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多边形与平行四边形 一.选择题1.（xx江苏苏州3分）如图，在ABC中，延长BC至D，使得CD=BC，过AC中点E作EFCD（点F位于点E右侧），且EF=2CD，连接DF若AB=8，则DF的长为（）A3B4C2D3【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4，设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4【解答】解：取BC的中点G，连接EG，E是AC的中点，EG是ABC的中位线，EG=AB=4，设CD=x，则EF=BC=2x，BG=CG=x，EF=2x=DG，EFCD，四边形EGDF是平行四边形，DF=EG=4，故选：B【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，作辅助线构建三角形的中位线是本题的关键2.（xx山东东营市3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）AAD=BCBCD=BFCA=CDF=CDF【分析】正确选项是D想办法证明CD=AB，CDAB即可解决问题；【解答】解：正确选项是D理由：F=CDF，CED=BEF，EC=BE，CDEBFE，CDAF，CD=BF，BF=AB，CD=AB，四边形ABCD是平行四边形故选：D【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3.（xx山东济宁市3分）如图，在五边形 ABCDE 中，A+B+E=300，DP、CP 分别平分EDC.BCD，则P=（）A50 B55 C60 D65【解答】解：在五边形 ABCDE 中，A+B+E=300，ECD+BCD=240，又DP、CP 分别平分EDC.BCD，PDC+PCD=120，CDP 中，P=180（PDC+PCD）=180120=60 故选：C4. （xx乌鲁木齐4分）一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是（）A4B5C6D7【分析】根据内角和定理180（n2）即可求得【解答】解：多边形的内角和公式为（n2）180，（n2）180=720，解得n=6，这个多边形的边数是6故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180（n2），难度适中4. （xx临安3分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中BAC=36度【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：ABC=108，ABC是等腰三角形，BAC=BCA=36度【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质n边形的内角和为：180（n2）5. （xx广西玉林3分）在四边形ABCD中：ABCDADBCAB=CDAD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A3种B4种C5种D6种【分析】根据平行四边形的判定方法中，、均可判定是平行四边形【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：、故选：B6. （xx黑龙江龙东地区3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，AE平分BAD，分别交BC.BD于点E.P，连接OE，ADC=60，AB=BC=1，则下列结论：CAD=30BD=S平行四边形ABCD=ABACOE=ADSAPO=，正确的个数是（）A2B3C4D5【分析】先根据角平分线和平行得：BAE=BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：ACE=30，最后由平行线的性质可作判断；先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OEAB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；因为BAC=90，根据平行四边形的面积公式可作判断；根据三角形中位线定理可作判断；根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：SAOE=SEOC=OEOC=，=，代入可得结论【解答】解：AE平分BAD，BAE=DAE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABC=ADC=60，DAE=BEA，BAE=BEA，AB=BE=1，ABE是等边三角形，AE=BE=1，BC=2，EC=1，AE=EC，EAC=ACE，AEB=EAC+ACE=60，ACE=30，ADBC，CAD=ACE=30，故正确；BE=EC，OA=OC，OE=AB=，OEAB，EOC=BAC=60+30=90，RtEOC中，OC=，四边形ABCD是平行四边形，BCD=BAD=120，ACB=30，ACD=90，RtOCD中，OD=，BD=2OD=，故正确；由知：BAC=90，SABCD=ABAC，故正确；由知：OE是ABC的中位线，OE=AB，故不正确；四边形ABCD是平行四边形，OA=OC=，SAOE=SEOC=OEOC=，OEAB，=，SAOP=；故正确；本题正确的有：，4个，故选：C【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系7.（xx福建A卷4分）一个n边形的内角和为360，则n等于（）A3B4C5D6【分析】n边形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n2）180=360，解得n=4故选：B【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键8. （xx福建B卷4分）一个n边形的内角和为360，则n等于（）A3B4C5D6【分析】n边形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求n【解答】解：根据n边形的内角和公式，得：（n2）180=360，解得n=4故选：B【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键7.（xx贵州黔西南州4分）如图在ABCD中，已知AC=4cm，若ACD的周长为13cm，则ABCD的周长为（）A26cmB24cmC20cmD18cm【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长【解答】解：AC=4cm，若ADC的周长为13cm，AD+DC=134=9（cm）又四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，AD=BC，平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm故选：D【点评】本题考查了平行四边形的性质此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质8.