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第一节平行四边形(含多边形)考点1多边形及其内角和与外角和1.xx北京中考改编若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的边数为()A.3B.4C.5D.62.xx湖南邵阳中考改编如图所示,在四边形ABCD中,ADAB,C=110,它的一个外角ADE=60,则B的度数是()A.30B.40C.50D.60(第2题)(第3题)3.xx山东济宁如图,在五边形ABCDE中,A+B+E=300,DP,CP分别平分EDC,BCD,则P的度数是()A.50B.55C.60D.654.xx上海中考改编通过画出多边形的对角线,可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题.如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有4条,那么该多边形的内角和是.5.xx山东聊城如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是.6.xx江苏南京如图,五边形ABCDE是正五边形.若l1l2,则1-2=.考点2平行四边形的性质7.xx四川宜宾在ABCD中,若BAD与CDA的平分线交于点E,则AED的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定8.xx黑龙江鸡西在平行四边形ABCD中,BAD的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分,则平行四边形ABCD的周长是()A.22B.20C.22或20D.189.xx山东青岛如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AEBC,垂足为E,AB=3,AC=2,BD=4,则AE的长为()A.32B.32C.217 D.2217(第9题)(第10题)10.xx江苏常州如图,在ABCD中,A=70,DC=DB,则CDB=.11.xx湖南衡阳如图,ABCD的对角线相交于点O,且ADCD,过点O作OMAC,交AD于点M,连接CM.如果CDM的周长为8,那么ABCD的周长是.(第11题)(第12题)12.xx湖南株洲如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,恰有BD=CD,过点A作AMBD于点M,过点D作DNAB于点N,且DN=32.在DB的延长线上取一点P,满足ABD=MAP+PAB,则AP=.13.(6分)xx福建A如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.考点3平行四边形的判定14.xx湖北天门在下列条件中,能够判定一个四边形是平行四边形的是()A.一组对边平行,另一组对边相等B.一组对边相等,一组对角相等C.一组对边平行,一条对角线平分另一条对角线D.一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线15.(8分)xx山西已知:如图,在ABCD中,延长AB至点E,延长CD至点F,使得BE=DF.连接EF,与对角线AC交于点O.求证:OE=OF.1.xx周口地区模拟如图,如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合,那么1的度数是 ()A.30B.15C.18D.20(第1题)(第2题)2.xx洛阳三模如图,在ABCD中,AD=2AB,CE平分BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4B.3C.52D.23.xx南阳地区模拟如图,平行四边形ABCD的顶点B,D都在反比例函数y=kx(x0)的图象上,点D的坐标为(2,6),ABx轴,点A的坐标为(0,3),将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,点C的坐标为()A.(1,3)B.(4,3)C.(1,4)D.(2,4)(第3题)(第4题)4.xx平顶山一模改编如图,在ABCD中,BC=202 cm,CD=20 cm,A=45,动点P从点B出发,沿BC向点C运动,同时动点Q从点D出发,沿DB向点B运动,点P和点Q的运动速度分别为32 cm/s和2 cm/s,其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t s,当BPQ是直角三角形时,t的值为()A.4 B.52C.52或4D.65.xx周口地区模拟如图,在ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,ACBC,且AB=10 cm,AD=8 cm,则OB=cm.(第5题)(第6题)6.xx南阳三模如图,四边形ABCD中,ADBC,AD=8 cm,BC=12 cm,M是BC上一点,且BM=9 cm,点E从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动,同时点F从点C出发,以3 cm/s的速度向点B运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s,则当以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,t=.7.(9分)xx广东中山一模如图,BD是ABC的角平分线,点E,F分别在BC,AB上,且DEAB,BE=AF.(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;(2)若ABC=60,BD=4,求ADEF的面积.