2019-2020年高三上学期期中数学试卷（理科）含解析 (V).doc

2019-2020年高三上学期期中数学试卷（理科）含解析 (V)一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|lnx0，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x12若为a实数，且=3+i，则a=（）A4B3C3D43下列命题中正确的个数是（）若P是q的必要而不充分条件，则P是q的充分而不必要条件；命题“对任意xR，都有x20”的否定为“存在x0R，使得x020”；若pq为假命题，则p与q均为假命题；命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x3，则x24x+30”A1个B2个C3个D4个4把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD5已知函数f（x）=（x+2）n+（x2）n，其中，则f（x）的展开式中x4的系数为（）A120B120C60D06已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）ABCD7若（，），则3cos2=sin（），则sin2的值为（）ABCD8在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为（）ABCD9如图，设E，F分别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=（） A8B10C11D1210已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数，则=12若存在x2，3，使不等式1成立，则实数a的最小值为13已知与的夹角为120，若，且，则在方向上的正射影的数量为14已知向量=（x1，2），=（4，y），若，则9x+3y的最小值为15已知函数f（x）=ax3+ax23ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知=（2sin（2x+），2），=（1，sin2x），f（x）=，（x0，）（1）求函数f（x）的值域；（2）设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值18某旅游景点预计xx年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）（392x），（xN*，且x12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（I）写出xx年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（II）试问xx年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？19设等差数列an的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn+3=0，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Pn20已知椭圆=1（ab0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足（1）求椭圆的标准方程；（2）若1+2=3，试证明：直线l过定点并求此定点21已知函数f（x）=lnxax2x（aR）（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，2）处的切线方程；（2）当a0时，讨论函数f（x）在其定义域内的单调性；（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0，g（x0），使得以P为切点的切线l将其图象分割为c1，c2两部分，且c1，c2分别位于切线l的两侧（点P除外），则称x0为函数y=g（x）的“转点”，问函数y=f（x）（a0）是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由xx山东省东营一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集U=R，A=y|y=2x+1，B=x|lnx0，则（UA）B=（）ABx|x1Cx|x1Dx|0x1【考点】补集及其运算；交集及其运算【分析】本题求集合的交集，由题设条件知可先对两个集合进行化简，再进行交补的运算，集合A由求指数函数的值域进行化简，集合B通过求集合的定义域进行化简【解答】解：由题意A=y|y=2x+1=y|y1，B=x|lnx0=x|0x1，故CUA=y|y1（CUA）B=x|0x1故选D2若为a实数，且=3+i，则a=（）A4B3C3D4【考点】复数相等的充要条件【分析】根据复数相等的条件进行求解即可【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D3下列命题中正确的个数是（）若P是q的必要而不充分条件，则P是q的充分而不必要条件；命题“对任意xR，都有x20”的否定为“存在x0R，使得x020”；若pq为假命题，则p与q均为假命题；命题“若x24x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x3，则x24x+30”A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】本题考到命题的等价性，含有一个量词的命题的否定，复合命题的真假判断和逆否命题的概念【解答】正确：这两个命题是等价的命题，体现了原命题和逆否命题的等价正确：这是含有一个量词的命题的否定，否定的规则是改变量词再否定结论不正确：p和q只要有假命题pq就是假命题，不需要两个都是假命题正确：逆否命题是同时否定条件和结论再把条件和结论互换正确命题的个数是3，选C4把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD【考点】正弦函数的对称性【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选A5已知函数f（x）=（x+2）n+（x2）n，其中，则f（x）的展开式中x4的系数为（）A120B120C60D0【考点】二项式系数的性质；定积分【分析】利用定积分求出n，然后利用二项式定理求解即可【解答】解： =3（sinx）=3sin=6函数f（x）=（x+2）n+（x2）n=（x+2）6+（x2）6，由Tr+1=x6r（2）r+x6r2r，令6r=4，得r=2f （x）的展开式中的x4系数为222=120故选：A6已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义求z的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，由，解得，即A（3，2），此时OA的斜率k=，即的最大值为故选：B7若（，），则3cos2=sin（），则sin2的值为（）ABCD【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可【解答】解：3cos2=sin（），可得3cos2=（cossin），3（cos2sin2）=（cossin），（，），sincos0，上式化为：sin+cos=，两边平方可得1+sin2=sin2=故选：D8在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为（）ABCD【考点】正弦定理【分析】在锐角ABC中，利用sinA=，SABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值【解答】解：在锐角ABC中，sinA=，SABC=，bcsinA=bc=，bc=3，又a=2，A是锐角，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，b+c=2由得：，解得b=c=故选A9如图，设E，F分别是RtABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则=（） A8B10C11D12【考点】向量在几何中的应用【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出，代入向量的数量积公式计算【解答】解：以BC为x轴，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图AB=3，AC=6，BAC=90，BC=3，=，sinC=cosBsinB=2cosB，sin2B+cos2B=1sinB=，cosB=A（，），E（，0），F（2，0）=（，），=（，），=+（）2=10故选B10已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），且当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x），若2a4则（）Af（2a）f（3）f（log2a）Bf（3）f（log2a）f（2a）Cf（log2a）f（3）f（2a）Df（log2a）f（2a）f（3）【考点】抽象函数及其应用；导数的运算【分析】由f（x）=f（4x），可知函数f（x）关于直线x=2对称，由xf（x）2f（x），可知f（x）在（，2）与（2，+）上的单调性，从而可得答案【解答】解：函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4x），f（x）关于直线x=2对称；又当x2时其导函数f（x）满足xf（x）2f（x）f（x）（x2）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（2，+）上的单调递增；同理可得，当x2时，f（x）在（，2）单调递减；2a4，1log2a2，24log2a3，又42a16，f（log2a）=f（4log2a），f（x）在（2，+）上的单调递增；f（log2a）f（3）f（2a）故选C二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11已知函数，则=【考点】分段函数的应用；函数的值【分析】利用分段函数的解析式，求解函数值即可【解答】解：函数， =故答案为：12若存在x2，3，使不等式1成立，则实数a的最小值为【考点】其他不等式的解法【分析】由已知得a2x，令y=2x，由导数性质得y=2x，在2，3上是增函数，由此能求出实数a的最小值【解答】解：存在x2，3，使不等式1成立，1+axx2x，即a2x，令y=2x，则y=2xln2+0，y=2x，在2，3上是增函数，当x=2时，y取得最小值，ymin=22=，a，即实数a的最小值为故答案为：13已知与的夹角为120，若，且，则在方向上的正射影的数量为【考点】平面向量数量积的运算【分析】，可得=2=0，可得，即可得出【解答】解：，=2=0，=2， =cos120=，4+2=0，解得=在方向上的正射影的数量=，故答案为：14已知向量=（x1，2），=（4，y），若，则9x+3y的最小值为6【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程求出x，y满足的方程；利用基本不等式得到函数的最值，检验等号何时取得【解答】解：由已知=0（x1，2）（4，y）=02x+y=2则9x+3y=，当且仅当32x=3y，即时取得等号故答案为：615已知函数f（x）=ax3+ax23ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（，）（，+）【考点】函数的图象【分析】求导，得f（x）=ax2+2ax3a=a（x+3）（x1），要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（3）f（1）0，再进一步计算即可【解答】解：f（x）=ax3+ax23ax+1f（x）=ax2+2ax3a=a（x1）（x+3），令f（x）=0，解的x=1或x=3，要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（3）f（1）0，f（3）=a（3）3+a（3）23a（3）+1=9a+1，f（1）=a+a3a+1=1a，（9a+1）（1a）0，即（a+）（a）0，解的a，或a故答案为：（，）（，+）三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16已知=（2sin（2x+），2），=（1，sin2x），f（x）=，（x0，）（1）求函数f（x）的值域；（2）设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数【分析】（1）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=cos（2x+）+1，由余弦函数的有界性即可求值域（2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又结合范围0B，即可解得B的值，由正弦定理可求sinC，解得C，解得A，即可解得a的值【解答】（本小题满分12分）解：（1）f（x）=2sin（2x+）2sin2x=2（sin2xcos+cos2xsin）（1cos2x）=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+1 x0，2x+，1cos（2x+），从而有0f（x），所以函数f（x）的值域为0， （2）由f（）=1，得cos（B+）=0，又因为0B，所以B+，从而B+=，即B= 因为b=1，c=，所以由正弦定理得sinC=，故C=或，当C=时，A=，从而a=2，当C=时，A=，又B=，从而a=b=1综上a的值为1或2（用余弦定理类似给分）17如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（I）求证：PBAD；（II）若PB=，求二面角APDC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BD证明AD平面PBE，然后证明PBAD；（）以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面APD的一个法向量为=（0，1，0），平面PDC的一个法向量为，利用向量的数量积求解二面角APDC的余弦值【解答】（）证明：取AD的中点E，连接PE，BE，BDPA=PD=DA，四边形ABCD为菱形，且BAD=60，PAD和ABD为两个全等的等边三角形，则PEAD，BEAD，AD平面PBE，又PB平面PBE，PBAD；（）解：在PBE中，由已知得，PE=BE=，PB=，则PB2=PE2+BE2，PEB=90，即PEBE，又PEAD，PE平面ABCD；以点E为坐标原点，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E（0，0，0），C（2，0），D（1，0，0），P（0，0，），则=（1，0，），=（1，0），由题意可设平面APD的一个法向量为=（0，1，0）；设平面PDC的一个法向量为=（x，y，z），由 