2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(178).doc

2019-2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(178)1、 填空题（每小题8分，共64分）1. 袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球.则第四次恰取完所有红球的概率为.2. 已知函数，且存在使在上的值域为.则实数的取值范围为.3. 在正四棱锥中，已知，且侧面与侧面所成二面角大小为.则该四棱锥外接球的体积为.4. 函数的最小值为.5. 方程的解集为.6. 记表示不超过实数的最大整数，则在这100个整数中，不同的整数的个数为.7. 设是集合的两个不同子集，使得集合不是集合的子集，也不是集合的子集.则不同的有序集合对的组数为.8.函数的最小值为1，最大值为6.则.二、解答题（共56分）9.（16分）已知函数记函数的值域为，且实数.证明：.10.（20分）已知点，的周长为6，动点的轨迹为曲线，是圆上任一点（不在轴上），分别与曲线切于点.求面积的最大值（为坐标原点）.11.（20分）设为正整数，数列满足.证明：对任意正整数均为正整数.一、（40分）如图1，在等腰中，为斜边的中点，为直角边的中点，联结，过点作，垂足为.证明：.二、（40分）对一堆100粒的石子进行如下操作：每次任选石子数大于1的一堆任意分成不空的两堆，直到每堆1粒（100堆）为止.证明：（1） 无论如何操作，必有某个时刻存在20堆，其石子总数为60；（2） 可以进行适当地操作使得任何时刻不存在19堆，其石子总数为60.三、（50分）记表示不超过实数的最大整数.证明：（1） 方程的解为整数；（2） 方程有非整数解.四、（50分）求所有正整数使得多项式在某三个相继整数处均取整数值.