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提分专练(七)以圆为背景的计算题与证明题|类型1|平面直角坐标系中的圆1.如图T7-1,在平面直角坐标系xOy中,以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M,交y轴的正半轴于点N.劣弧MN 的长为65,直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B. (1)求证:直线AB与O相切; (2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用表示).图T7-12.xx酒泉 如图T7-2,AN是M的直径,NBx轴,AB交M于点C. (1)若点A0,6,N0,2,ABN=30,求点B的坐标; (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是M的切线.图T7-2|类型2|垂径定理与勾股定理联手3.xx金华 如图T7-3,已知:AB是O的直径,点C在O上,CD是O的切线,ADCD于点D.E是AB延长线上的一 点,CE交O于点F,连接OC,AC. (1)求证:AC平分DAO. (2)若DAO=105,E=30. 求OCE的度数; 若O的半径为22,求线段EF的长.图T7-3|类型3|与圆有关的图形的面积4.xx达州 已知,如图T7-4,以等边三角形ABC的边BC为直径作O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DFAC于点 F. (1)求证:DF是O的切线; (2)若等边三角形ABC的边长为8,求由DE,DF,EF围成的阴影部分的面积.图T7-4|类型4|与圆的切线有关的问题5.xx扬州 如图T7-5,已知OABC的三个顶点A,B,C在以O为圆心的半圆上,过点C作CDAB,分别交AB,AO的延 长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF. (1)判断直线DE与半圆O的位置关系,并说明理由. (2)求证:CF=OC; 若半圆O的半径为12,求阴影部分的周长.图T7-5|类型5|圆与四边形结合的问题6.正方形ABCD内接于O,如图T7-6所示,在劣弧AB上取一点E,连接DE,BE,过点D作DFBE交O于点F,连接 BF,AF,且AF与DE相交于点G,求证: (1)四边形EBFD是矩形; (2)DG=BE.图T7-6|类型6|圆与三角函数结合的问题7.如图T7-7,AB是O的弦,点C为半径OA的中点,过点C作CDOA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB. (1)判断BD与O的位置关系,并说明理由; (2)若CD=15,BE=10,tanA=512,求O的直径.图T7-7|类型7|圆与相似三角形结合的问题8.xx黄冈 已知:如图T7-8,MN为O的直径,ME是O的弦,MD垂直于过点E的直线DE,垂足为点D,且ME平分DMN. 求证:(1)DE是O的切线; (2)ME2=MDMN.图T7-8参考答案1.解:(1)证明:作ODAB于D,如图所示:劣弧MN的长为65,90OM180=65,解得OM=125,即O的半径为125,直线y=-43x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,当y=0时,x=3;当x=0时,y=4,A(3,0),B(0,4),OA=3,OB=4,AB=32+42=5,AOB的面积=12ABOD=12OAOB,OD=OAOBAB=125=半径,直线AB与O相切.(2)图中所示的阴影部分的面积=AOB的面积-扇形OMN的面积=1234-141252=6-3625.2.解:(1)A的坐标为(0,6),N的坐标为(0,2),AN=4,ABN=30,ANB=90,AB=2AN=8,由勾股定理可知:NB=43,B(43,2).(2)证明:连接MC,NC.AN是M的直径,ACN=90,NCB=90,在RtNCB中,D为NB的中点,CD=12NB=ND,CND=NCD,MC=MN,MCN=MNC.MNC+CND=90,MCN+NCD=90,即MCCD.直线CD是M的切线.3.解:(1)证明:CD是O的切线,OCCD.ADCD,OCAD.DAC=ACO.OA=OC,OAC=ACO.DAC=OAC.AC平分DAO.(2)OCAD,EOC=DAO=105.OCE=180-EOC-E=18010530=45.如图,过点O作OGCE于G,可得FG=CG.在RtOGC中,OC=22,OCE=45,OG=CG=2222=2.FG=CG=2.在RtOGE中,OG=2,E=30,EG=OGtanE=233=23.EF=EG-FG=23-2.4.解:(1)证明:连接OD,CD.BC是直径,BDC=90.ABC是等边三角形,点D是AB的中点.点O是BC的中点,ODAC.DFAC,ODDF.OD是半径,DF是O的切线.(2)连接OD,OE,DE.同(1)可知点E是AC的中点,DE是ABC的中位线,ADE是等边三角形.等边三角形ABC的边长为8,等边三角形ADE的边长为4.DFAC,EF=2,DF=23.DEF的面积=12EFDF=12223=23.ADE的面积=ODE的面积=43.扇形ODE的面积=6042360=83.阴影部分的面积=DEF的面积+ODE的面积-扇形ODE的面积=23+43-83=63-83.5.解:(1)DE与半圆O相切.理由如下:CDAB,D=90.四边形ABCO是平行四边形,OCAD,OCE=D=90,OCDE.又OC是半圆O的半径,DE与半圆O相切.(2)证明:连接AC,四边形ABCO是平行四边形,AB=OC,BCAF,BCA=FAC,BA=CF,BA=CF,CF=OC.CF=OC=OF,OCF为等边三角形,COF=60,在RtOCE中,CE=3OC=123,OE=2OC=24,EF=12,lCF=6012180=4,C阴影部分=EF+CE+lCF=12+123+4.6.解析 (1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出BED=BAD=90,BFD=BCD=90,EDF=90,进而得出答案;(2)直接利用正方形的性质得出AD的度数是90,进而得出DG=DF,则BE=DG.证明:(1)正方形ABCD内接于O,BED=BAD=90,BFD=BCD=90,又DFBE,EDF+BED=180,EDF=90,四边形EBFD是矩形.(2)正方形ABCD内接于O,AD的度数是90,AFD=45,又GDF=90,DGF=DFG=45,DG=DF,又在矩形EBFD中,BE=DF,BE=DG.7.解析 (1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明OBD=90,即可证明BD是O的切线;(2)过点D作DGBE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=12BE=5,由两角相等的三角形相似,得ACEDGE,利用相似三角形对应角相等得到sinEDG=sinA=513,在RtEDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.解:(1)BD与O相切.理由如下:连接OB,OB=OA,DE=DB,A=OBA,DEB=ABD,又CDOA,A+AEC=A+DEB=90,OBA+ABD=90,OBBD,BD是O的切线.(2)如图,过点D作DGBE于G,DE=DB,EG=12BE=5,ACE=DGE=90,AEC=GED,ACEDGE,GDE=A,tanA=512,sinA=513,sinEDG=sinA=EGDE=513,DE=13,在RtEDG中,DG=DE2-EG2=12,CD=15,DE=13,CE=2,ACEDGE,ACDG=CEGE,AC=CEGEDG=245,O的直径=2OA=4AC=965.8.证明:(1)OM=OE,OME=OEM.ME平分DMN,OME=DME.OEM=DME.MDDE,MDE=90.在MDE中,DEM+DME=90.DEM+OEM=90.即OED=90,OEDE.又OE为O的半径,DE是O的切线.(2)如图,连接NE.MN为O的直径,MEN=90.MEN=MDE=90.又由(1)可知,NME=DME.DME EMN.MDME=MEMN,ME2=MDMN.
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