芝诺悖论阿基里斯追不上乌龟.ppt

阿基里斯追不上乌龟 一 芝诺悖论 阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄 在他和乌龟的竞赛中 他速度为乌龟十倍 乌龟在前面100米跑 他在后面追 但他不可能追上乌龟 因为在竞赛中 追者首先必须到达被追者的出发点 当阿基里斯追到100米时 乌龟已经又向前爬了10米 于是 一个新的起点产生了 阿基里斯必须继续追 而当他追到乌龟爬的这10米时 乌龟又已经向前爬了1米 阿基里斯只能再追向那个1米 就这样 乌龟会制造出无穷个起点 它总能在起点与自己之间制造出一个距离 不管这个距离有多小 但只要乌龟不停地奋力向前爬 阿基里斯就永远也追不上乌龟 假设阿基里斯的奔跑速度是10M S 乌龟是1M S 乌龟先距离阿基里斯100M阿基里斯跑完这100M需要10S 此时乌龟又跑了10M 阿基里斯跑完这10M需要1S 此时乌龟又跑了1M 阿基里斯跑完这1M需要0 1S 此时乌龟又跑了0 1M 阿基里斯跑完这0 1M需要0 01S 此时乌龟又跑了0 01M 阿基里斯跑完这0 01M需要0 001S 此时乌龟又跑了0 001M 阿基里斯跑完这0 001M需要0 0001S 此时乌龟又跑了0 0001M 阿基里斯跑完这0 0001M需要0 00001S 此时乌龟又跑了0 00001M 结论 阿基里斯只能无限接近乌龟 但永远追不上乌龟 方程思想解答 假设乌龟的速度为a 则阿基里斯的速度为10a 设所需要的时间为x 那么10ax ax 100 x 100a 9 既然我们都算出了追赶所花的时间 我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢 然而问题在这 我们有一个假定 那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟 才求出的那个时间 这是初等数学的解决办法 从结果推往过程 但悖论的实质在于要求我们证明为何能追上 上面说到无穷个步骤实则难以完成 二 二分法悖论 我们设乌龟的速度相对于人的速度为0 人的速度相对于乌龟的速度为v 这时就变成二分法悖论 这只乌龟距离他s米 如果他想追上这只乌龟 就要先跑到这短距离的1 2 如果他想跑完这1 2 就要先跑完这1 2的1 2 也就是1 4 过1 4也要先过它的一半 以此类推 他永远也追不上这只乌龟 假设阿基里斯最后追上乌龟所走过的空间距离为1 则阿基里斯走过无穷个中点之后的距离s S 1 2 1 2 2 1 2 n我们可以看出 如果他走过了最后一个中点 就能追上乌龟 如果没有走过最后一个中点 他就不能追得上 那他是如何得知这是最后一个中点呢 这里面的s是无限接近实际到达的空间距离1 但无限接近并不是等于 也就是说 阿基里斯追不上 按此理解 我们岂不是上微积分课都不能走到教室 悖论的症结就在于 无限长度的和是否有限 无限时间的和是否有限 三 实无穷与潜无穷思想 实无穷 把无限的整体本身作为一个现成的单位 是已经构造完成了的东西 即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体 潜无穷 把无限看作永远在延伸着的 一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释 它永远处在构造中 永远完成不了 是潜在的 而不是实在 解释1 芝诺悖论与实无穷思想 承认实无穷思想 这是我们破解这个悖论的一个基石 物体要从A点运动到B点 它必先走过AB之间的中点 我们把这个中点用自然数标志为1 然后我们再把中点1与终点B之间的中点用自然数标志为2 再把中点2与终点B点之间的中点用自然数标志为3 无限地标志下去 所有的中点组成一个无穷集合 这个无穷集合中的每一个中点都有着一个唯一的编号 如果物从起点最后到达了终点 那么 它一定走过了有限的的无穷个中点 解释2 芝诺悖论与量子理论 量子理论认为 时间与空间都不可能无限分割 其最小单位即是量子 在数学上来看 是存在无理数的 1与2之间是有无穷数的 然而对于真实的量子世界 1与2之间是有限的 实质上 芝诺悖论的最根本问题在于它的假设 即时间或空间可以无限分割 无限分割的结果是进入微观世界 而微观世界的规律是遵从量子论的 即微观世界是有限的 是不可无限分割的 解释3 芝诺悖论不存在 悖论归根到底是一个时间的问题 阿基里斯速度是10m s 乌龟速度是1m s 乌龟在前面100m 实际情况是阿基里斯必然会在100 9秒之后追上乌龟 而按照悖论的逻辑 这100 9秒可以无限细分 给我们一种好像永远也过不完的印象 但其实不是这样 这就类似于有1秒时间 我们先要过一半即1 2秒 再过一半即1 4秒 再过一半即1 8秒 这样下去我们永远都过不完这1秒 因为无论时间再短也可无限细分 难道我们真的就永远也过不完这1秒了吗 那我们又是怎样长大的呢 尽管看上去我们要过1 2 1 4 1 8秒等等 好像永远无穷无尽 但时间的流动是匀速的 1 2 1 4 1 8秒 时间越来越短 看上去无穷无尽 加起来也只是个常数而已 1秒 这就就是说 芝诺悖论根本不存在 芝诺时间 芝诺悖论本身的逻辑并没有错 它之所以与实际相差甚远 在于芝诺与我们采取了不同的时间系统 人们习惯于将运动看做时间的连续函数 而芝诺的解释则采取了离散的时间系统 换句话说 连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限 思考 你认为芝诺悖论存在吗