（xx贵州铜仁4分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A8B9C10D11【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算【解答】解：多边形的外角和是360，根据题意得：180（n2）=3360解得n=8故选：A9.（xx海南3分）如图，ABCD的周长为36，对角线AC.BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则DOE的周长为（）A15B18C21D24【分析】利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题；【解答】解：平行四边形ABCD的周长为36，BC+CD=18，OD=OB，DE=EC，OE+DE=（BC+CD）=9，BD=12，OD=BD=6，DOE的周长为9+6=15，故选：A【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型14(xx湖南省邵阳市)（3分）如图所示，在四边形ABCD中，ADAB，C=110，它的一个外角ADE=60，则B的大小是40【分析】根据外角的概念求出ADC，根据垂直的定义、四边形的内角和等于360计算即可【解答】解：ADE=60，ADC=120，ADAB，DAB=90，B=360CADCA=40，故答案为：40【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360、外角的概念是解题的关键15. （xx乌鲁木齐4分）一个多边形的内角和是720，这个多边形的边数是（）A4B5C6D7【分析】根据内角和定理180（n2）即可求得【解答】解：多边形的内角和公式为（n2）180，（n2）180=720，解得n=6，这个多边形的边数是6故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180（n2），难度适中二.填空题1. （xx湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3分）若一个多边形的每个外角都等于30，则这个多边形的边数为12【分析】根据已知和多边形的外角和求出边数即可【解答】解：一个多边形的每个外角都等于30，又多边形的外角和等于360，多边形的边数是=12，故答案为：12【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和等于360是解此题的关键2. （xx湖南郴州3分）一个正多边形的每个外角为60，那么这个正多边形的内角和是720【分析】先利用多边形的外角和为360计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解【解答】解：这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（62）180=720故答案为720【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n2）180 （n3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度3. （xx湖南怀化4分）一个多边形的每一个外角都是36，则这个多边形的边数是10【分析】多边形的外角和是固定的360，依此可以求出多边形的边数【解答】解：一个多边形的每个外角都等于36，多边形的边数为36036=10故答案为：10【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是3604.（xx江苏宿迁3分）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是_.【答案】8【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360，根据题意列出方程，解之即可.【详解】设这个多边形边数为n，（n-2）180=3603，n=8，故答案为：8.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.5.（xx江苏无锡2分）如图，已知XOY=60，点A在边OX上，OA=2过点A作ACOY于点C，以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC，点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PDOY交OX于点D，作PEOX交OY于点E设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是2a+2b5【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP=OD=a，在RtHEP中，EPH=30，可得EH的长，计算a+2b=2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论【解答】解：过P作PHOY交于点H，PDOY，PEOX，四边形EODP是平行四边形，HEP=XOY=60，EP=OD=a，RtHEP中，EPH=30，EH=EP=a，a+2b=2（a+b）=2（EH+EO）=2OH，当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a+2b的最小值是2；当P在点B时，OH的最大值是：1+=，即（a+2b）的最大值是5，2a+2b5【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围6.（xx山东聊城市3分）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是540或360或180【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解【解答】解：n边形的内角和是（n2）180，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+12）180=540，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（42）180=360，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（412）180=180，因而所成的新多边形的内角和是540或360或180故答案为：540或360或180【点评】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键7.