直线和平面的投影.ppt

第二章点 直线和平面的投影 2 1投影的基本知识 2 2点的投影 2 3直线的投影 2 4平面的投影 2 5直线与平面及两平面的相对位置 2 6换面法 要求 掌握点的三面投影规律 掌握直线 平面的投影特性 会利用直线与平面及两平面的相对位置的投影特性解决有关问题 掌握换面法 2 1投影的基本知识 投影方法 中心投影法 平行投影法 直角投影法 正投影法 斜角投影法 画透视图 画斜轴测图 画工程图样及正轴测图 中心投影法 投射中心 物体 投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响 度量性较差 投影特性 投射线 投射中心 投影面 投影 物体位置改变 投影大小也改变 平行投影法 斜角投影法 投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制 采用多面投影 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置 一 点在一个投影面上的投影 a 2 2点的投影 二 点的三面投影 投影面 正面投影面 简称正面或V面 水平投影面 简称水平面或H面 侧面投影面 简称侧面或W面 投影轴 OX轴V面与H面的交线 OZ轴V面与W面的交线 OY轴H面与W面的交线 三个投影面互相垂直 空间点A在三个投影面上的投影 空间点用大写字母表示 点的投影用小写字母表示 X Y Z O V H W A a a a 向右翻 向下翻 不动 投影面展开 X Y Z O V H W A a a a 点的投影规律 a a OX轴 aax a az y A到V面的距离 a ax a ay z A到H面的距离 aay a az x A到W面的距离 a a OZ轴 例 已知点的两个投影 求第三投影 a a ax az az 解法一 通过作45 线使a az aax 解法二 用圆规直接量取a az aax 三点的坐标与投影之间的关系 YW x X Y Z O V H W A a a a Z az a X YH ay O a ax ay a x z y z y x y z 四投影面和投影轴上的点 课本P36 五 两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下 前后 左右位置关系 判断方法 x坐标大的在左 y坐标大的在前 z坐标大的在上 b a a a b b B点在A点之前 之右 之下 X YH YW Z 六 重影点 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时 则称此两点为该投影面的重影点 A C为H面的重影点 a a c 被挡住的投影加 ac 2 3直线的投影 两点确定一条直线 将两点的同名投影用直线连接 就得到直线的同名投影 直线对一个投影面的投影特性 一 直线的投影特性 直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性 直线平行于投影面投影反映线段实长ab AB 直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab ABcos 直线在三个投影面中的投影特性 投影面平行线 投影面垂直线 正平线 平行于 面 侧平线 平行于 面 水平线 平行于 面 正垂线 垂直于 面 侧垂线 垂直于 面 铅垂线 垂直于 面 一般位置直线 统称特殊位置直线 投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长 并反映直线与另两投影面倾角的实大 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 水平线 侧平线 正平线 投影特性 与H面的夹角 与V面的角 与W面的夹角 实长 实长 实长 反映线段实长 且垂直于相应的投影轴 投影面垂直线 铅垂线 正垂线 侧垂线 另外两个投影 在其垂直的投影面上 投影有积聚性 投影特性 一般位置直线 投影特性 三个投影都缩短 即 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大 且与三根投影轴都倾斜 1 ab a b a b 对于三个投影轴既不平行也不垂直 2 ab a b a b 都较空间线段AB缩短了 其具体长度为 ab ABcos a b ABcos a b ABcos a b a b b a b a ab ABcos a b ABcos a b ABcos 一般位置直线与倾角 三个投影都缩短 且都倾斜于相应的投影轴 A B V H b b a A0 B0 ZB ZA YB YA ZB ZA a b a b 实长 二 三角形法 一般位置直线的实长求法 zA zB 对 面倾角和实长 YA YB YA YB 对 面倾角与实长 对 面倾角与实长 例 求线段CD的实长及 角 c d c d 实长 d c c d 直角三角形法要点 2 投影 坐标差 实长和角度四个要素知道其中二个就可以求其它二个 1 角度 投影 坐标差和投影之间的对应关系 角 水平投影 z坐标差 线段实长 角 正面投影 y坐标差 线段实长 角 侧面投影 x坐标差 线段实长 3 解题时 直角三角形画在任何位置 都不影响解题结果 但用哪个长度来作直角边不能搞错 三 直线与点的相对位置 若点在直线上 则点的投影必在直线的同名投影上 并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例 即 若点的投影有一个不在直线的同名投影上 则该点必不在此直线上 判别方法 AC CB ac cb a c c b A B C V H b c c b a a 定比定理 点C不在直线AB上 例1 判断点C是否在线段AB上 点C在直线AB上 例2 判断点K是否在线段AB上 a b 