,分二种情况:当PB=BN,即1+n2=322时,解得n=142,此时点P的坐标为2,-142或2,142.当PN=BN,即2-322+n-322=322时,解得n=3172,此时点P的坐标为2,3-172或2,3+172.综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使PBN是以BN为腰的等腰三角形,点P的坐标为2,-142或2,142或2,3-172或2,3+172.10.解析(1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式,得c=8,-4936+6b+c=0,解得b=43,c=8,抛物线的解析式为y=-49x2+43x+8.(2)OA=8,OC=6,AC=OA2+OC2=10,过点Q作QEBC与E点,则sinACB=QEQC=ABAC=35,QE10-m=35,QE=35(10-m),S=12CPQE=12m35(10-m)=-310m2+3m.S=12CPQE=12m35(10-m)=-310m2+3m=-310(m-5)2+152,当m=5时,S取最大值;在抛物线对称轴l上存在点F,使DFQ为直角三角形,抛物线y=-49x2+43x+8的对称轴为x=32,D的坐标为(3,8),Q的坐标为(3,4),当FDQ=90时,F132,8,当FQD=90时,则F232,4,当DFQ=90时,设F32,n,则FD2+FQ2=DQ2,即94+(8-n)2+94+(n-4)2=16,解得n=672,F332,6+72,F432,6-72,满足条件的点F共有四个,分别为F132,8,F232,4,F332,6+72,F432,6-72.11.解析(1)OA=8,OB=12OA=4,B(4,0),y=-14x2+bx+c的图象过点A(0,8),B(4,0),-1442+4b+c=0,c=8,解得b=-1,c=8,二次函数的表达式为y=-14x2-x+8.(2)当y=0时,-14x2-x+8=0,解得x1=4,x2=-8,C点坐标为(-8,0),D点坐标为(0,4),设直线CD的解析为y=kx+d(k0),故-8k+d=0,d=4,解得k=12,d=4,故直线DC的解析为y=12x+4.如图,过点F作y轴的平行线交DC于点P,设F点坐标为m,-14m2-m+8,则P点坐标为m,12m+4,则FP=-14m2-32m+4,SFCD=12FPOC=12-14m2-32m+48=-m2-6m+16,E为FD中点,SCEF=12SFCD=-12m2-3m+8=-12(m+3)2+252,当m=-3时,SCEF有最大值,-14m2-m+8=-149+3+8=354,E点纵坐标为12354+4=518,F-3,354,E-32,518.F点坐标为m,-14m2-m+8,C点坐标为(-8,0),D点坐标为(0,4),Mm+8,-14m2-m+12,又M点在抛物线上,-14(m+8)2-(m+8)+8=-14m2-m+12,解得m=-7,故SCEF=-12m2-3m+8=92.12.解析(1)直线y=-x+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C(0,2),设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0),把A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,解得a=-1,b=1,c=2,抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)设D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以x=1时,DF最大=1,OB=OC,OBC为等腰直角三角形,DEBC,DFy轴,DFE=OCB=45,DEF为等腰直角三角形,DEF周长的最大值为1+2.(3)存在.如图,当DEF周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,作PMDF于M,则DB=5,DH=2,OH=1,当DFP=DBC时,DFPDBF,DFDP=DBDF,DP=55,PMBH=DMDH=DPDB=15,PM=15,DM=25,P点的横坐标为OH+PM=1+15=65,P点的纵坐标为DH-DM=2-25=85,P65,85.13.解析(1)对于y=12x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,C(0,2),A(-4,0),由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-32对称,点B的坐标为(1,0).抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),B(1,0),可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),又抛物线过点C(0,2),2=-4a,a=-12,y=-12x2-32x+2.(2)设Pm,-12m2-32m+2.过点P作PQx轴交AC于点Q,Qm,12m+2,PQ=-12m2-32m+2-12m+2=-12m2-2m,SPAC=12PQ(xC-xA)=12PQ4=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,当m=-2时,PAC的面积有最大值4,易知SACB=12OCAB=1225=5.则四边形PABC面积的最大值是9,此时P(-2,3).(3)存在.在RtAOC中,tanCAO=12,在RtBOC中,tanBCO=12,CAO=BCO,BCO+OBC=90,CAO+OBC=90,ACB=90,ABCACOCBO,如下图:当M点与C点重合,即M(0,2)时,MANBAC;根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,MANABC;当点M在第四象限时,设Mn,-12n2-32n+2,则N(n,0),MN=12n2+32n-2,AN=n+4,当MNAN=12时,MN=12AN,即12n2+32n-2=12(n+4),整理得n2+2n-8=0,解得n1=-4(舍),n2=2,M(2,-3);当MNAN=21时,MN=2AN,即12n2+32n-2=2(n+4),整理得n2-n-20=0,解得n1=-4(舍),n2=5,M(5,-18).综上所述,存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与ABC相似.
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