第二节矩形、菱形和正方形考点1矩形的性质1.xx浙江衢州如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于()A.35B.53C.73D.54(第1题)(第2题)2.xx贵州遵义如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EFBC,分别交AB,CD于E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.183.xx山东威海矩形ABCD与矩形CEFG如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=()A.1B.23C.22D.52(第3题)(第4题)4.xx湖南株洲如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为.5.xx江苏连云港如图,E,F,G,H分别为矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,连接AC,HE,EC,GA,GF.已知AGGF,AC=6,则AB的长为.6.(9分)xx湖南张家界如图,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DFAE,垂足为F.(1)求证:DF=AB;(2)若FDC=30,且AB=4,求AD的长.7.(9分)xx江苏连云港如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.考点2矩形的判定8.xx上海已知ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是()A.A=B B.A=CC.AC=BDD.ABBC9.(9分)xx四川达州如图,在ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线EFBC,分别交ACB、外角ACD的平分线于点E,F.(1)若CE=8,CF=6,求OC的长;(2)连接AE,AF,问:当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.考点3菱形的性质10.xx湖南益阳下列性质中菱形不一定具有的是()A.对角线互相平分B.对角线互相垂直 C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形11.xx内蒙古赤峰如图,将边长为4的菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在对角线的交点O处,若折痕EF=23,则A=()A.120 B.100 C.60 D.30(第11题)(第12题)12.xx江苏宿迁如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,BAD=60,则OCE的面积是()A.3B.2C.23D.413.xx山东莱芜如图,菱形ABCD的边长为6,ABC=120,M是BC边的一个三等分点(CMBM),P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是()A.72B.273C.355D.264(第13题)(第15题)14.xx贵州黔西南州已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为23,则这个菱形的面积是.15.xx浙江宁波如图,在菱形ABCD中,AB=2,B是锐角,AEBC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若EMD=90,则cos B的值为.考点4菱形的判定16.xx山东临沂在ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DEAC,DFAB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A.若ADBC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,则四边形AEDF是菱形17.(9分)xx云南如图,ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E,F分别是AB,AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形;(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.考点5正方形的性质与判定18.xx广西梧州如图,在正方形ABCD中,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是()A.(-6,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,2)(第18题)(第19题)19.xx湖北宜昌如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EGAB, EIAD,FHAB,FJAD,垂足分别为点G,I,H,J,则图中阴影部分的面积等于()A.1 B.12C.13 D.1420.xx甘肃兰州在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是:(写出所有正确的序号).21.(9分)xx贵州遵义如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE0)的图象上,点D的坐标为(2,6),k=26=12,y=12x.点A的坐标为(0,3),点B的纵坐标为3,令3=12x,解得x=4,点B的坐标为(4,3).又四边形ABCD是平行四边形,ABx轴,D(2,6),C(6,6).将这个平行四边形向左平移2个单位,再向下平移3个单位后,点C的坐标为(4,3).故选B.4.C过点D作DHBC于点H.四边形ABCD是平行四边形,C=A=45,DH=CH.CD=20 cm,DH=CH=102 cm,BH=BC-CH=202-102=102(cm),BH=CH,BD=CD=20 cm,DBC=C=45.当BPQ=90时,如图(1),BQ=2BP,20-2t=232t,解得t=52.当BQP=90时,如图(2),BP=2BQ,32t=2(20-2t),解得t=4.故选C.