因k 不在a b 上 故点K不在AB上 应用定比定理 a b k a b k 三 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为 平行 相交 交叉 两直线平行 投影特性 空间两直线平行 则其各同名投影必相互平行 反之亦然 空间两直线之比等于其同名投影之比 a b c d c a b d 例1 判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线 只要有两个同名投影互相平行 空间两直线就平行 AB CD b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行 例2 判断图中两条直线是否平行 求出侧面投影 两直线相交 判别方法 若空间两直线相交 则其同名投影必相交 且交点的投影必符合空间一点的投影规律 反之亦然 交点是两直线的共有点 例 过C点作水平线CD与AB相交 先作正面投影 1 2 3 4 两直线交叉 投影特性 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 是 面的重影点 是H面的重影点 为什么 两直线相交吗 两直线垂直相交 或垂直交叉 直角的投影特性 若直角有一边平行于投影面 则它在该投影面上的投影仍为直角 设直角边BC H面因BC AB 同时BC Bb所以BC ABba平面 直线在H面上的投影互相垂直 即 abc为直角 因此bc ab 故bc ABba平面 又因BC bc 证明 例 过C点作直线与AB垂直相交 反之 若一角的投影为直角 而且空间被投影的角至少有一边平行于该投影面 则空间角必是直角 小结 点与直线的投影特性 尤其是特殊位置直线的投影特性 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性 定比定理 直角定理 即两直线垂直时的投影特性 重点掌握 一 点的投影规律 a a OX轴 aax a az y A到V面的距离 a ax a ay z A到H面的距离 aay a az x A到W面的距离 a a OZ轴 二 各种位置直线的投影特性 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角 另两个投影平行于相应的投影轴 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴 三 直线上的点 点的投影在直线的同名投影上 点分线段成定比 点的投影必分线段的投影成定比 定比定理 四 两直线的相对位置 平行 相交 交叉 异面 同名投影互相平行 同名投影相交 交点是两直线的共有点 且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上一对重影点的投影 五 相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时 在该投影面上的投影反映直角 两直线中有一条平行于某一投影面时 在该投影面上的投影反映直角 两直线均为一般位置直线时 在三个投影面上的投影都不反映直角 直角定理 2 4平面的投影 一 平面的表示法 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 迹线表示法 YW 平面与投影面的交线 叫做平面的迹线 二 平面的投影特性 实形性 类似性 积聚性 平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜 a b c a c b c b a 投影面垂直面 类似性 类似性 积聚性 铅垂面 投影特性 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性 为什么 投影面平行面 积聚性 积聚性 实形性 水平面 投影特性 在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线 投影特性1 abc a b c a b c 均为 ABC的类似形2 不反映 的真实角度 一般位置平面 三 平面上的直线和点 平面上取任意直线 a b c b c a d n m 例1 已知平面由直线AB AC所确定 试在平面内任作一条直线 解法一 解法二 根据定理二 根据定理一 有无数解 例2 在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为10mm n m n m 唯一解 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线 然后再在该直线上确定点的位置 例1 已知K点在平面ABC上 求K点的水平投影 面上取点的方法 首先面上取线 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 k b 例2 已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 解法一 解法二 2 5直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行 相交和垂直 一 平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面平行 a c b m a b c m 例1 过M点作直线MN平行于平面ABC 有无数解 正平线 例2 过M点作直线MN平行于V面和平面ABC c b a m a b c m 唯一解 两平面平行 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线 则这两平面相互平行 若两投影面垂直面相互平行 则它们具有积聚性的那组投影必相互平行 二 相交问题 直线与平面相交 