2018-2019学年高二数学上学期第二次月考模拟试卷 理(含解析).doc

xx-2019学年高二数学上学期第二次月考模拟试卷 理(含解析)一选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（）A. 6 B. 6 C. D. 【答案】C【解析】【分析】两个平面垂直，则它们的法向量也垂直，利用法向量的数量积为零来建立方程，解方程求得的值.【详解】由于两个平面垂直，故它们的法向量也垂直，即.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.2.在（1，2）内的平均变化率为（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】利用平均变化率的定义列式求解，化简得出正确选项.【详解】当x=1时，y=3，当x=2时，y=5，故平均变化率为5321=2，故选C.【点睛】本小题主要考查平均变化率的概念及运算，考查运算求解能力，属于基础题.3.若x2m23是1x2m2-3是-1x0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=x+2，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A. x22y22=1 B. x24y24=1C. x23y23=1 D. x2y2=1【答案】A【解析】分析：根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a,b,c的关系，列出方程求出a2,b2，代入双曲线的方程即可.详解：双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:y=x+2，所以可得ba=1，y=x+2令y=0可得，x=-2，即c=a2+b2=4，解得a2=2,b2=2双曲线的方程是x22-y22=1，故选A.点睛：本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题. 本题主要考查待定系数求双曲线方程，属于简单题.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤；作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程x2a2y2b2=1或y2a2x2b2=1；找关系：根据已知条件，建立关于、b、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.5.若直线x+my2=0的倾斜角为30，则实数m的值是（）A. 33 B. 33 C. 3 D. 3【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，利用倾斜角和斜率的对应关系列方程，解方程求得实数m的值.【详解】将直线方程化为斜截式得y=-1mx+2m，故直线的斜率为-1m，根据斜率和倾斜角的对应关系有tan30=33=-1m，解得m=-3.故选C.【点睛】本小题主要考查直线一般式化为斜截式，考查直线倾斜角和斜率的对应关系，考查特殊角的三角函数值以及运算求解能力.直线方程的一般式Ax+By+C=0化为斜截式得到y=-ABx-CB，其中斜率是-AB，截距是-CB.斜率是倾斜角的正切值，其中90角的斜率不存在.6.已知f(x)=12x2+2xf(2016)2016lnx，则f(2016)=（）A. xx B. 2015 C. xx D. xx【答案】B【解析】【分析】将函数求导后，令x=2016代入导函数，可求得所求的结果.【详解】对函数求导得fx=x+2f20162016x，令x=2016代入得f2016=2016+2f20161，解得f2016=2015，故选B.【点睛】本小题主要考查导数的运算公式，考查运算求解能力.属于基础题.主要考点是afx=afx.7.如图，D是ABC的边AB的中点，则向量CD等于（）A. BC+12BA B. BC12BA C. BC12BA D. BC+12BA【答案】A【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得：CD=CB+BD=BC+12BA=12BABC.本题选择A选项.8.曲线x225+y29=1与曲线x225k+y29k=1(k9)的( )A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等【答案】D【解析】试题分析：，而曲线x225k+y29k=1(k1)的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是（）A. 曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称C. 曲线C关于坐标原点对称D. 曲线C经过坐标原点【答案】A【解析】【分析】先根据阿波罗尼斯圆的定义求得这个曲线C的方程，再根据所求得的方程对选项逐一进行排除，从而得出正确选项.【详解】设动点Px,y，根据阿波罗尼斯圆的定义有x+12+y2x12+y2=a，两边平方并化简得xa2+1a212+y2=2aa212，故圆的圆心为a2+1a21,0，半径为r=2aa21.