得：，令y=1，则x=，z=1，=（，1，1）；则=1，cos=，由题意知二面角APDC的平面角为钝角，所以，二面角APDC的余弦值为18某旅游景点预计xx年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）（392x），（xN*，且x12）已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（I）写出xx年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（II）试问xx年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（）根据所给的前x个月旅游人数的和，可以得到第x个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数符合表示式（）根据所给的表示式，写出第x月旅游消费总额，是一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，得到最大月旅游消费总额【解答】解：（）当x=1时，f（1）=p（1）=37，当2x12，且xN*时，f（x）=P（x）P（x1）=x（x+1）（392x）（x1）x（412x）=3x2+40x验证x=1符合f（x）=3x2+40x（xN*，且1x12）（）第x月旅游消费总额为g（x）=（xN*）即g（x）=（xN*）当1x6，且xN*时，g（x）=18x2370x+1400，令g（x）=0，解得x=5，x=（舍去）当1x5时，g（x）0，当5x6时，g（x）0，当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（万元）当7x12，且xN*时，g（x）=480x+6400是减函数，当x=7时，g（x）max=g（7）=3040（万元），综上，xx年第5月份的旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为3125万元19设等差数列an的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn+3=0，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Pn【考点】数列的求和；等差数列的性质【分析】（）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an，运用n=1时，b1=T1，n1时，bn=TnTn1，求出bn；（）写出cn，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由题意，得，解得，an=4n，Tn2bn+3=0，当n=1时，b1=3，当n2时，Tn12bn1+3=0，两式相减，得bn=2bn1，（n2）则数列bn为等比数列，； （）当n为偶数时，Pn=（a1+a3+an1）+（b2+b4+bn）= 当n为奇数时，（法一）n1为偶数，Pn=Pn1+cn=2（n1）+1+（n1）22+4n=2n+n2+2n1，（法二）Pn=（a1+a3+an2+an）+（b2+b4+bn1）= 20已知椭圆=1（ab0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足（1）求椭圆的标准方程；（2）若1+2=3，试证明：直线l过定点并求此定点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由已知条件推导出b=1，（2a）2+（2b）2=2（2c）2，由此能求出椭圆的方程（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设l方程为x=t（ym），由已知条件推导出，由此能证明直线l过定点并能求出此定点【解答】解：（1）椭圆过点（0，1），b=1，设焦距为2c，长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，（2a）2+（2b）2=2（2c）2，又a2=b2+c2解得a2=3椭圆的方程为（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设l方程为x=t（ym），由，知（x1，y1m）=1（x0x1，y1）y1m=y11，由题意10，同理由知，1+2=3，y1y2+m（y1+y2）=0（*），联立，得（t2+3）y22mt2y+t2m23=0，需=4m2t44（t2+3）（t2m23）0（*）且有（*），（*）代入（*）得t2m23+m2mt2=0，（mt）2=1，由题意mt0，mt=1（满足（*），得l方程为x=ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点21已知函数f（x）=lnxax2x（aR）（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，2）处的切线方程；（2）当a0时，讨论函数f（x）在其定义域内的单调性；（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0，g（x0），使得以P为切点的切线l将其图象分割为c1，c2两部分，且c1，c2分别位于切线l的两侧（点P除外），则称x0为函数y=g（x）的“转点”，问函数y=f（x）（a0）是否存在这样的一个“转点”，若存在，求出这个“转点”，若不存在，说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出a=1的函数，求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出导数，对a讨论，a=0，a0，运用判别式结合二次方程的求根公式，解不等式即可得到单调区间，注意定义域；（3）求出导数，对a讨论，a=0，a0，由导数得到单调区间，进而得到最大值，即可说明不存在切割点；a0，由（2）可得单调区间，说明f（x）无最值，则存在切割点【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=lnxx2x的导数为f（x）=2x1，则函数f（x）在（1，2）处的切线斜率为121=2，即有函数f（x）在（1，2）处的切线方程为y+2=2（x1），即为2x+y=0；（2）函数f（x）=lnxax2x的导数为f（x）=2ax1=，（x0），当a=0时，f（x）=，当x1时，f（x）0，f（x）递减；当0x1时，f（x）0，f（x）递增当a0时，令h（x）=2ax2x+1，当0，即1+8a0，a时，h（x）0恒成立，即有f（x）递增；当0，即1+8a0，a时，由h（x）=0可得x=0，当x或0x时，f（x）0，f（x）递增；当 x时，f（x）0，f（x）递减综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+）；当a时，f（x）的增区间为（0，+）；当a0时，f（x）的增区间为（0，），（，+），减区间为（ ，）（3）函数f（x）=lnxax2x的导数为f（x）=2ax1，设A（x0，f（x0），（x00），则在A点处的切线l方程为y=f（x0）（xx0）+f（x0），令G（x）=f（x）f（x0）（xx0）f（x0），则G（x0）=0，G（x）=f（x）f（x0）=（xx0），（x0），当a0时，0xx0，有G（x）0；xx0，有G（x）0，所以G（x）在（0，x0上单调递增，在x0，+）上单调递减，于是G（x）G（x0）=0，故f（x）都在切线l的同侧，此时不存在“转点”，当a0时，取x0=，即2a=，G（x）0，所以G（x）在（0，+）上单调递增，又G（x0）=0，所以当x（0，x0）时，G（x）0；当x（x0，+）时，G（x）0，于是f（x）的图象在切线l的两侧，所以x0=为函数f（x）的一个“转点“，综上所述：当a0时，存在x0=是函数f（x）的一个“转点”；当a0时，y=f（x）不存在“转点”xx年1月15日