直线与平面相交 其交点是直线与平面的共有点 要讨论的问题 求直线与平面的交点 判别两者之间的相互遮挡关系 即判别可见性 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况 a b c m n c n b a m 平面为特殊位置 例 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性 空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面 其水平投影积聚成一条直线 该直线与mn的交点即为K点的水平投影 求交点 判别可见性 由水平投影可知 KN段在平面前 故正面投影上k n 为可见 还可通过重影点判别可见性 1 2 作图 k m n b m n c b a a c 直线为特殊位置 空间及投影分析 直线MN为铅垂线 其水平投影积聚成一个点 故交点K的水平投影也积聚在该点上 求交点 判别可见性 点 位于平面上 在前 点 位于MN上 在后 故k 2 为不可见 1 2 作图 用面上取点法 两平面相交 两平面相交其交线为直线 交线是两平面的共有线 同时交线上的点都是两平面的共有点 要讨论的问题 求两平面的交线 方法 确定两平面的两个共有点 确定一个共有点及交线的方向 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况 判别两平面之间的相互遮挡关系 即 判别可见性 可通过正面投影直观地进行判别 a b c d e f c f d b e a m n 空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面 它们的正面投影都积聚成直线 交线必为一条正垂线 只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影 求交线 判别可见性 作图 从正面投影上可看出 在交线左侧 平面ABC在上 其水平投影可见 能 如何判别 例 求两平面的交线MN并判别可见性 b c f h a e a b c e f h 1 2 空间及投影分析 平面EFH是一水平面 它的正面投影有积聚性 a b 与e f 的交点m b c 与f h 的交点n 即为两个共有点的正面投影 故m n 即MN的正面投影 求交线 判别可见性 点 在FH上 点 在BC上 点 在上 点 在下 故fh可见 n2不可见 作图 c d e f a b a b c d e f 投影分析 N点的水平投影n位于 def的外面 说明点N位于 DEF所确定的平面内 但不位于 DEF这个图形内 所以 ABC和 DEF的交线应为MK 互交 b a k 三垂直问题 1 直线与平面垂直 定理 若一直线垂直于平面 则该直线的水平投影一定垂直于该平面上水平线的水平投影 而该直线的正面投影一定垂直于该平面上的平面投影 N K A B n 证明 NK垂直平面P P H AB是平面P内的一条水平线 则NK垂直于AB 则nk垂直于ab 同理可证直线NK的正面投影垂直于平面上正平线的正面投影 例 过点M作直线垂直于三角形ABC所确定的平面 m b e e d d n n 2 二平面垂直 若一平面包含另一平面的垂线 则此二平面相互垂直 作平面Q包含垂直于平面P的直线AB 作平面Q垂直于平面P内的直线CD P Q A B P Q C D 例 过直线MN作一平面使它垂直于ABC所确定的平面 1 1 2 2 小结 重点掌握 二 如何在平面上确定直线和点 三 两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行 四 直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线 解题思路 空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影 判别可见性 尤其是如何利用重影点判别 一 平面的投影特性 尤其是特殊位置平面的投影特性 要点 一 各种位置平面的投影特性 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 三个投影为边数相等的类似多边形 类似性 在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性 另外两个投影类似 在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性 另外两个投影积聚为直线 二 平面上的点与直线 三 平行问题 直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线 两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于另一个平面上的一对相交直线 四 相交问题 求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点 利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解 投影面垂直线与一般位置平面求交点 利用交点的共有性和直线的积聚性 采取平面上取点的方法求解 求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交 分析交线的空间位置 有时可找出两平面的一个共有点 根据交线的投影特性画出交线的投影 一般位置平面与特殊位置平面相交 可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点 求出交线 2 6换面法 一 问题的提出 如何求一般位置直线的实长 如何求一般位置平面的真实大小 换面法 物体本身在空间的位置不动 而用某一新投影面 辅助投影面 代替原有投影面 