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第二章 第四节 圆周角1如图，在半圆O中，AB为直径，半径OCOB，弦AD平分CAB，连结CD、OD，以下四个结论：ACOD；ODEADO；其中正确结论有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2如图，A、B、C三点在O上，且AOB=80，则ACB等于（ ）A100 B80 C50 D403已知半径为5的O中，弦AB=，弦AC=5，则BAC的度数是（ ）A 15 B 210 C 105或15 D 210或304如图，AB是O的直径，CD是弦，ABC=65，则D的度数为（ ）A 130 B 65 C 35 D 255如图，B，C，D是半径为6的O上的三点，已知的长为2，且ODBC，则BD的长为（ ）A3 B6 C6 D126如图，在O中，已知OAB=25，则C的度数为（ ）A 50 B 100 C 115 D 1257如图，ABC内接于O，AB是O的直径，B=30，CE平分ACB交O于E，交AB于点D，连接AE，则SADE：SCDB的值等于（ ）A 1： B 1： C 1：2 D 2：38如图，AB是O的直径，弦CA=CB，D是弧AmB上一动点（与A、B点不重合），则D的度数是( )A 30 B 40 C 45 D 一个变量9如图，O是ABC的外接圆，直径AD=4，ABC=DAC，则AC的长是（ ）A B C2 D810如图，在平面直角坐标系中，O与两坐标分别交于A，B，C，D四点，已知：A（6，0），B（0，3），C（2，0），则点D的坐标为（ ）A（0，2） B（0，3） C（0，4） D（0，5）11如图所示，A、B、C三点均在O上，若AOB80，则ACB 12如图，点A、B、C在半径为1的O上，的长为，则ACB的大小是_13如图，AD和AC分别是半圆O的直径和弦，且CAD=30，点B是AC上的点，BHAD交AC于点B，垂足为点H，且AH:HD=5：7.若HB=5，则BC=_14如图，在O的内接四边形ABCD中，AB=AD，BCD=140若点E在弦AB所对的劣弧上，则E=_15如图，O的直径过弦的中点，则 16如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，ADC = 128，则ABC =_17如图，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB等于 度1818如图，四边形ABCD内接于O，若B=130，OA=1，则的长为_19如图，AB是O的直径，C、D为圆O上的两点，若CDB=35，则ABC的度数为_度20如图，已知AB是O的直径，AB8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交O于点E、交射线CD于点F（1）若EDBE，求F的度数：（2）设线段OCa，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若PBE为等腰三角形，求OC的长21如图，四边形ABCD内接于O，C为的中点，若CBD30，O的半径为12.（1）求BAD的度数；（2）求扇形OCD的面积.22如图，ABC的三个顶点都在O上，APBC于P，AM为O的直径求证：BAMCAP23如图，四边形ABCD中，ABC=ADC=90，BDAC，垂足为P（1）请作出RtABC的外接圆O；（保留作图痕迹，不写作法）（2）点D在O上吗？说明理由；（3）试说明：AC平分BAD24如图，在ABC中，E、F分别是AB、AC上的点.AD平分BAC，DEAB，DFAC，ADEF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：；.（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题.25已知：O是ABC的外接圆，点M为O上一点.（1）如图，若ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证AME为等边三角形，并且ABMACE，进而就可求出线段AM的长请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程（2）若ABC为等腰直角三角形，BAC=，（其中），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).26问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）（二）问题解决：已知O的半径为2，AB，CD是O的直径P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M（1）若直径ABCD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径ABCD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120角当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值27已知A，B，C，D是O上的四个点(1)如图，若ADCBCD90，ADCD，求证：ACBD；(2)如图，若ACBD，垂足为F，AB2，DC4，求O的半径答案：1B试题分析：AB是半圆直径，AO=OD，OAD=ADO，AD平分CAB交弧BC于点D，CAD=DAO=CAB，CAD=ADO，ACOD，故正确由题意得，OD=R，AC=R，OE：CE=OD：AC=，OECE，故错误；OED=AOE+OAE=90+225=1125，AOD=90+45=135，OEDAOD，ODE与ADO不相似，故错误；AD平分CAB交弧BC于点D，CAD=45=225，COD=45，AB是半圆直径，OC=OD，OCD=ODC=675CAD=ADO=225，CDE=ODC-ADO=675-225=45，CEDCDO，CD2=COCE=ABCE，2CD2=CEAB，故正确综上可得正确故选B2D试题分析：在同圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，则ACB=AOB=403C试题解析： 