由此可知圆关于x轴对称，不关于y轴，原点对称.B,C选项错误，A选项正确.由于a1，a2+12a21=2a，所以a2+1a212aa21，故圆不经过坐标原点，D选项是错误的.【点睛】本小题主要考查利用直接法求动点的轨迹方程，考查对新概念的理解，考查图形的对称性，属于中档题.11.已知ABC中，ACB=90，AB=2BC=2，将ABC绕BC旋转得PBC，当直线PC与平面PAB所成角的正弦值为66时，P、A两点间的距离是（）A. 2 B. 4 C. 22 D. 23【答案】C【解析】【分析】将直线PC与平面PAB所成的角作出来，根据线面角的正弦值为66列方程，求得未知的边长，结合勾股定理，即可得解.【详解】画出图像如下图所示.设D是PA的中点，则CDPA，过C作CEBD交BD于E，连接PE.由于BCAC,BCPC，所以BC平面ACP，所以BCPA，故PA平面BCD，所以PACE，结合CEBD，证得CE平面PAB.故CPE是直线PC与平面PAB所成的角.故CEPC=CE3=66，CE=22.设CD=n，则BD=1+n2，在直角三角形PCD中，利用面积公式有121n=121+n222，解得n=1，即CD=1，故PD=3-1=2,PA=2PD=22.【点睛】本小题主要考查直线与平面所成的角的作法以及应用，考查空间想象能力和几何作图能力，属于中档题.12.已知P是双曲线x24y2b2=1(b0)上一点，F1、F2是左右焦点，PF1F2的三边长成等差数列，且F1PF2=120，则双曲线的离心率等于（）A. 357 B. 352 C. 27 D. 72【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程求得的值，利用等差中项的性质，用来表示出PF1,PF2，根据余弦定理列方程，求得的值，由此求得离心率.【详解】根据双曲线的方程得a=2，由于PF1F2的三边长成等差数列，故2PF2=PF1+F1F2，根据双曲线的定义，有PF1PF2=2a=4，而F1F2=2c，由解得PF1=2c4,PF2=2c8，在PF1F2中，F1PF2=120，所以由余弦定理得2c2=2c42+2c82+2c42c8，化简得c29c+14=0，由于ca，故解得c=7，离心率为ca=72.【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查等差中项的性质，考查双曲线的定义，还考查了余弦定理解三角形.在双曲线的定义中，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数2a.在应用余弦定理时，要注意120角的余弦值是负数.最后要注意双曲线ca，所以解只有一个.二填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.已知f(x)=13x3+x，xR，若至少存在一个实数x使得f(ax)+f(ax21)0成立，a的范围为_【答案】(,1+22)【解析】【分析】首先判断出函数的的奇偶性和单调性，然后解不等式f(a-x)+f(ax2-1)0，去掉函数符号，接着分离常数，最后根据存在性求得的取值范围.【详解】由于fx=13x3+x=fx，所以函数为奇函数.注意到x3,x都是R上的增函数，故fx是增函数.由f(a-x)+f(ax2-1)0得fax21fax=fxa，故ax21xa，即ax2x+a10.当a0时，二次函数y=ax2x+a1，开口向下，故一定存在x，使得ax2x+a10成立.当a=0时，不等式化为x10，一定存在x，使x10时，需要一元二次不等式对应的判别式大于零，即14aa10，解得0a1；“=2+k(kZ)”是“函数y=sin(2x+)为偶函数”的充要条件；命题p:x0R，使sinx0+cosx0=32”；命题q: “若sinsin，则”，那么(p)q为真命题其中正确的序号是_【答案】【解析】命题“若=4，则tan=1”为真，所以其逆否命题为真命题；命题p:xR,sinx1则p:x0R，使sinx01；函数y=sin(2x+)为偶函数，则=2+k(kZ) ，所以“=2+k(kZ)”是“函数y=sin(2x+)为偶函数”的充要条件；因为sinx0+cosx02sin4，所以命题p，q:为假命题，所以(p)q为假命题所以正确命题的序号是点睛：1.命题的否定与否命题区别“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.三解答题（共6小题，满分10分）17.