2019届九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数练习 （新版）新人教版.doc

第二十八章锐角三角函数281锐角三角函数第1课时正弦基础题知识点1已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值1如图，在RtABC中，C90，若AB5，BC3，则sinA(A)A. B. C. D.2如图，在RtABC中，C90，BC12，AC5，则sinB3在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C的对边，若2ac，则A的正弦值等于4如图，P是的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，则的正弦值为5分别求出图1，图2中A，B的正弦值. 图1 图2解：图1中AC4，sinA，sinB.图2中AB2，sinA，sinB.6如图所示，在RtABC中，ACB90，ac23，求sinA和sinB的值解：在RtABC中，ACB90，ac23，设a2k，c3k(k0)bk.sinA，sinB.知识点2已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长7(兰州中考)在RtABC中，C90，sinA，BC6，则AB(D)A4 B6 C8 D108如图，在ABC中，C90，sinA，AB15，求ABC的周长解：在RtABC中，C90，AB15，sinA，BC12，AC9.ABC的周长为9121536.中档题9把ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦值(A)A不变 B缩小为原来的C扩大为原来的3倍 D不能确定10如图，在RtABC中，C90，AB2BC，则sinB的值为(C)A. B. C. D111如图，RtABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD2，AC3，则sinB的值为(C)A. B. C. D. 12如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为点D.若AC，BC2，则sinACD的值为(A)A.B.C.D.13(扬州中考)在ABC中，ABAC5，sinABC0.8，则BC614(黄石中考)如图，圆O的直径CD10 cm，且ABCD，垂足为P，AB8 cm，则sinOAP15如图，已知直线l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sin.16如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DEAB，sinA，求DE的长和菱形ABCD的面积解：DEAB，AED90.在RtAED中，sinA，即.解得DE6.菱形ABCD的面积为：10660(cm2)17如图，已知O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP2 cm，求sinOPA的值解：作OCAB于C点根据垂径定理，ACBC4.CP426(cm)在RtOAC中，OC3(cm)在RtOCP中，根据勾股定理，得OP3(cm)故sinOPA.综合题18(鄂州中考)如图，在矩形ABCD中，AB8，BC12，点E是BC的中点，连接AE，将ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sinECF(D)A. B. C. D.第2课时锐角三角函数基础题知识点1余弦1(湖州中考)如图，已知在RtABC中，C90，AB5，BC3，则cosB的值是(A)A. B. C. D. 2如图，在RtABC中，C90，AB6，cosB，则BC的长为(A)A4 B2C. D.3如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cos的值是(D)A. B. C. D.4如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，则AB10，cosA. 知识点2正切5(湖州中考)如图，已知RtABC中，C90，AC4，tanA，则BC的长是(A)A2 B8 C2 D46(南通中考)如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tan的值是(C)A. B. C. D27已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为.8如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，若BC2，AB3，求tanBCD.解：CDAB，ADC90.AACD90.又BCDACDACB90，BCDA.在RtABC中，AC.tanA.tanBCDtanA.知识点3锐角三角函数9(崇左中考)如图，在RtABC中，C90，AB13，BC12，则下列三角函数表示正确的是(A)AsinA BcosA CtanA DtanB10(惠山期末)已知：在RtABC中，C90，sinA，则cosB的值为(B)A. B. C. D.11在RtABC中，C90，AC7，BC24.(1)求AB的长；(2)求sinA，cosA，tanA的值解：(1)由勾股定理，得AB25.(2)sinA，cosA，tanA.中档题12(丽水中考)如图，点A为边上任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是(C)A.B. C.D.13(乌兰察布中考)在RtABC中，C90，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是(D)A. B3 C. D214如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A，B 两点，P是弧上一点(不与A，B重合)，连接OP，设POB，则点P的坐标是(C)A(sin，sin) B(cos，cos)C(cos，sin) D(sin，cos)15如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD2，tanOAB，则AB的长是(C)A4 B2 C8 D416已知抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tanCAB的值为(D)A. B. C. D217如图，1的正切值等于18如图，ABC中，ABAC，A45，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD.如果AD1，那么tanBCD119如图所示，在RtABC中，C90，sinA，求cosA，tanB的值解：sinA，设BCk，AB3k(k0)由勾股定理，得ACk.cosA，tanB.20(重庆中考)如图，在ABC中，CDAB，垂足为D.若AB12，CD6，tanA，求sinBcosB的值解：在RtACD中，CD6，tanA，即AD4.又AB12，BDABAD8.在RtBCD中，BC10.sinB，cosB.sinBcosB.综合题21如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，求tanDCF的值解：四边形ABCD是矩形，ABCD，D90.，且由折叠知CFBC，.设CD2x，CF3x(x0)，DFx.tanDCF.第3课时特殊角的三角函数值基础题知识点1特殊角的三角函数值1tan60的值等于(D)A. B. C. D.2(天津中考)sin60的值等于(C)A. B. C. D.3(防城港中考)计算：cos245sin245(B)A. B1 C. D.4计算：tan45cos452.5在等腰ABC中，C90，则tanA1.6计算：(1)sin30cos45；解：原式.(2)cos30tan30tan45；解：原式11.(3)sin260cos260；解：原式()2()21.(4)sin45sin60cos45.解：原式.知识点2由三角函数值求特殊角7(邵阳中考)在ABC中，若|sinA|(cosB)20，则C的度数是(D)A30 B45 C60 D908如果在ABC中，sinAcosB，那么下列最确切的结论是(C)AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC是等腰直角三角形DABC是锐角三角形9满足tan1的锐角的度数是45知识点3用计算器计算三角函数值10如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55，按键顺序正确的是(C)A. B. C. D. 11.已知sinA0.370 6，则锐角A21.75.(保留两位小数)12利用计算器求A1836的三个锐角三角函数值解：sinAsin18360.319 0，cosAcos18360.947 8，tanAtan18360.336 5.中档题13下列各数中为无理数的是(C)A. 1 B3.14 Ccos30 D014李红同学遇到了这样一道题：tan(20)1，你猜想锐角的度数应是(D)A40 B30 C20 D1015(孝感中考)式子2cos30tan45的值是(B)A22 B0C2 D216菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45，OC，则点B的坐标为(C)A(，1) B(1，)C(1，1) D(1，1)17如图，点O在ABC内，且到三边的距离相等，若BOC120，则tanA的值为(A)A. B. C. D. 18(烟台中考)在RtABC中，C90，AB2，BC，则sin19正比例函数yx的图象与x轴的夹角为，则3020计算：(1)sin452 017021；解：原式2121.(2)(巴中中考)|sin45tan60()1(3)0.解：原式(3)2113215.21已知为锐角，且tan是方程x22x30的一个根，求2sin2cos2tan(15)的值解：解方程x22x30，得x11，x23.tan0，tan1.45.2sin2cos2tan(15)2sin245cos245tan(4515)2sin245cos245tan602()2()2.综合题22如图，在RtBCD中，BDC30，延长CD到点A，连接AB，A15，求tan 15的值(结果保留根号). 解：A15，BDC30，ABDBDCA15.ADDB.设BCx，在RtBDC中，BDC30，DB2BC2x，DCx.ADBD2x，ACADDC(2)x.在RtABC中，tan152.小专题(八)“四法”确定三角函数值方法1回归定义1如图，在RtABC中，C90，AC12，BC5. (1)求AB的长；(2)求sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB的值解：(1)AB13.(2)sinA，cosB，tanA，sinB，cosA，tanB.2如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，C45，sinB，AD1.求：(1)BC的长；(2)tanDAE的值解：(1)在ABC中，AD是BC边上的高，ADBADC90.在ADC中，ADC90，C45，AD1，DCAD1.在ADB中，ADB90，sinB，AD1，AB3.BD2.BCBDDC21.(2)AE是BC边上的中线，CEBC.DECECD.tanDAE.方法2巧设参数3如图，RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若BDCD32，则tanB(D)A. B. C. D.4如图，在菱形ABCD中，DEAB于点E，cosA，则tanDBE的值是25如图，在RtABC中，C90，CAB的平分线交BC于点E，EFAB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AFBF)(1)求证：ACEAFE；(2)求tanCAE的值解：(1)证明：AE是BAC的平分线，ECAC，EFAF，CEEF.在RtACE与RtAFE中，RtACERtAFE(HL)(2)由(1)可知ACEAFE，ACAF，CEFE.设BFm，则AF2m，AC2m，AB3m，BCm.在RtABC中，tanB.在RtEFB中，EFBFtanB，CEEF.在RtACE中，tanCAE，tanCAE.方法3等角代换6如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tanB的值为(B)A. B. C. D.7(桂林中考)如图，在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，CDAB，垂足为D，则tanBCD的值是. 8如图，AB是O的直径，AB15，AC9，则cosADC. 9如图，在ABC中，ACB90，ACBC4，将ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕若AE3，则sinBFD的值为. 