如图所示：点的位置有两种情况:连接是等边三角形. , 是等腰直角三角形.如图, 不在弧上时: 如图, 在弧上时: 故选C.4D试题分析：先根据圆周角定理得出ACB=90，A=D，再由ABC=65可得出A的度数，进而可得出结论解：AB是O的直径，ACB=90.ABC=65，D=A=9065=25.故选D. 5C试题分析：连结OC交BD于E，设BOC=n，根据弧长公式可计算出n=60，即BOC=60，易得OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得C=60，OBC=60，BC=OB=6，由于BCOD，则2=C=60，再根据圆周角定理得1=2=30，即BD平分OBC，根据等边三角形的性质得到BDOC，接着根据垂径定理得BE=DE，在RtCBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6解：连结OC交BD于E，如图，设BOC=n，根据题意得2=，得n=60，即BOC=60，而OB=OC，OBC为等边三角形，C=60，OBC=60，BC=OB=6，BCOD，2=C=60，1=2（圆周角定理），1=30，BD平分OBC，BDOC，BE=DE，在RtCBE中，CE=BC=3，BE=CE=3，BD=2BE=6故选：C点拨：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理6C分析：作AB弧所对的圆周角APB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得AOB=135，则根据圆周角定理得到P=AOB=67.5，然后根据圆周角定理可计算出ACB的度数详解：作AB弧所对的圆周角APB，如图，OA=OB， OBA=OAB=25，AOB=180-225=130，P=AOB=65，ACB=180-65=115故选：C点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径7D试题分析：由AB是O的直径，得到ACB=90，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到，求出AD=AB，BD=AB，过C作CEAB于E，连接OE，由CE平分ACB交O于E，得到OEAB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论AB是O的直径， ACB=90，B=30，CE平分ACB交O于E，AD=AB，BD=AB，过C作CEAB于E，连接OE，CE平分ACB交O于E，=，OEAB，OE=AB，CE=AB，SADE：SCDB=（ADOE）：（BDCE）=（ABAB）：（ABAB）=2：38C试题解析：AB是O的直径，ACB=90，CA=CB，A=ABC=45，D=A=45，故选C9A试题分析：连接CD，则ADC=90，ADC=ABC，又ABC=DAC，所以ADC=DAC=45，因为直径AD=4，所以由勾股定理可得：AC=CD=，故选：A10C试题分析：利用相交弦定理可得：OAOC=OBOD，可得OD=4，所以点D的坐标为（0，4）解：ACBDOAOC=OBODOA=6，OC=2，OB=3OD=4D在y轴的上半轴点D的坐标为（0，4）故选C1140试题分析：直接根据圆周角定理可得ACB=AOB=80=401236试题解析：连结OA、OB设AOB=n的长为2，=2，n=40，AOB=40，ACB=AOB=20138解：连接CD.CAD=30，HB=5，AB=2BH=10,. AH:HD=5：7,AD=AH+HD=.AD是直径，ACD=90,ACD=AHB.A=A,ACDAHB, ,BC=AC-AB=18-10=8.14110试题分析：连接AC，AB=AD，BCD=140，ACB=ACD=70，AEB+ACB=180，E=18070=110.1520试题分析：先根据O的直径过弦的中点可得弧ED=弧DF，再根据圆周角定理即可求得结果.O的直径过弦的中点弧ED=弧DF20.点拨：垂径定理是圆中极为重要的知识点，一般与勾股定理结合使用，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.1652试题分析：因为圆内接四边形对角互补，所以ABC +ADC=180.所以ABC=180-128=52.考点：圆内接四边形性质.17130试题分析：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到ACB的度数解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EBAOB=100E=AOB=50ACB=180E=13018 解：B=130,所以D=50，AOC=100，弧AC=.