（xx山东济宁市3分）在ABC 中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC 边上， 连接 DE，DF，EF，请你添加一个条件 D 是 BC 的中点 ，使BED 与FDE 全等【解答】解：当 D 是 BC 的中点时，BEDFDE，E，F 分别是边 AB，AC 的中点，EFBC，当 E，D 分别是边 AB，BC 的中点时，EDAC，四边形 BEFD 是平行四边形，BEDFDE， 故答案为：D 是 BC 的中点8. （xx上海4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F设=，=那么向量用向量、表示为+2【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答【解答】解：如图，连接BD，FC，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DC=ABDCEFBE又E是边BC的中点，=，EC=BE，即点E是DF的中点，四边形DBFC是平行四边形，DC=BF，故AF=2AB=2DC，=+=+2=+2故答案是：+2【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质注意掌握三角形法则的应用是关键9. （xx上海4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形所以该多边形的内角和是3180=540故答案为540【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n2）180 （n3）且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将n边形分割为（n2）个三角形10. 如图，在四边形ABCD中，B=D=90，A=60，AB=4，则AD的取值范围是2AD8【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BFAD于F解直角三角形求出AE.AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BFAD于F在RtABE中，E=30，AB=4，AE=2AB=8，在RtABF中，AF=AB=2，AD的取值范围为2AD8，故答案为2AD8角形的中位线定理表示AD=2x，ADEF，可得CAD=CEF=45，证明EMC是等腰直角三角形，则CEM=45，证明ENFMNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长【解答】解：设EF=x，点E.点F分别是OA.OD的中点，EF是OAD的中位线，AD=2x，ADEF，CAD=CEF=45，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC=2x，ACB=CAD=45，EMBC，EMC=90，EMC是等腰直角三角形，CEM=45，连接BE，AB=OB，AE=OEBEAOBEM=45，BM=EM=MC=x，BM=FE，易得ENFMNB，EN=MN=x，BN=FN=，RtBNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，x=2或2（舍），BC=2x=4故答案为：4【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题11. （xx黑龙江哈尔滨3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC.BD相交于点O，AB=OB，点E.点F分别是OA.OD的中点，连接EF，CEF=45，EMBC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为4【分析】设EF=x，根据三12.（xx贵州贵阳4分）如图，点 M、N 分别是正五边形 ABCDE 的两边 AB.BC 上的点，且 AM = BN ， 点 O 是正五边形的中心，则 MON 的度数是 度.【解】方法一：特殊位置，即 OM AB，ON BC 时， MON = 360 = 725方法二：一般位置，作 OP AB，OQ BC ，如图所示：易得： RtDOPM RtDOQN ，则 POM = QONPOQ = POM + MOQ由NOM = NOQ + MOQ MON = POQ = 360 = 72513.（xx海南4分）五边形的内角和的度数是540【分析】根据n边形的内角和公式：180（n2），将n=5代入即可求得答案【解答】解：五边形的内角和的度数为：180（52）=1803=540故答案为：540【点评】此题考查了多边形的内角和公式此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键14. （xx上海4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F设=，=那么向量用向量、表示为+2【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答【解答】解：如图，连接BD，FC，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，DC=ABDCEFBE又E是边BC的中点，=，EC=BE，即点E是DF的中点，四边形DBFC是平行四边形，DC=BF，故AF=2AB=2DC，=+=+2=+2故答案是：+2【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质注意掌握三角形法则的应用是关键15. （xx上海4分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形所以该多边形的内角和是3180=540故答案为540【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n2）180 （n3）且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将n边形分割为（n2）个三角形三.解答题1.（xx江苏宿迁8分）如图，在ABCD中，点E.F分别在边CB.AD的延长线上，且BEDF，EF分别与AB.CD交于点G、H，求证：AGCH.【答案】证明见解析.