图(1)图(2)5.73四边形ABCD是平行四边形,BC=AD=8 cm,OA=OC.ACBC,AC=AB2-BC2=102-82=6(cm),OC=12AC=3 cm,OB=BC2+OC2=82+32=73(cm).6.34或32由题可知,AE=t cm,CF=3t cm,CM=3 cm.当点F在线段BM上,且AE=FM时,四边形AFME是平行四边形,此时有t=3t-3,解得t=32;当点F在线段CM上,且AE=FM时,四边形AMFE是平行四边形,此时有t=3-3t,解得t=34.综上所述,t=34或32时,以A,M,E,F为顶点的四边形是平行四边形.7.(1)证明:BD是ABC的角平分线,ABD=DBE.DEAB,ABD=BDE,DBE=BDE,BE=DE.BE=AF,AF=DE,四边形ADEF是平行四边形. (4分)(2)过点E作EHBD于点H,则BH=HD=2.ABC=60,BD是ABC的平分线,EBD=30,EH=BHtanEBD=2tan 30=233,SBDE=12BDEH=124233=433,又ABDE,SADEF=2SBDE=833. (9分)第二节矩形、菱形和正方形真题分点练1.BADBC,ACB=CAF.由折叠的性质可知ACB=ACF,ACF=CAF,AF=CF.设DF=x,则CF=AF=6-x.在RtCDF中,由勾股定理得CF2=CD2+DF2,即(6-x)2=42+x2,解得x=53,故DF的长为53.2.C如图,过点P作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N,则四边形AEPM,DFPM,CFPN,BEPN都是矩形,SAMP=SAEP,SPBE=SPBN,SPFD=SPDM,SPFC=SPCN,又SADC=SABC,SPBE=SDFP=1228=8,S阴影部分=8+8=16,故选C.3.C延长GH,交AD于点P,四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,ADG=ADC=CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,ADGF,PAH=GFH,又H是AF的中点,AH=FH.又AHP=FHG,APHFGH,AP=GF=1,GH=PH=12PG,PD=AD-AP=1.CG=2,CD=1,DG=1,GH=12PG=12PD2+DG2=22.故选C.4.2.5四边形ABCD是矩形,BD=AC=10,OD=12BD=5.点P,Q分别是AO,AD的中点,PQ是AOD的中位线,PQ=12OD=2.5.5.2连接BD.四边形ABCD是矩形,ADC=DCB=90,BD=AC=6.CG=DG,CF=FB,GF=12BD=62.AGFG,AGD+CGF=90,又DAG+AGD=90,DAG=CGF,ADGGCF,ADGC=DGCF.设CF=BF=a(a0),CG=DG=b(b0),则2ab=ba,b2=2a2,b=2a.在RtGCF中,b2+a2=64,a=22,AB=2b=2.6.(1)证明:四边形ABCD是矩形,ADBC,B=90,AEB=DAF.又DFAE,DFA=90=B.又AD=EA,ADFEAB,DF=AB.(4分)(2)ADF+FDC=90,DAF+ADF=90,DAF=FDC=30,AD=2DF.DF=AB=4,AD=2AB=8.(9分)7.(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,FAE=CDE.E是AD的中点,AE=DE.又FEA=CED,FAECDE,CD=FA,又CDAF,四边形ACDF是平行四边形.(4分)(2)BC=2CD.(5分)理由:CF平分BCD,DCE=12BCD=45.CDE=90,CDE是等腰直角三角形,CD=DE,E是AD的中点,AD=2CD,又AD=BC,BC=2CD.(9分)8.B根据“一个角是直角的平行四边形是矩形”和“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知选项A,C,D中的条件均可以判定ABCD是矩形,而B中的条件不能判定.故选B.9.(1)由题可知,OCE=BCE,OCF=DCF.EFBC,OEC=BCE,OFC=DCF,OEC=OCE,OFC=OCF,OE=OC,OF=OC,OE=OF.OCE+BCE+OCF+DCF=180,ECF=90.在RtCEF中,由勾股定理得EF=CE2+CF2=10,OC=12EF=5.(5分)(2)当点O运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.理由如下:当O为AC的中点时,AO=CO,又EO=FO,四边形AECF是平行四边形.由(1)可知ECF=90,AECF是矩形.(9分)10.C根据菱形的性质可知,菱形的对角线互相垂直平分,且菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,但其对角线不一定相等. 故选C.11.A连接OA,交EF于点G.点A与点O关于直线EF对称,点O是菱形对角线的交点,AOEF,AOBD,AG=OG,EFBD,EF是ABD的中位线,BD=2EF=43,OD=23.菱形ABCD的边长为4,sinOAD=ODAD=234=32,OAD=60,BAD=120.12.A过点D作DHAB于点H,四边形ABCD是菱形,AO=CO,AB=BC=CD=AD.菱形ABCD的周长为16,AB=AD=4.BAD=60,DH=432=23,S菱形ABCD=423=83,SACD=1283=43.点E为边CD的中点,AO=CO,OE为ADC的中位线,OEAD,CEOCDA,SOCESACD=(CECD)2=14,SOCE=1443=3.故选A.13.A如图,作点M关于直线AC的对称点M,则点M在DC上,且CM=CM=2.连接BM,交AC于点P,此时PB+PM的值最小,为BM的长.过点B作BECD于点E. ABC=120,BCD=60,CE=12BC=3,BE=33,则EM=3-2=1. 在RtBEM中,由勾股定理可得BM=BE2+EM2=27.四边形ABCD是菱形,ABCD,ABPCMP,PMPB=CMAB=13,又BP+PM=27,PM=72,即PM=72.14.23依照题意画出图形,如图所示.