故答案为.1955解：由于AB是O的直径，由圆周角定理可知ACB=90，则A+ABC=90，欲求ABC需先求出A的度数，已知了同弧所对的圆周角CDB的度数，则A=CDB=35，由此得ABC=90-A=55故答案为：55.20（1）30；（2）EF=；（3）CO的长为或时，PEB为等腰三角形试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；（2）首先证明HBOCOD（AAS），进而利用CODCBF，得出比例式求出EF的长；（3）分别利用当PB=PE，不合题意舍去；当BE=EP，当BE=BP，求出即可试题解析：（1）如图1，连接EO，BOE=EOD，DOBF，DOE=BEO，BO=EO，OBE=OEB，OBE=OEB=BOE=60，CFAB，FCB=90，F=30；（2）如图1，作HOBE，垂足为H，在HBO和COD中，HBOCOD（AAS），CO=BH=a，BE=2a，DOBF，CODCBF，EF=；（3）COD=OBE，OBE=OEB，DOE=OEB，COD=DOE，C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，若PEB为等腰三角形，设CO=x，OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，由（2）得：BE=2x，当PB=PE，不合题意舍去；当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，当BE=BP，作BMEO，垂足为M，EM=PE=， OEB=COD，BME=DCO=90，BEMDOC，整理得：x2+x-4=0，解得：x=（负数舍去），综上所述：当CO的长为或时，PEB为等腰三角形21（1）60 （2）24解：（1）C是为的中点， =2，BAD=COD， =，COD=2CBD，BAD=2CBD，CBD=30，BAD=60；（2）=，COD=2CBD，CBD=30，COD=60，则S扇形OCD=24 点拨：此题主要考查了圆周角定理，以及扇形的面积计算，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半22证明：连接BM，AM为O的直径，ABM=90，M+BAM=90，APBC，APC=90，C+CAP=90，C=M，BAM=CAP试题分析：首先连接BM，根据同弧所对圆周角相等，即可得C=M，由AM为O的直径，根据圆周角定理，即可得ABM=90，又由APBC，利用等角的余角相等，即可证得BAM=CAP23（1）作图见解析；（2）在，理由见解析；（3）说明见解析试题分析：（1）作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，以OB为半径作O即可；（2）连结OD，先判断AC是O的直径，而ADB=90，根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AC，即OD=OA，于是根据点与圆的位置关系可判断点D在O上；（3）由于AC是O的直径，BDAC，根据垂径定理得BC=CD，则，然后根据圆周角定理可得BAC=DAC试题解析：（1）如图，O为所作；（2）点D在O上理由如下：连结OD，ABC=90，AC是O的直径，ADB=90，OD=AC，即OD=OA，点D在O上；（3）AC是O的直径，BDAC，BC=CD，BAC=DAC，AC平分BAD24（1）是真命题；是假命题；是真命题；（2）证明见解析.分析：（1），根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到命题是真命题；根据只能得到DE=DF，得不到DEAB，DFAC，从而得是假命题；，通过证明四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径，再根据垂径定理可得是真命题.（2）对真命题按（1）中的分析进行证明即可.解：（1），正确；，正确；，错误，分析如下：根据AD平分BAC，ADEF，可以证明ADEADF，可得DE=DF，但没有条件可以证明DEAB，DFAC，故命题为假命题；（2）先证，AD平分BAC，DEAB，DFAC，AD=AD，RtADERtADF，DE=DF，ADE=ADF，设AD与EF交于P ，则DEPDFP，DPE=DPF，DPE=DPF=90，ADEF；再证，如图，设AD的中点为O，连接OE，OF，DEAB，DFAC，OE，OF分别是RtADE，RtADF斜边上的中线，OE=AD，OF=AD，即点O到A、E、D、F的距离相等，四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径，EF是O的弦，EFAD，DAE=DAF，即AD平分BAC点拨：本题考查了三角形全等的判定定理和性质，同时考查了垂径定理等知识的综合运用，结合图形正确地选择相关性质以及准确添加辅助线是解题的关键.25（1）解：延长MB至点E，使BE=MC，连接AE， ABC是等边三角形，AB=AC，四边形ABMC是O的内接四边形，ABE=ACM，在AEB和AMC中，AEBAMC，AEB=AMC，AMC=ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），AEB=ABC，AME=ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），又ABC=ACB=60，AEB=