离散线性系统的分析与校正.ppt

A B C D 沈阳工业大学 连续线性系统的分析与校正方法 离散系统离散化方法与采样定理 离散时间系统的解 离散线性系统的分析与校正方法 沈阳工业大学 采样采样定理 差分方程Z变换 最少拍系统 数字控制系统 概念 01 02 03 04 05 采样过程 香农采样定理 采样过程的数学描述 采样周期的选取 沈阳工业大学 7 2信号的采样与保持 信号保持 4 脉冲响应 1采样过程 理想单位脉冲序列 载波 幅值调制过程 前提条件 脉冲序列从0开始 2采样过程的数学描述 1 采样信号的拉式变换 7 2 采样信号的频谱 s 2 T为采样角频率 Cn是傅氏系数 其值为 连续信号的频谱为 采样信号的频谱为 h h 0 h h 0 s 2 s 3 s 3 s 2 s s s 2 h 滤波器的宽度满足什么 条件时能从 得到 s 2 h 或 T h 3香农采样定理 最低采样频率 最大采样周期 4采样周期的选取 5信号保持 11 2 零阶保持器 T 0 4 T 0 8 T 0 2 T 3 零阶保持器特性1 低通特性2 相角滞后特性3 时间滞后特性 7 3Z变换理论 1 Z变换定义2 Z变换方法1 级数求和法2 部分分式法3 Z变换的性质4 Z反变换1 部分分式法2 幂级数法3 反演积分法 1 z变换定义及符号表示 双边z变换 z反变换 物理意义 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合 C为F z 的收敛域 ROC 中的一闭合曲线 正变换 X z Z x k 反变换 x k Z 1 X z 或 符号表示 单边z变换及其收敛域 单边z变换 收敛域 ROC 使上式级数收敛的所有z的范围称为X z 的收敛域 一般右边序列的收敛域为z平面中的一圆外区域 z平面 z 1单位圆 例 求以下序列的Z变换及收敛域 解 1 2 有限长序列z变换的收敛域为 z 0 常用单边序列的z变换 3 单边z变换的主要性质 1 线性特性 3 单边z变换的主要性质 2 位移特性 因果序列的位移 非因果序列的位移 x k n u k n z nX z z Rx z Rx z Rx 3 单边z变换的主要性质 2 位移特性 证明 依此类推可证上式成立 例 求RN k u k u k N 的z变换及收敛域 解 利用因果序列的位移特性和线性特性 可得 由于RN k 为有限长序列 故其收敛域为 z 0 ROC扩大 线性加权后序列z变换的ROC可能比原序列z变换的ROC大 例 求以下周期序列的单边z变换 1 2 若计算出x1 k 的z变换X1 z 利用因果序列的位移特性和线性特性 则可求得其单边周期序列的z变换为 分析 周期为N的单边周期序列xN k u k 可以表示为第一个周期序列x1 k 及其位移x1 k lN 的线性组合 即 解 例 求以下周期序列的单边z变换 1 2 1 x k 可表示为 利用 k 的Z变换及因果序列的位移特性 可得 2 将y k 改写为 由 1 题的结果及卷积特性 可得 3 单边z变换的主要性质 3 指数加权特性 例 求aksin W0k u k 的z变换及收敛域 解 利用z变换的指数加权特性 可得 3 单边z变换的主要性质 4 z域微分特性 例 求x k k 1 aku k 的z变换及收敛域 解 利用z域微分特性 可得 利用z变换的线性特性 可得 3 单边z变换的主要性质 5 序列卷积 ROC包含Rx1 Rx2 例 求 解 利用z变换的卷积特性 以及 可得 设 3 单边z变换的主要性质 6 初值与终值定理 若 z 1 X z 的收敛域包含单位圆 则 例 已知X z 1 1 az 1 z a 求x 0 x 1 和x 解 根据位移特性有 对上式应用初值定理 即得 当 a 1时 z 1 X z 的收敛域包含单位圆 由终值定理 有 4 单边z反变换 C为X z 的ROC中的一闭合曲线 计算方法 幂级数展开和长除法部分分式展开留数计算法 4 单边z反变换 部分分式法 1 m n 分母多项式无重根 各部分分式的系数为 4 单边z反变换 部分分式法 2 m n 分母多项式在z u处有l阶重极点 4 单边z反变换 部分分式法 3 m n 按 1 2 情况展开 多项式 解 将X z 化为z的负幂 可得 将X z 进行z反变换 可得 解 m n 由多项式除法可得 G z 解 所以 进行z反变换 得 解 X z 有一对共轭复根 复根时部分分式展开 可以直接利用 解 由指数加权性质 解 A 4 3 B 2 3 C 1 3 例 求x k B