10如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CFDE于F，过点A作AGCF交DE于点G.(1)求证：DCFADG；(2)若点E是AB的中点，设DCF，求sin的值解：(1)证明：在正方形ABCD中，ADDC，ADC90，CFDE，CFDCFG90.AGCF，AGDCFG90.AGDCFD.又ADGCDEADC90，DCFCDE90，ADGDCF.在DCF和ADG中，DCFADG(AAS)(2)设正方形ABCD的边长为2a.点E是AB的中点，AE2aa.在RtADE中，DEa，sinADG.ADGDCF，sin.方法4构造直角三角形11在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则cosAOB的值等于(A)A. B. C. D.12(襄阳中考)如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(B)A. B. C. D.13如图，在RtABC中，ACB90，ACBC3，点D在边AC上，且AD2CD，DEAB，垂足为点E，连接CE，求：(1)线段BE的长；(2)ECB的正切值解：(1)AD2CD，AC3，AD2.在RtABC中，ACB90，ACBC3，A45，AB3.DEAB，AED90，ADEA 45.AEADcos45.BEABAE2.(2)过点E作EHBC，垂足为点H.在RtBEH中，EHB90，B45，EHBHEBcos452.又BC3, CH1.在RtECH中，tanECB2，即ECB的正切值是2.28.2解直角三角形及其应用282.1解直角三角形基础题知识点1已知两边解直角三角形1在ABC中，C90，AC3，AB4，欲求A的值，最适宜的做法是(C)A计算tanA的值求出B计算sinA的值求出C计算cosA的值求出D先根据sinB求出B，再利用90B求出2(日照中考)在RtABC中，C90，AB13，AC5，则sinA的值为(B)A. B. C. D.3在RtABC中，C90，a20，c20，则A45，B45，b204如图，在RtABC中，C90，已知BC2，AC6，解此直角三角形解：tanA，A30.B90A903060，AB2BC4.知识点2已知一边和一锐角(或锐角的三角函数值)，解直角三角形5如图，在ABC中，C90，B50，AB10，则BC的长为(B)A10tan50B10cos50C10sin50D.6如果等腰三角形的底角为30，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为(B)A4.5 cm2 B9 cm2C18 cm2 D36 cm27(广州中考)如图，RtABC中，C90，BC15，tanA，则AB178在RtABC中，C90，c8，A60，解这个直角三角形解：A60，B90A30.sinA，acsinA8sin60812.b4.9如图，在RtABC中，C90，B55，AC4，解此直角三角形(结果保留小数点后一位)解：A90B905535.tanB，BC2.8.sinB，AB4.9.中档题10如图，在ABC中，A30，tanB，AC2，则AB(B)A4B5C6D711(牡丹江中考)在ABC中，AB12，AC13，cosB，则BC边长为(D)A7 B8 C8或17 D7或1712(广州中考)如图，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE9，BC12，则cosC13如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，DABCDB90，ABD45，DCA30，AB，则AE214如图，ABC中，C90，点D在AC上，已知BDC45，BD10，AB20.求A的度数解：在RtBDC中，sinBDC，BCBDsinBDC10sin4510.在RtABC中，sinA，A30.15已知：如图，在ABC中，ABAC9，BC6.求：(1)sinC；(2)AC边上的高BD.解：(1)作AEBC交BC于点E.ABAC，BEEC3.在RtAEC中，AE6，sinC.(2)在RtBDC中，sinC，.BD4.综合题16探究：已知，如图1，在ABC中，A(090)，ABc，ACb，试用含b，c，的式子表示ABC的面积； 图1 图2应用：(孝感中考)如图2，在ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为，若ACa，BDb，试用含b，c，的式子表示ABCD的面积解：探究：过点B作BDAC，垂足为D.ABc，A，BDcsin.SABCACBDbcsin.应用：过点C作CEDO于点E.sin.在ABCD中，ACa，BDb，COa，DOb.SCODCODOsinabsin.SBCDCEBDasinbabsin.SABCD2SBCDabsin.28.2.2应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用题基础题知识点1利用解直角三角形解决简单问题1如图，已知AC100 m，B30，则B，C两地之间的距离为(A)A100 m B50 mC50 m D. m2(南宁中考)如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC10米，B36，则中柱AD(D为底边中点)的长是(C)A5sin36米 B5cos36米C5tan36米 D10tan36米3如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC3米，cosBAC，则梯子AB的长度为4米4如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若QAP，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离APR5(台州中考)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度AOB为40时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据：sin400.64；cos400.77；tan400.84)解：过点A作ACOB，垂足为点C，在RtACO中，AOC40，AO1.2米，ACsinAOCAO0.641.20.768(米)汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，车门不会碰到墙知识点2利用视角解直角三角形6(山西中考)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54.