AME=60，AEM是等边三角形，AM=ME=MB+BE，BE=MC，MB+MC=MA=1+2=3即AM的长是3（2）解：分为两种情况：如图，AM=(a+b)由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，由（1）知：ABE=ACM，在ABE和ACM中ABEACM，AM=AE，E=AMC，AMC=ABC=45，AMB=ACB=45，E=AMB=45，EAM=90，在EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，由勾股定理得：AM=(a+b)即AM=(a+b)如图，在CM上截取CN=BM，连接AN，ABM所对的弧和ACN所对的弧都是弧AM，ABM=ACN，在ABM和ACN中ABMACN（SAS），AM=AN，BAM=CAN，BAC=BAN+CAN=90，BAN+BAM=90，MAN=90，则MAN是等腰直角三角形，MN=CM-CN=CM-BM=b-a，由勾股定理得：AM=AN=(b-a)即AM=(b-a)即AM的长是(a+b)或(b-a)试题分析：（1）延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等边三角形性质求出AC=AB，根据圆内接四边形的性质推出ABE=ACM，证ABEACM，推出AM=AE，证等边三角形AEM，推出AE=AM=ME，即可推出答案；（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推出AB=AC，根据SAS证ABEACM，推出AM=AE，E=AMC=45，AMB=45，求出EAM是等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可点拨：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线推出AM=BM+CM，两小题证明过程类似，都是通过作辅助线把AM、BM、CM放在一个三角形中，求出三者之间的关系，题目比较好，有一点难度26（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）MN=；证明见解析；（4）MN取得最大值2试题分析：（1）如图一，易证PMO+PNO=180，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得COP1=BOP1=60，根据圆内接四边形的对角互补可得MP1N=60根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到P1MN是等边三角形，则有MN=P1M然后在RtP1MO运用三角函数就可解决问题；设四边形PMON的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得QMN=90，MQN=MPN=60，在RtQMN中运用三角函数可得：MN=QNsinMQN，从而可得MN=OPsinMQN，由此即可解决问题；（4）由（3）中已得结论MN=OPsinMQN可知，当MQN=90时，MN最大，问题得以解决试题解析：（1）如图一，PMOC，PNOB，PMO=PNO=90，PMO+PNO=180，四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，ABOC，即BOC=90，BOC=PMO=PNO=90，四边形PMON是矩形，MN=OP=2，MN的长为定值，该定值为2；（3）如图二，P1是的中点，BOC=120，COP1=BOP1=60，MP1N=60，P1MOC，P1NOB，P1M=P1N，P1MN是等边三角形，MN=P1MP1M=OP1sinMOP1=2sin60=，MN=；设四边形PMON的外接圆为O，连接NO并延长，交O于点Q，连接QM，如图三，则有QMN=90，MQN=MPN=60，在RtQMN中，sinMQN=，MN=QNsinMQN，MN=OPsinMQN=2sin60=2=，MN是定值（4）由（3）得MN=OPsinMQN=2sinMQN当直径AB与CD相交成90角时，MQN=18090=90，MN取得最大值227(1)证明见解析;(2)O的半径为.试题分析：（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明；（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF根据直径所对的圆周角是直角，得DCF=DBF=90，则BFAC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB根据勾股定理即可求解试题解析：（1）ADC=BCD=90，AC、BD是O的直径，DAB=ABC=90，四边形ABCD是矩形，AD=CD，四边形ABCD是正方形，ACBD；（2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BFDF是直径，DCF=DBF=90，FBDB，又ACBD，BFAC，BDC+ACD=90，FCA+ACD=90BDC=FCA=BAC等腰梯形ACFBCF=AB根据勾股定理，得CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20，DF=2，OD=，即O的半径为.
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