C用待定系数法求 4 单边z反变换 留数法 若X z zk 1在z pi处有一阶极点 则该极点的留数为 若X z zk 1在z p处有一阶极点 则该极点的留数为 离散时间信号的z域分析小结 1 z变换与拉普拉斯变换的关系 2 双 单边z变换的定义与适用范围 双边适用于离散系统综合设计单边大多用于离散系统的分析3 z域分析与其他域分析方法相同 z变换的性质类似于其他变换 01 02 03 04 05 离散系统的数学定义 脉冲传递函数 线性系统差分方程及其解法 开环系统脉冲传递函数 沈阳工业大学 7 4离散系统的数学模型 闭环系统传递函数 06 Z变换法的局限性 1 离散系统的数学模型 离散系统的数学定义线性定常离散系统 线性时不变系统的描述及特点 连续时间系统用N阶常系数微分方程描述 ai bj为常数 离散时间系统用N阶常系数差分方程描述 ai bj为常数 线性时不变系统的描述 线性时不变系统的描述及特点 线性时不变系统的特点 LTI系统除具有线性特性和时不变特性外 还具有 1 微分特性与差分特性 若T x t y t 则 若T x k y k 则T x k x k 1 y k y k 1 2 积分特性与求和特性 若T x t y t 则 若T x k y k 则 离散信号的数学运算1 翻转x k x k 将x k 以纵轴为中心作180度翻转 x k n 表示将x k 右移n个单位 x k n 表示将x k 左移n个单位 2 位移x k x k n n 0 3 尺度变换 抽取 Decimation M 在原序列中每隔M 1点抽取一点 x k x Mk M为正整数 3 尺度变换 内插 Interpolation L 在序列2点之间插入L 1个点 3 尺度变换 原信号x 2倍抽取后信号x1 M 2 x Fs bits wavread myheart x1 x 1 M end Fs 44 100Hz 4倍抽取后信号x1 3 尺度变换 原信号x 8倍抽取后信号x1 M 8 x Fs bits wavread 我的祖国 x1 x 1 M end Fs 22 050Hz 4倍抽取后信号x1 4 序列相加 指将若干离散序列序号相同的数值相加 5 序列相乘 指若干离散序列序号相同的数值相乘 6 求和 单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示 7 差分 一阶后向差分 二阶后向差分 一阶前向差分 二阶前向差分 N阶后向差分 N阶前向差分 单位脉冲序列可用单位阶跃序列的差分表示 2 线性常系数差分方程及其解法 迭代法Z变换法 离散时间LTI系统的响应 迭代法求系统响应经典时域法求系统响应卷积法求系统响应零输入响应求解零状态响应求解Z变换法 离散时间LTI系统的响应 离散时间LTI系统的数学模型为 2 经典时域分析方法 求解差分方程 3 卷积法 系统完全响应 零输入响应 零状态响应 求解齐次差分方程得到零输入响应 利用卷积和可求出零状态响应 系统响应求解方法 1 迭代法 一 迭代法 已知n个初始状态 y 1 y 2 y 2 y n 和输入 由差分方程迭代出系统的输出 例 一阶线性常系数差分方程y k 0 5y k 1 u k y 1 1 用迭代法求解差分方程 解 将差分方程写成 代入初始状态 可求得 依此类推 缺点 很难得到闭合形式的解 二 经典时域分析方法 差分方程的全解即系统的完全响应 由齐次解yh k 和特解yp k 组成 齐次解yh k 的形式由齐次方程的特征根确定 特解yp k 的形式由方程右边激励信号的形式确定 二 经典时域分析方法 1 特征根是不等实根r1 r2 rn 2 特征根是等实根r1 r2 rn 3 特征根是成对共轭复根 齐次解的形式 二 经典时域分析方法 常用激励信号对应的特解形式 ak a不是特征根 ak a是特征根 例 已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y k 5y k 1 6y k 2 x k 初始条件y 0 0 y 1 1 输入信号x k 2ku k 求系统的完全响应y k 特征根为 齐次解yh k 解 1 求齐次方程y k 5y k 1 6y k 2 0的齐次解yh k 特征方程为 解 2 求非齐次方程y k 5y k 1 6y k 2 x k 的特解yp k 由输入x k 的形式 设方程的特解为 将特解带入原差分方程即可求得常数A 2 例 已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y