已知测角仪的架高CE1.5米，则这棵树的高度为15.3米(结果保留一位小数参考数据：sin540.809 0，cos540.587 8，tan541.376 4)7(河南中考)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37，旗杆底部B点的俯角为45，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)解：在RtBCD中，BD9米，BCD45，则 BDCD9米，所以ADCDtan376.75(米)所以ABADBD15.75(米)，整个过程中国旗上升高度是：15752.2513.5(米)，因为耗时45 s，所以上升速度为0.3(米/秒)答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升中档题8(枣庄中考)如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM4米，AB8米，MAD45，MBC30，则警示牌的高CD为2.9米(结果精确到0.1米，参考数据：1.41，1.73)9如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30，则建筑物AB的高度约为137米(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：1.41，1.73)10(青岛中考)如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45和35，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m请求出热气球离地面的高度(结果保留整数，参考数据：sin35，cos35，tan35)解：过点A作ADCB的延长线于点D.在RtACD中，ACD35，tanACD.CDAD.在RtABD中，ABD45，tanABD1.BDAD.BCCDDB100 m，ADAD100.解得AD233.答：热气球到地面的距离约为233米11(黄石中考)如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30，看台最低点A到最高点B的距离为10米，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE，在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60和15(仰角即视线与水平线的夹角)(1)求AE的长；(2)已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？解：(1)BGCD，GBABAC30.又GBE15，ABE45.EAD60，BAE 90.AEB45.AEBABE45.ABAE10米故AE的长为10米(2)在RtADE中，DEAEsin601015(米)，又DF1米，FE14米时间t28(秒)故这面旗到达旗杆顶端需要28秒综合题12(株洲中考)如图，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为，其中tan2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1 255米(1)求点H到桥左端点P的距离；(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30，求这架无人机的长度AB.解：(1)在RtAHP中，tanAPHtan2，PH250米点H到左端点P的距离为250米(2)作BCHP于C.在RtBCQ中，BCAH500米，BQC30，CQ1 500(米)PQ1 255米，CP245米HP250米，ABHC2502455(米)答：这架无人机的长度AB为5米第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题基础题知识点1利用方向角解直角三角形1(绥化中考)如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(A)A250米 B250米 C.米 D500米2轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是(D)A25海里 B25海里 C50海里 D25海里3(珠海中考)如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60方向的B处(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时参考数据：1.41，1.73，2.45)解：(1)过点M作MDAB于点D，AME45，AMDMAD45.AM180海里，MDAMcos4590(海里)答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90海里(2)在RtDMB中，BMF60，DMB30.MD90海里，MB60(海里)6020332.457.357.4(小时)答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时知识点2利用坡度解直角三角形4(聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC6米，迎水坡AB的坡比为1，则AB的长为(A)A12米 B4米C5米 D6米5(宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡，从A滑行至B，已知AB500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米(参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67)6(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i12.5，斜坡CD的坡角为30，求坝底AD的长度(精确到0.1米，参考数据：1.414，1.732)解：作BEAD，CFAD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形由题意，得BCEF6米，BECF20米，斜坡AB的坡度i为12.5，在RtABE中，BE20米，AE50米在RtCFD中，D30，DF20米ADAEEFFD5062090.6(米)答：坝底AD的长度约为90.6米中档题7(南京中考)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得CAO45，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h.