菱形ABCD的边长是2,设对角线的交点为O.在RtAOB中,AB=2,OB=3,OA=AB2-OB2=1,AC=2OA=2,S菱形ABCD=12ACBD=12223=23.15.3-12如图,延长DM,交CB的延长线于点F,连接ED.AEBC,AEB=90.点M是AB的中点,AB=2,EM=AM=BM=1.ADBC,MAD=MBF,ADM=F,AMDBMF,BF=AD=2,MF=MD.EMD=90,EMDF,即EM垂直平分DF,ED=EF.设BE=x,则DE=EF=x+2.在RtABE中,AE2=AB2-BE2=22-x2.在RtADE中,AE2=DE2-AD2=(x+2)2-22,22-x2=(x+2)2-22,解得x1=-1+3,x2=-1-3(不合题意,舍去),BE=3-1.在RtABE中,cosABE=BEAB=3-12.16.DDEAC,DFAB,四边形AEDF是平行四边形.当ADBC或BD=CD时,无法推理出平行四边形AEDF是特殊平行四边形,故选项A,C中的说法错误.当AD垂直平分BC时,AB=AC,且DE,DF是ABC的中位线,AE=AF=DE=DF,四边形AEDF是菱形,故选项B中的说法错误.当AD平分BAC时,由AEDF得ADF=DAE=DAF,AF=DF,平行四边形AEDF是菱形,故选项D中的说法正确.17.(1)证明:ADBC,点E,F分别是AB,AC的中点,DE=AE=12AB,DF=AF=12AC.又AB=AC,AE=AF=DE=DF,四边形AEDF是菱形.(4分)(2)如图,连接EF,交AD于点O.菱形AEDF的周长为12,AE=3.设EF=x,AD=y,则x+y=7,x2+2xy+y2=49.四边形AEDF是菱形,AO=DO,EO=FO,ADEF.在RtAOE中,AO2+EO2=AE2,(12y)2+(12x)2=32,即x2+y2=36.把代入,得2xy=13,xy=132,故菱形AEDF的面积S=12xy=134.(9分)18.B四边形ABCD是正方形,A,B,C三点的坐标分别是(-1,2),(-1,0),(-3,0),D(-3,2),平移后点D的坐标是(0,2),故选B.19.B观察题图可知,阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半,正方形ABCD的面积为1,故阴影部分的面积为12,故选B.20.在ABCD中,ABAD,ABCD是矩形,又AB=AD,ABCD是正方形,故条件正确;由ABBD可知边AB与对角线BD的夹角为90,ABCD不可能是正方形,故条件错误;由OB=OC可知AC=BD,ABCD是矩形,又OBOC,ABCD是正方形,故条件正确;AB=AD,ABCD是菱形,又AC=BD,ABCD是正方形,故条件正确.综上所述,条件正确.21.(1)证明:四边形ABCD是正方形,OA=OB,DAO=45,OBA=45,ACBD,OAM=OBN=135,AOB=90,又EOF=90,AOM=BON,OAMOBN,OM=ON.(4分)(2)过点O作OHAD于点H,则OHAB,OH=DH=AH=12AD=2,又E为OM的中点,MA=AH=2,HM=4,OM=22+42=25,MN=2OM=210.(9分)模拟提升练1.D四边形ABCD是平行四边形,AB=DC,AD=BC,ADBC,DAM=AMB,又由题意知BAM=DAM,BAM=AMB,BA=BM,同理DN=DC,BM=DN,BC-BM=AD-DN,即CM=AN,四边形AMCN是平行四边形.A项中,AM=AN,平行四边形AMCN是菱形.B项中,MNAC,平行四边形AMCN是菱形.C项中,ADBC,ANM=CMN.MN平分AMC,AMN=CMN,AMN=ANM,AM=AN,平行四边形AMCN是菱形.D项中,根据BAD=120和四边形AMCN是平行四边形,不能推出四边形AMCN是菱形.故选D.2.D四边形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,BAE=ABC=90.AF=DE,AE=BF.在ABE和BCF中,AB=BC,BAE=FBC,AE=BF,ABEBCF,ABE=BCF.ABE+CBP=90,BCF+CBP=90,BPC=90,则点P在以BC为直径的圆上运动.如图,取BC的中点O,连接OP,OA,则OP=12BC=2.在RtAOB中,OA=AB2+OB2=42+22=25.根据两点之间,线段最短,得OP+APOA,当O,P,A三点共线时,AP的长度最小,为25-2.故选D.3.23-2或3+1四边形ABCD是菱形,AB=2,ABC=30,CD=AB=2,D=ABC=30,BCD=150.DBC为等边三角形,BCD=60.当点E在边AD上时,如图(1)所示,过点E作EFCD,垂足为点F,则CEF=FCE=12(BCD-BCD)=45,CF=EF.在RtDEF中,D=30,EF=12DE.设EF=x,则DE=2x,CF=x,FD=3x.CF+FD=CD=2,x+3x=2,解得x=3-1,DE=2x=23-2.当点E在DA的延长线上时,如图(2),过点B作BHAD,交DA的延长线于点H.由折叠可知EDC=D=30.BDC=60,DE为BDC的平分线.又BDC是等边三角形,DEBC,DEAD.ABC=30,BAH=30,又AB=2,AH=3.设DE与BC的交点为G,则EH=BG=12BC=1,AE=3-1,DE=3+1.图(1)图(2)4.(1)证明:AD是等腰三角形ABC底边BC上的高,BD=DC,ADC=90.点O是AC的中点,AO=OC,ODAB,又AEBC,四边形ABDE是平行四边形,AE=BD,AE=DC,四边形ADCE是平行四边形,ADC=90,四边形ADCE是矩形.(5分)(2)120(7分)102(9分)5.(1)证明:四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD,B=D=90,BAC=ACD.BAE=12BAC,DCF=12ACD,BAE=FCD.在ABE和CDF中,BAE=DCF,AB=CD,B=D,ABECDF.(5分)(2)63(7分)23(9分)
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