k 5y k 1 6y k 2 x k 初始条件y 0 0 y 1 1 输入信号x k 2ku k 求系统的完全响应y k 解 3 求方程的全解 即系统的完全响应y k 解得C1 1 C2 1 例 已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程y k 5y k 1 6y k 2 x k 初始条件y 0 0 y 1 1 输入信号x k 2ku k 求系统的完全响应y k 讨论 1 若初始条件不变 输入信号x k sin 0ku k 则系统的完全响应y k 2 若输入信号不变 初始条件y 0 1 y 1 1 则系统的完全响应y k 经典法不足之处 若差分方程右边激励项较复杂 则难以处理 若激励信号发生变化 则须全部重新求解 若初始条件发生变化 则须全部重新求解 这种方法是一种纯数学方法 无法突出系统响应的物理概念 三 卷积法 系统完全响应 零输入响应 零状态响应 1 系统的零输入响应是输入信号为零 仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应 数学模型 求解方法 根据差分方程的特征根确定零输入响应的形式 再由初始状态确定待定系数 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 y k 3y k 1 2y k 2 x k 系统的初始状态为y 1 0 y 2 1 2 求系统的零输入响应yzi k 解 系统的特征方程为 系统的特征根为 解得C1 1 C2 2 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 y k 4y k 1 4y k 2 x k 系统的初始状态为y 1 0 y 2 1 2 求系统的零输入响应yzi k 解 系统的特征方程为 系统的特征根为 两相等实根 解得C1 4 C2 4 例 已知某线性时不变系统的动态方程式为 y k 0 5y k 1 y k 2 0 5y k 3 x k 系统的初始状态为y 1 2 y 2 1 y 3 8 求系统的零输入响应yzi k 解 系统的特征方程为 系统的特征根为 解得C1 1 C2 0 C5 5 三 卷积法 系统完全响应 零输入响应 零状态响应 求解系统的零状态响应yzs k 方法 1 直接求解初始状态为零的差分方程 2 卷积法 利用信号分解和线性时不变系统的特性求解 当系统的初始状态为零时 由系统的外部激励x k 产生的响应称为系统的零状态响应 用yzs k 表示 2 系统的零状态响应 卷积法求解系统零状态响应yzs k 的思路 1 将任意信号分解为单位脉冲序列的线性组合2 求出单位脉冲序列作用在系统上的响应 单位脉冲响应3 利用线性时不变系统的特性 即可求出任意序列x k 激励下系统的零状态响应yzs k 卷积法求解系统零状态响应yzs k 推导 由时不变特性 由均匀特性 由叠加特性 Z变换法 二阶系统响应的z域求解 对差分方程两边做z变换 利用 初始状态为y 1 y 2 二阶系统响应的z域求解 Yzi z Yzs z 解 例 某离散LTI系统满足y k 4y k 1 4y k 2 4x k 已知y 1 0 y 2 2 x k 3 ku k 由z域求yzi k yzs k y k Y z 4 z 1Y z y 1 4 z 2Y z z 1y 1 y 2 4X z Yzi z Yzs z 将差分方程两边进行单边z变换得 求解此代数方程可得系统完全响应的z域表示式 解 yzs k Z 1 Yzs z 1 6 k 1 2 k 0 96 2 k 1 44 3 k u k y k yzi k yzs k 例 某离散LTI系统满足y k 4y k 1 4y k 2 4x k 已知y 1 0 y 2 2 x k 3 ku k 由z域求yzi k yzs k y k 6 4k 2 k 5 44 2 k 1 44 3 k k 0 解 令k k 2 例 已知一LTI离散系统满足差分方程 由z域求系统零输入响应 零状态响应和完全响z应 对差分方程两边做z变换 解 例 已知一LTI离散系统满足差分方程 由z域求系统零输入响应 零状态响应和完全响应 零输入响应为 解 例 已知一LTI离散系统满足差分方程 由z域求系统零输入响应 零状态响应和完全响应 零状态响应为 脉冲传递函数或系统函数H z 与系统特性 系统函数H z 系统函数的定义H z 与h k 的关系z域求零状态响应求H z 