【分析】根据平行四边形的性质得ADBC，AD=BC，A=C，根据平行线的性质得E=F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得CEHAFG，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】在四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，A=C，E=F，又BEDF，AD+DF=CB+BE，即AF=CE，在CEH和AFG中，CEHAFG，CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，给出下列四个论断：OA=OC，AB=CD，BAD=DCB，ADBC请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题：构造一个真命题，画图并给出证明；构造一个假命题，举反例加以说明【分析】如果结合，那么这些线段所在的两个三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的对边平行；如果结合，和结合的情况相同；如果结合，由对边平行可得到两对内错角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的对边也相等，那么是平行四边形；最易举出反例的是，它有可能是等腰梯形【解答】解：（1）为论断时：ADBC，DAC=BCA，ADB=DBC又OA=OC，AODCOBAD=BC四边形ABCD为平行四边形（2）为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形【点评】本题主要考查平行四边形的判定，学生注意常用等腰梯形做反例来推翻不是平行四边形的判断3.（xx江苏无锡8分）如图，平行四边形ABCD中，E.F分别是边BC.AD的中点，求证：ABF=CDE【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案【解答】解：在ABCD中，AD=BC，A=C，E.F分别是边BC.AD的中点，AF=CE，在ABF与CDE中，ABFCDE（SAS）ABF=CDE【点评】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的性质以及全等三角形，本题属于中等题型4.（xx江苏淮安8分）已知：如图，ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O的直线分别与AD.BC相交于点E.F求证：AE=CF【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO，ADBC，进而得出EAC=FCO，再利用ASA求出AOECOF，即可得出答案【解答】证明：ABCD的对角线AC，BD交于点O，AO=CO，ADBC，EAC=FCO，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键5（xx临安6分）已知：如图，E.F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF【分析】（1）要证ADFCBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD是平行四边形，得出AD=CB，DAF=BCE，从而根据SAS推出两三角形全等；（2）由全等可得到DFA=BEC，所以得到DFEB【解答】证明：（1）AE=CF，AE+EF=CF+FE，即AF=CE又ABCD是平行四边形，AD=CB，ADBCDAF=BCE在ADF与CBE中，ADFCBE（SAS）（2）ADFCBE，DFA=BECDFEB【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA.HL注意：AAA.SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角6.（xx湖州10分）已知在RtABC中，BAC=90，ABAC，D，E分别为AC，BC边上的点（不包括端点），且=m，连结AE，过点D作DMAE，垂足为点M，延长DM交AB于点F（1）如图1，过点E作EHAB于点H，连结DH求证：四边形DHEC是平行四边形；若m=，求证：AE=DF；（2）如图2，若m=，求的值【分析】（1）先判断出BHEBAC，进而判断出HE=DC，即可得出结论；先判断出AC=AB，BH=HE，再判断出HEA=AFD，即可得出结论；（2）先判断出EGBCAB，进而求出CD：BE=3：5，再判断出AFM=AEG进而判断出FADEGA，即可得出结论【解答】解：（1）证明：EHAB，BAC=90，EHCA，BHEBAC，HE=DC，EHDC，四边形DHEC是平行四边形；，BAC=90，AC=AB，HE=DC，HE=DC，BHE=90，BH=HE，HE=DC，BH=CD，AH=AD，DMAE，EHAB，EHA=AMF=90，HAE+HEA=HAE+AFM=90，HEA=AFD，EHA=FAD=90，HEAAFD，AE=DF；（2）如图2，过点E作EGAB于G，CAAB，EGCA，EGBCAB，EG=CD，设EG=CD=3x，AC=3y，BE=5x，BC=5y，BG=4x，AB=4y，EGA=AMF=90，GEA+EAG=EAG+AFM，AFM=AEG，FAD=EGA=90，FADEGA，=【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出HEA=AFD是解本题的关键7. （xx黑龙江大庆7分）如图，在RtABC中，ACB=90，D.E分别是AB.AC的中点，连接CD，过E作EFDC交BC的延长线于F（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度【分析】（1）由三角形中位线定理推知EDFC，2DE=BC，然后结合已知条件“EFDC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=25AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】（1）证明：D.E分别是AB.AC的中点，F是BC延长线上的一点，ED是RtABC的中位线，EDFCBC=2DE，又 EFDC，四边形CDEF是平行四边形；（2）解：四边形CDEF是平行四边形；DC=EF，DC是RtABC斜边AB上的中线，AB=2DC，四边形DCFE的周长=AB+BC，四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，BC=25AB，在RtABC中，ACB=90，AB2=BC2+AC2，即AB2=（25AB）2+52，解得，AB=13cm，8. （8分）如图，点B.F、C.E在一条直线上，FB=CE，ABED，ACFD，AD交BE于O求证：AD与BE互相平分【分析】连接BD，AE，判定ABCDEF（ASA），可得AB=DE，依据ABDE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分【解答】证明：如图，连接BD，AE，FB=CE，BC=EF，又ABED，ACFD，ABC=DEF，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AB=DE，又ABDE，四边形ABDE是平行四边形，AD与BE互相平分【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