使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置 然后将物体向新投影面进行投射 解决方法 更换投影面 二 新投影面的选择原则 1 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置 平行于新的投影面 垂直于新的投影面 2 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系 更换一次投影面 A点的两个投影 a a A点的两个投影 a a1 新投影体系的建立 三 点的投影变换规律 ax1 V H X P1 H X1 a a a1 V H A a ax X a1 ax1 新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 ax a 一般规律 点的新投影和与它有关的原投影的连线 必垂直于新投影轴 更换H面 求新投影的作图方法 V H X 由点的不变投影向新投影轴作垂线 并在垂线上量取一段距离 使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离 a a ax ax1 ax1 更换V面 作图规律 更换两次投影面 新投影体系的建立 按次序更换 A a V H a ax X a a X V H 求新投影的作图方法 作图规律a2a1 X2轴a2ax2 aax1 ax 四 换面法的四个基本问题 1 把一般位置直线变换成投影面平行线 用P1面代替V面 在P1 H投影体系中 AB P1 空间分析 不行 作图 新投影轴的位置 与ab平行 2 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析 a b a b X V H 作图 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线 X2轴的位置 与a1b1垂直 一次换面把直线变成投影面平行线 一般位置直线变换成投影面垂直线 需经几次变换 3 把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线 那么该平面则变换成新投影面的垂直面 空间分析 在平面内取一条投影面平行线 经一次换面后变换成新投影面的垂直线 则该平面变成新投影面的垂直面 作图方法 能否只进行一次变换 思考 若变换H面 需在面内取什么位置直线 正平线 a b c a c b X V H 例 把三角形ABC变换成投影面垂直面 作图过程 在平面内取一条水平线AD 将AD变换成新投影面的垂直线 反映平面对哪个投影面的夹角 一次换面 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面 二次换面 再变换成新投影面的平行面 4 把一般位置平面变换成投影面平行面 a b a c b X V H c 作图 AB是水平线 空间分析 X2轴的位置 平面的实形 与其平行 距离 d1 五 换面法的应用 如下图 当直线AB垂直于投影面时 CD平行于投影面 其投影反映实长 作图 求C点到直线AB的距离 就是求垂线CD的实长 空间及投影分析 过c1作线平行于x2轴 b a a b c d 例2 已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN 且AB为水平线 求CD及MN的投影 空间及投影分析 V H X 圆半径 MN 作图 请注意各点的投影如何返回 求m点是难点 空间及投影分析 AB与CD都平行于投影面时 其投影的夹角才反映实大 60 因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面 例3 过C点作直线CD与AB相交成60 角 a b a c b X V H c 作图 几个解 两个解 已知点C是等边三角形的顶点 另两个顶点在直线AB上 求等边三角形的投影 思考 如何解 解法相同 D点的投影如何返回 V H X 例4 求平面ABC和ABD的两面角 空间及投影分析 由几何定理知 两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角 在投影图中 两平面的交线垂直于投影面时 则两平面垂直于该投影面 它们的投影积聚成直线 直线间的夹角为所求 小结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法 一 换面法就是改变投影面的位置 使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置 二 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系 同时又有利于解题需要 这样才能使正投影规律继续有效 三 点的变换规律是换面法的作图基础 四个基本问题是解题的基本作图方法 必需熟练掌握 换面法的四个基本问题 2 把一般位置直线变成投影面垂直线 1 把一般位置直线变成投影面平行线 3 把一般位置平面变成投影面垂直面 4 把一般位置平面变成投影面平行面 变换一次投影面 变换一次投影面 变换两次投影面 变换两次投影面 需先在面内作一条投影面平行线 四 解题时一般要注意下面几个问题 分析已给条件的空间情况 弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置 并把这些条件抽象成几何元素 点 线 面等 根据要求得到的结果 确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置 垂直或平行 据此选择正确的解题思路与方法 在具体作图过程中 要注意新投影与原投影在变换前后的关系 既要在新投影体系中正确无误地求得结果 又能将结果返回到原投影体系中去 作业 习题册