的方法零极点与时域特性离散系统的稳定性 一 系统函数 脉冲传递函数 1 定义 系统在零状态条件下 输出的z变换式与输入的z变换式之比 记为H z 一 系统函数 2 H z 与h k 的关系 k yzs k k h k 一 系统函数 3 求零状态响应 x k yzs k x k h k X z Yzs z X z H z 一 系统函数 4 求H z 的方法 由系统的单位脉冲响应求解 H z Z h k 由系统的差分方程写出H z 由定义式 解 例 求单位延时器y k x k 1 的系统函数H z 利用z变换的位移特性 有 根据系统憨数的定义 可得 即单位延时器的系统函数H z 为z 1 解 例 一LTI离散系统 其初始状态为y 1 8 y 2 2 当输入x k 0 5 ku k 时 输出响应为y k 4 0 5 ku k 0 5k 0 5 k 1u k 1 0 5 ku k 求系统函数H z 解 例 一LTI离散系统 其初始状态为y 1 8 y 2 2 当输入x k 0 5 ku k 时 输出响应为y k 4 0 5 ku k 0 5k 0 5 k 1u k 1 0 5 ku k 求系统函数H z 对于初始状态为y 1 8 y 2 2的一般二阶系统 H z 二 系统函数的零极点分布 系统函数可以表达为零极点增益形式 即 D z 0的根是H z 的极点 在z平面用 表示 N z 0的根是H z 的零点 在z平面用 表示 例如 三 零极点与时域特性 系统的时域特性主要取绝于系统的极点 由系统函数H z 的零极点分布 可将H z 展开成部分分式 对每个部分分式取z反变换可得h k 如H z 为单极点时 有 三 零极点与时域特性 离散系统H z 与h k 关系 四 离散系统的稳定性 定理 离散LTI系统稳定的充要条件是 H z 的收敛域包含单位圆则系统稳定 因果系统的极点全在单位圆内则该系统稳定 由H z 判断系统的稳定性 解 例 试判断下面因果LTI离散系统的稳定性 该因果系统的收敛域为 z 1 5 收敛域不包含单位圆 故系统不稳定 从收敛域看 系统的极点为z1 0 5 z2 1 5 极点z2 1 5在单位圆外 故系统不稳定 从极点看 解 例一因果离散系统如图所示 求a H z b 系统稳定时k的范围 系统稳定 五 零极点与系统频率响应 由于系统稳定时 系统函数的收敛域包含单位圆 因此系统的频率响应H ejW 可由H z 求出 用z平面pi和zj点指向单位圆上ejW点的向量表示 解 例 已知某因果离散LTI系统的系统函数 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应 当W 0时 当W p时 当0 W p时 D随着 的增大而增大 N随着 的增大而减小 因此 解 例 已知某因果离散LTI系统的系统函数 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应 离散系统的模拟 系统的基本联接系统的级联系统的并联反馈环路离散系统的模拟框图直接型结构级联型结构并联型结构 一 系统的基本联接 1 系统的级联 一 系统的基本联接 2 系统的并联 一 系统的基本联接 3 反馈环路 二 离散系统的模拟框图 1 直接型结构 设差分方程中的m n 即 H1 z H2 z 二 离散系统的模拟框图 1 直接型结构 系统可以看成两个子系统的级联 描述这两个系统的差分方程为 二 离散系统的模拟框图 1 直接型结构 时域框图 二 离散系统的模拟框图 1 直接型结构 z域框图 二 离散系统的模拟框图 2 级联型结构 H z H1 z H2 z Hn z 将系统函数分解为一阶或二阶相乘的形式 即 画出每个子系统直接型模拟流图 然后将各子系统级联 二 离散系统的模拟框图 3 并联型结构 H z H1 z H2 z Hn z 将系统函数分解为一阶或二阶相加的形式 即 画出每个子系统直接型模拟流图 然后将各子系统并联 解 例 已知试作其直接形式 并联形式及级联形式的模拟框图 1 直接型 解 例 已知试作其直接形式 并联形式及级联形式的模拟框图 2 并联型 解 例 已知试作其直接形式 并联形式及级联形式的模拟框图 3 级联型 118 4开环系统的脉冲传递函数 采样拉氏变换的两个重要性质 1 采样函数的拉氏变换具有周期性 G s G s jn s E s G1 s G2 s E s G1 s G2 s 2 离散信号可从离散符号中提出来 设G1 s G2 s G s 则有 E s G s E s 与 无关 E s G s 所以有