经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得DBO58.此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60)解：设B处距离码头O为x km.在RtCAO中，CAO45，tanCAO，COAOtanCAO(4501x)tan454.5x.在RtDBO中，DBO58，tanDBO，DOBOtanDBOxtan58.DCDOCO，360.1xtan58(4.5x)x13.5.因此，B处距离码头O大约13.5 km.8(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i1，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC25米，与亭子距离CE20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45，求楼房AB的高(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点E作EFBC的延长线于F，EHAB于点H，在RtCEF中，itanECF，ECF30.EFCE10米，CF10米BHEF10米，HEBFBCCF(2510)米在RtAHE中，HAE45，AHHE(2510)米ABAHHB(3510)米答：楼房AB的高为(3510)米综合题9(营口中考)如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53方向上(1)求C，D两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E处相会合，求ECD的正弦值(参考数据：sin53，cos53，tan53)解：(1)过点C作CGAB交AB于点G，过点D作DF垂直CG于点F，由题意，得BC3015(海里)，CGBCsin307.5海里，FGAD1.5海里，CF7.51.56(海里)，CD10(海里)(2)设t小时后，两船在E处会合，则ED3t，CE30t.过点E作EHCD交CD于点H.CGAE，GCDCDE，HEEDsin53，CE30t.在RtCEH中，sinECD.小专题(九)解直角三角形的实际应用方法指导：1对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要首先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线2解直角三角形实际应用题的常见图形类型及辅助线作法如下：1平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示量得A为54，B为36，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分的长为0.9 m求铁板BC边被掩埋部分CD的长(结果精确到0.1 m，参考数据：sin540.81，cos540.59，tan541.38)解：由题意，得C180BA180365490.在RtABC中，sin A，则BCABsinA2.1sin542.10.811.701，则CDBCBD1.7010.90.8010.8(m)2(宿迁中考)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30，面向小岛方向继续飞行10 km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度(结果保留根号)解：过点C作CDAB于点D，设CDx，CBD45，BDCDx.在RtACD中，tanCAD，ADx.由ADBDAB，可得xx10，解得x55.答：飞机飞行的高度为(55)km.3(十堰中考)如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：过A作ACBD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离CAD30，CAB60，BAD603030，ABD906030.ABDBAD.BDAD12海里RtACD中，CAD30，ACADcosCAD610.3928，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险4(安徽中考)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿ABD的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且ABBD600 m，75，45，求DE的长(参考数据：sin750.97，cos750.26，1.41)解：在RtABC中，AB600 m，ABC75，BCABcos756000.26156 (m)在RtBDF中，DBF45，DFBDsin456003001.41423(m)四边形BCEF是矩形，EFBC156 m.DEDFEF423156579(m)5(广安中考)如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BAAD，CDDA，垂足分别为A，D.从D点测到B点的仰角为60，从C点测得B点的仰角为30，甲建筑物的高AB30米(1)求甲、乙两建筑物之间的距离AD；(2)求乙建筑物的高CD.解：(1)作CEAB于点E，在RtABD中，AD10(米)(2)在矩形AECD中，CEAD10米，BECEtan1010(米)，则CDAEABBE301020(米)答：乙建筑物的高度CD为20米6(铁岭中考)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45，此时小颖距大楼底端N处20米，已知坡面DE20米，山坡的坡度i1(即tanDEM1)，且D，M，E，C，N，B，A在同平面内，E，C，N在同一直线上，求条幅的长度(结果精确到1米参考数据：1.73，1.41)解：过点D作DFME于点F，分别延长AD，EM相交于点P.