设函数f(x)=ax-bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0（1）求f(x)的解析式；（2）证明：曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值【答案】(1) f(x)=x3x (2)见解析【解析】【分析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点(2,f(2)在曲线上，利用方程联立解出a,b；（2）可以设P(x0,y0)为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可【详解】（1）因为函数f(x)=ax-bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为7x-4y-12=0所以f(x)|x=2=a+bx2|x=2=74，所以a+b4=74，2a-b2=12，解得a=1，b=3，故f(x)=x-3x；（2）证明：设P(x0,y0)为曲线上任一点，由y=1+3x2知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+3x02)(x-x0)，令x=0，得y=-6x0，从而得切线与直线x=0的交点坐标为(0,-6x0)；令y=x，得y=x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0，y=x，所围成的三角形面积为12|-6x0|2x0|=6故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6【点睛】本题考查了导数及切线方程、三角形面积的相关知识，运算量较大，属于中档题18.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心试用向量法证明E、F、G、H四点共面【答案】见解析【解析】【分析】画出图形，利用三角形的重心定义，结合平面向量的线性运算法则，得出EG=EF+EH，即证E,F,G,H四点共面【详解】分别延长PE、PF、PG、PH，交对边于M、N、Q、R点，因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R得到的四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR；如图所示，MQ=MN+MR=(PN-PM)+(PR-PM)=32(PF-PE)+32(PH-PE)=32(EF+EH)；又MQ=PQ-PM=32PG-32PE=32EG，32EG=32(EF+EH)，EG=EF+EH由共面向量定理知：E、F、G、H四点共面【点睛】本题考查了平面向量线性运算与应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是中档题目19.如图，已知梯形ABCD与梯形ADEP全等，PAAD，ED/PA，PC=3，PA=AD=AB=2，DE=BC=1，F为PC中点. （）证明：EF/平面ABCD（）点G在线段PC上(端点除外),且DG与平面PBC所成角的正弦值为105,求CGCP的值.【答案】()见解析；（）CGCP=23.【解析】试题分析：（）：设H为AC中点，连结FH,易得四边形EDHF是平行四边形，有EF/HD，进而可证线面平行；（）由PAAC，PAAD得PA平面ABCD，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x轴、y轴、轴正方向,建立空间直角坐标系A-xyz.设点G在PC上，且CG=CP，求得平面PBC的个法向量n，设DG与平面PBC所成角为，则sin=cosn,DG=105，从而得解.试题解析：（）证明：方法一：设H为AC中点，连结FH,因为F为PC中点,所以HF是PAC的中位线，HF/12AP.由已知DE/12AP，所以HF/DE，因此四边形EDHF是平行四边形，所以EF/HD.又EF平面ABCD，HD平面ABCD，所以EF/平面ABCD.方法二：延长线段PE，AD，交于点K，连结CK，由PA=2DE=2，则E是PK的中点，又F是PC的中点，所以EF是PCK的中位线，所以EF/CK.又EF平由ABCD，CK平面ABCD，所以EF/平面ABCD. （）由梯形ABCD与梯形ADEP全等,因为PAAD，BC/AD，所以ABBC，ABAD.RtABC中，PA=AB=2，BC=1 所以AC=AB2+BC2=5.因为PC=3,故有PA2+AC2=PC2,从而PAAC,又因为PAAD，ADAC=A,所以PA平面ABCD.以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向分别为x轴、y轴、轴正方向,建立空间直角坐标系A-xyz.设点G在PC上，且CG=CP，B(2,0,0)，P(0,0,),C(2,1,0)，D(0,2,0)，所以BC=(0,1,0)，CP=(-2,-1,2)设n=(x,y,z)是平面PBC的个法向量，则nBC=0,nCP=0,即y=0,-2x-y+2z=0,取n=(1,0,1)AG=AC+CG=(2,1,0)+(-2,-1,2)=(2-2,1-,2)，故DG=(2-2,1-,2)-(0,2,0)=(2-2,-1-,2).设DG与平面PBC所成角为，则sin=|cosn,DG|，即|2-2+2|2(2-2)2+(-1-)2+42=105.解得1=23，2=0(舍去),故CGCP=23.点睛：（1）利用向量法求线面角的方法分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时)；通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角（2）利用直线的方向向量求异面直线所成的角时，要注意直线方向向量的夹角和异面直线所成角的区别，不要得到错误的结论20.椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-23,0)、F2(23,0)，过F1且斜率为312 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l:y=12x+m与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+|QH|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】（）x216+y24=1.（）10. 【解析】试题分析：（）过F1(-23,0)且斜率为312的直线方程为y=312(x+23)，令x=23，则y=1，可得a2-b2=1212a2+1b2=1，求出a、b的值即可求得椭圆E的标准方程；（）由y=x2+mx2+4y2=16可得x2+2mx+2m2-8=0，设A(x1,y1),C(x2,y2)，根据弦长公式可得AC的值，根据两点间距离公式可得HQ的值，则AQ2+HQ2=14AC2+HQ2 =1454(32-4m2)+5m24=10.试题解析：（）过F1(-23,0)且斜率为312的直线方程为y=312(x+23)，令x=23，则y=1由题意可得a2-b2=1212a2+1b2=1，解得a2=16,b2=4，所以椭圆E的标准方程x216+y24=1.（）由y=x2+mx2+4y2=16可得x2+2mx+2m2-8=0，设A(x1,y1),C(x2,y2)则有x1+x2=-2mx1x2=2m2-8， AC=52(x1+x2)2-4x1x2=5232-4m2 ，又y1+y2=12(x1+x2)+2m=m，Q为AC的中点，Q(-m,m2)直线与x轴的交点为H(-2m,0)，所以HQ=m2+m24=5m24， AQ2+HQ2=14AC2+HQ2 =1454(32-4m2)+5m24=10，所以AQ2+HQ2为定值10. 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21.如图所示，三棱锥PABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC=5，AC=22,AB=2，BC=6（1）求证：PD平面ABC；（2）求二面角PABC的正切值大小【答案】(1)见解析 (2) 2 【解析】【分析】（1）连接BD，推导出PDAC,ABBC,PDBD，由此能证明PD平面ABC.（2）取AB的中点E，连接DE,PE，则DE/BC,由ABBC，得ABDE，由PD平面ABC，得PDAB，由ABDE，得AB平面PDE，从而PEAB，进而PED是二面角PABC的平面角，解三角形求得二面角PABC的正切值【详解】（1）连接BD，D是AC的中点，PA=PB=PC=5，PDACAC=22，AB=2，BC=6，AB2+BC2=AC2ABC=90，即ABBCBD=12AC=2=ADPD2=PA2-AD2=3，PB=5，PD2+BD2=PB2PDBDACBD=D，PD平面ABC.（2）取AB的中点E，连接DE、PE，由E为AB的中点，知DEBC，ABBC，ABDEPD平面ABC，PDAB又ABDE，DEPD=D，AB平面PDE，PEABPED是二面角PABC的平面角在PED中，DE=12BC=62，PD=3，PDE=90，tanPED =PDDE=2二面角PABC的正切值为2【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题22.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长23（1）求双曲线的方程（2）若直线l:y=kx+2与双曲线恒有两个不同的交点A，B，且AOB为锐角（其中O为原点），求k的取值范围【答案】（1）x23y2=1；（2）k(1,33)(33,1).【解析】试题分析; （1）依题意先设双曲线的方程为x2a2y2b2=1(a0,b0)，依据题中条件得到、的值，进而由b2=c2a2得到b2的值，进而写出双曲线的方程即可；（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，联立直线与双曲线的方程，消去y得到二次方程，要使AOB为锐角，只须OAOB0即可， 将OAOB0进行坐标化并将根据韦达定理得到表达式，可求范围。解析：（1）依题意可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0)则有2a=23且c=2，所以a=3，b2=c2-a2=4-3=1所以该双曲线的方程为x23-y2=1（2）y=kx+2x2-3y2=3x2-3(kx+2)2=3(1-3k2)x2-62kx-9=01-3k20=622k2+36(1-3k2)02k2+1-2k20k21x1+x2=62k1-3k2,x1x2=-91-3k2设A(x1,y1),B(x2,y2)OAOB=x1x2+(kx+2)(kx2+2) =(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+2，即综上：.点睛： 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用