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第十三章 13.3.4特殊直角三角形的性质知识点：含30角的直角三角形的性质在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.归纳整理:(1)此性质常用于计算三角形的边、角,也是证明线段成倍数的常用方法;(2)但是该性质一定要注意两个条件:三角形必须是直角三角形;必须存在一个锐角是30.考点1：含30角的直角三角形的边角关系【例1】如图,ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQAD于Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:AD=BE.(2)求AD的长.解：(1)证明:ABC为等边三角形,BAC=C=60,AB=AC.又AE=CD,ABECAD(SAS),BE=AD.(2)解:ABECAD,ABE=CAD.BPQ=BAP+ABE=BAP+PAE=BAC=60,又BQAD,PBQ=30,PB=2PQ=6,BE=PB+PE=7,AD=BE=7.点拨：因为等边三角形的三条边都相等,三个角都等于60,所以在等边三角形中容易找到全等三角形,本题第(1)题就是通过全等三角形证两线段相等;在第(1)题的基础上,可求得BPQ的度数,从而联想直角三角形中含30角的性质求得PB之长,再求AD的长.考点2：特殊直角三角形性质的实际应用【例2】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30方向.(1)求PB的距离;(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.解:(1)过点P作PEAB,垂足为E,由题意,得PAB=15,PBC=30.BPA=PBC-A=15.BP=BA.又AB=315=45海里,BP=45海里.(2)PEAB,PBC=30,PE=BP=22.5海里,22.5海里20海里,如果轮船不改变方向继续向前航行,不会有触礁危险.点拨:过点P作PE垂直于AB的延长线,垂足为E,根据三角形的外角可知BPA=A,使得BP=AB,所以可以求出BP的距离;在(2)中,只要求出PE的长即可,可以根据直角三角形中30角的性质解决.
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