坡面DE20米，山坡的坡度i1，即tanDEM1，在RtDFE中，由勾股定理，得DF10米，EF10米在RtDFP中，P30，PF10米，即PNPFFEECCN(2030)米在RtPNA中，tanAPF，ANPNtanAPF(2030)tan30(2010)米在RtBCN中，BNC90，BCN45，CNBN20米ABANBN，AB2010201017.317(米)答：条幅的长度约为17米7(江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”约为20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”约为100.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB水平，且与屏幕BC垂直(1)若屏幕上下宽BC20 cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG100 cm，上臂DE30 cm，下臂EF水平放置在键盘上，其到地面的距离FH72 cm.请判断此时是否符合科学要求的100？(参考数据：sin69，cos21，tan20，tan43，所有结果精确到个位) 图1 图2解：(1)RtABC中，tanA，AB55(cm)(2)延长FE交DG于点I.则DIDGFH1007228(cm)在RtDEI中，sinDEI，DEI69，18069111100.此时不是符合科学要求的100.章末复习(三)锐角三角函数基础题知识点1利用定义求锐角三角函数值1在ABC中，C90，a，b分别是A，B所对的两条直角边，c是斜边，则下列选项中正确的是(D)AsinA BcosBCtanA DtanA2在ABC中，若三边BC，CA，AB满足 BCCAAB51213，则sinA的值是(C)A. B. C. D.知识点2特殊角的三角函数值3(贵港一模)若一个三角形三个内角度数的比为123，那么这个三角形最小角的正切值为(C)A. B. C. D.4在ABC中，若cosA，tanB，则这个三角形一定是(D)A直角三角形 B等腰三角形 C钝角三角形 D锐角三角形5计算：2sin30sin245tan60知识点3解直角三角形6如图是教学用的直角三角板，边AC30 cm，C90，tanBAC，则边BC的长为(C)A30 cmB20 cm C10 cmD5 cm7在RtABC中，C90，c2，b1，则a，B308在RtABC中，C90，B52，c14 ，解直角三角形(结果精确到0.1，参考数据： sin520.788 0，cos520.615 7，tan521.279 9)解：A90B905238.ACcsinB14sin52140.788 011.0.BCccosB14cos52140.615 78.6.知识点4解直角三角形的实际应用9(温州中考)如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知cos，则小车上升的高度是(A)A5米 B6米 C6.5米 D12米10(衢州中考)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tan，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是(B)A144 cm B180 cm C240 cm D360 cm11(茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角CAD60，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30.已知教学楼AB高4米(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)(2)求旗杆CD的高度解：(1)教学楼B点处观测旗杆底端D处的俯角是30，ADB30.在RtABD中，BAD90，ADB30，AB4米，AD4(米)教学楼与旗杆的水平距离是4米(2)在RtACD中，ADC90，CAD60，AD4米，CDADtan60412(米)旗杆CD的高度是12米中档题12如图，在RtABC中，ACB90，AD是BC边上的中线，如果ADBC，那么tanB的值是(C)A1 B. C. D.13(山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是(D)A2 B. C. D.14(包头中考)如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，若O的半径是4，sinB，则线段AC的长为215如图，AD是ABC的中线，tanB，cosC，AC.求：(1)BC的长；(2)sinADC的值解：(1)过点A作AEBC于点E，cosC，C45.在RtACE中，CEACcosC1.AECE1.在RtABE中，tanB，即，BE3AE3.BCBECE4.(2)AD是ABC的中线，CDBC2.DECDCE1.AEBC，DEAE，ADC45.sinADC.16(广安中考)数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC110(即EFCE110)，学生小明站在离升旗台水平距离为35 m(即CE35 m)处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为，已知tan，升旗台高AF1 m，小明身高CD1.6 m，请帮小明计算出旗杆AB的高度解：过点D作DHBE于H，则四边形DCEH为矩形，则DCEH1.6 m，CEDH35 m.在RtDHB中，BDH，tan.BHDH3515(m)BEBHEH151.616.6(m)iFC EFCE110，EF3.5 m.ABBEAFEF 16.613.512.1(m)答：旗杆AB的高度为12.1 m.综合题17如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20 km.一轮船以36 km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60方向，且与灯塔C相距12 km.(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由(参考数据：1.4， 1.7) 解：(1)延长A