论9. （xx湖北省恩施12分）如图，已知抛物线交x轴于A.B两点，交y轴于C点，A点坐标为（1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P为坐标平面内一点，以B.C.D.P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点M1.M2.M3使得M1BC.M2BC.M3BC的面积均为定值S，求出定值S及M1.M2.M3这三个点的坐标【分析】（1）由OC与OB的长，确定出B与C的坐标，再由A坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形CBPD是平行四边形；当四边形BCPD是平行四边形；四边形BDCP是平行四边形时，利用平移规律确定出P坐标即可；（3）由B与C坐标确定出直线BC解析式，求出与直线BC平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线BC解析式，进而确定出另一条与直线BC平行且与BC距离相等的直线解析式，确定出所求M坐标，且求出定值S的值即可【解答】解：（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），把C（0，2）代入得：2=3a，即a=，则抛物线解析式为y=（x+1）（x3）=x2+x+2；（2）抛物线y=（x+1）（x3）=x2+x+2=（x1）2+，D（1，），当四边形CBPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；当四边形CDBP是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，）；当四边形BCPD是平行四边形时，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，）；（3）设直线BC解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，2）代入得：，解得：，y=x+2，设与直线BC平行的解析式为y=x+b，联立得：，消去y得：2x26x+3b6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，=368（3b6）=0，解得：b=，即y=x+，此时交点M1坐标为（，）；可得出两平行线间的距离为，同理可得另一条与BC平行且平行线间的距离为的直线方程为y=x+，联立解得：M2（，），M3（，），此时S=1【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键10.（xx福建A卷8分）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F求证：OE=OF【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，ADBC，继而可证得AOECOF（ASA），则可证得结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ADBC，OAE=OCF，在OAE和OCF中，AOECOF（ASA），OE=OF【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用11.（xx福建B卷8分）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F求证：OE=OF【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，ADBC，继而可证得AOECOF（ASA），则可证得结论【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ADBC，OAE=OCF，在OAE和OCF中，AOECOF（ASA），OE=OF【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用12.( xx广西北海8分）如图，在ABCD 中，AEBC，AFCD，垂足分别为 E.F，且 BE=DF.（1） 求证：ABCD 是菱形；（2） 若 AB=5,AC=6，求ABCD 的面积。【解答】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，B=DAEBC，AFDC，AEB=AFD=90，又BE=DF，AEBAFD(ASA)AB=AD，四边形 ABCD 是菱形（2）如图, 连接 BD 交 AC 于点O由（1）知四边形ABCD 是菱形，AC = 6ACBD, AO=OC= AC = = 6 = 3，:AB=5,AO=3,在 RtAOB 中，BO = AB: AO: = 5: 3: = 4,BD=2BO=8,SABCD = AC BD = = 6 8 = 24:【考点】平行四边形的性质；全等三角形的性质与判定；勾股定理；菱形的判定与性质、面积计算【解析】（1）由平行四边形的性质得出B=D，由题目 AEBC，AFDC 得出AEB=AFD=90，因为 BE=DF,由 ASA 证明AEBAFD，可得出 AB=AD,根据菱形的判定，即可得出四边形ABCD 为菱形。:（2）由平行四边形的性质得出 ACBD，AO=OC= AC=3，在 RtAOB 中，由勾股定理BO = AB: AO:可求 BD, 再根据菱形面积计算公式可求出答案。【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、菱形的性质和判定、菱形的面积计算等知识点，解题的关键是灵活综合运用所学知识解决问题，属于中考常考题型13.（xx贵州贵阳10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE 的中点， AB 与 AG 关于 AE 对称， AE 与 AF 关于 AG 对称，（1）求证： DAEF 是等边三角形；（2）若 AB = 2 ,求 DAFD 的面积.证明（1）：四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AE BC AE AD 即 EAD = 90在 RtDEAD 中 F 是 ED 的中点 AF = 1 ED = EF2 AE 与 AF 关于 AG 对称 AE = AF AE = AF = EF DAEF 是等边三角形（3）由（1）知 DAEF 是等边三角形，则 EAF = AEF = 60, EAG = FAG = 30在 RtDEAD 中, ADE = 30 AB 与 AG 关于 AE 对称 BAE = GAE = 30在 RtDAEB 中, AB = 2则 AE = AB cos BAE = 2 cos 30 = 3在 RtDEAD 中， AD = AE tan AEF =3 tan 60 = 3
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