理论力学第八章点的合成运动.ppt

理论力学 2020年2月12日 第二部分运动学 第八章点的合成运动 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 第八章点的合成运动 在前两章中研究点和刚体的运动时 认为地球 参考体 固定不动 将坐标系 参考系 固连于地面 因此 点和刚体的运动是相对固定参考系而言的 物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关 同一物体的运动 在不同的参考系中看来 可以具有极为不同的运动学特征 具有不同的轨迹 速度 加速度等 运动学 点的合成运动 在实际问题中 不仅要在固联在地面上的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和研究物体的运动 下面先看几个例子 沿直线轨道纯滚动的圆轮 研究轮缘上A点的运动 对于地面上的观察者 是旋轮线轨迹 对站在轮心上的观察者是圆 A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成 运动学 点的合成运动 飞机螺旋桨上点P的运动分析 飞机上观察P点为圆周运动 当飞机直线平移时地面上观察P点的运动为曲线运动 P点的运动可看成随飞机的平移与绕螺旋桨轴心转动的合成 运动学 点的合成运动 本章利用运动的分解 合成的方法对点的速度 加速度进行分析 研究点在不同参考系中的运动 以及它们之间的联系 运动学 点的合成运动 第八章点的合成运动 8 1点的合成运动的概念 8 2点的速度合成定理 8 3牵连运动为平移时点的加速度合成定理 8 4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 本章中点的速度合成是重点 点的加速度合成是难点 运动学 点的合成运动 8 1点的合成运动的概念 一 坐标系 定坐标系 建立在固定参考物上的坐标系 简称定系 一般将定系固结在地面上 动坐标系 建立在相对于定系运动着的物体上的坐标系 简称动系 图示原点在轮心与车厢固连的坐标系o x y 如图所示固结在地面上的坐标系 汽车车厢相对于运动 如果将坐标系固结于车厢上 则形成了相对于定系运动的坐标系 运动学 点的合成运动 二 动点 动点是指相对于定系和动系均有运动的点 本章就是研究动点相对于定系和动系的运动 如图中任选车轮上的点P作为动点 三 三种运动 三种速度与三种加速度 绝对运动 动点相对于定系的运动 如P相对于地面的运动 相对运动 动点相对于动系的运动 如P相对于车厢的运动 运动学 点的合成运动 牵连运动 动系相对于定系的运动 如行驶的汽车相对于地面的运动 运动学 点的合成运动 绝对 加 速度 动点相对于定系的 加 速度 用表示 牵连点 在某瞬时 动坐标系上与动点相重合的点 为该瞬时动点的牵连点 不同的瞬时动点的位置不同 牵连点也不同 相对 加 速度 动点相对于动系的 加 速度 用表示 牵连 加 速度 牵连点相对于定系的 加 速度 用表示 运动学 点的合成运动 牵连点的概念 在某瞬时 动坐标系上与动点相重合的点 为该瞬时动点的牵连点 不同的瞬时动点的位置不同 牵连点也不同 牵连运动一方面是动系的绝对运动 另一方面对动点来说起着 牵连 作用 但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点 该点称为瞬时重合点或牵连点 2 进一步说明 1 定义 由于相对运动 动点在动系上的位置随时间改变 所以牵连点具有瞬时性 3 注意 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 1 动点对动系要有相对运动 1 选择持续接触点为动点 2 对没有持续接触点的问题 一般不选择接触点为动点 根据选择原则具体问题具体分析 基本原则 具体选择方法 动点和动系的选择 2 动点的相对运动轨迹要明确 容易确定 运动学 点的合成运动 动点与牵连点 动点和牵连点是一对相伴点 在运动的同一瞬时 它们是重合在一起的 动点是与动系有相对运动的点 牵连点是动系上的几何点 在运动的不同瞬时 动点与动坐标系上不同的点重合 而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 下面举例说明一点两系三运动的分析 运动学 点的合成运动 AB杆上的A点 动系 凸轮 定系 地面 绝对运动 直线 相对运动 曲线 圆弧 牵连运动 直线平移 动点 凸轮机构运动分析 动系 凸轮 定系 地面 绝对运动 直线 相对运动 曲线 圆弧 牵连运动 直线平移 动点 运动学 点的合成运动 AB杆上的A点 凸轮机构运动分析 运动学 点的合成运动 A 在AB杆上 偏心轮C 地面 直线 圆周 C 定轴转动 动系 定系 绝对运动 相对运动 牵连运动 动点 偏心凸轮机构运动分析 运动学 点的合成运动 套筒A 摇杆O1B 地面 圆周 O 直线 沿O1B 定轴转动 绕O1 动系 定系 绝对运动 相对运动 牵连运动 动点 曲柄摇杆机构运动分析 运动学 点的合成运动 套筒A 摇杆OC 地面 圆周 O1 直线 沿OC 定轴转动 绕O 动系 定系 绝对运动 相对运动 牵连运动 动点 曲柄摇杆机构运动分析 运动学 点的合成运动 平底凸轮机构运动分析 动点 凸轮圆心点C 动系 平底挺杆 静系 地面 圆周 C 直线 直线平移 绝对运动 相对运动 牵连运动 运动学 点的合成运动 凸轮机构运动分析 动点 凸轮圆心点O 动系 摇杆 静系 地面 直线 直线 定轴转动 绝对运动 相对运动 牵连运动 注意的问题 三种运动的分析必须明确什么物体相对什么参考体的运动 相对 绝对运动指点的运动 可以是直线或曲线运动 牵连运动是指参考体的运动 是刚体的运动 可以是平移或定轴转动以及刚体的其他运动形式 牵连点指某瞬时动系上与动点相重合的点 不同瞬时牵连点的位置不同 以上可归结为一点 两系 三运动 动点相对动系 定系必须有运动 不能和动系在同一物体上 运动学 点的合成运动 四 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对 相对和牵连运动之间的关系 1 绝对运动方程 2 相对运动方程 3 牵连运动方程 坐标变换关系 以二维问题为例 设定系 动系 动点M 如图所示 运动学 点的合成运动 例1用车刀切削工件的端面 车刀刀尖P沿水平轴x作往复运动 如图所示 设为定坐标系 刀尖的运动方程为 工件以等角速度 逆时针方向转动 求车刀在工件圆端面上切出的痕迹 根据题意 需求车刀刀尖P相对于工件的轨迹方程 设刀尖P为动点 动系固定在工件上 则动点在动系Ox1y1和定系Oxy中的坐标关系为 解 运动学 点的合成运动 从上式中消去时间t 得刀尖的相对轨迹方程 即 车刀在工件上切出的痕迹是一个半径为的圆 该圆的圆心C在动坐标轴Oy1上 圆周通过工件的中心O 将点P的绝对运动方程代入上式中 得 车刀相对于工件的运动方程 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 点的合成运动基本概念的回顾 一 一点 两系 三运动 一点 动点 研究对象 两系 定系 动系 三运动 绝对运动 相对运动 牵连运动 二 三种速度 绝对速度 相对速度 牵连速度 三 牵连点 在某瞬时 动坐标系上与动点相重合的点 为该瞬时动点的牵连点 不同的瞬时动点的位置不同 牵连点也不同 运动学 点的合成运动 8 2点的速度合成定理 速度合成定理建立动点的绝对速度 相对速度和牵连速度之间的关系 绝对速度 相对速度 牵连速度 运动学 点的合成运动 设动点M在动系中沿某一曲线AB作相对运动 而动系本身相对定系作某种运动 下面证明速度合成定理 运动学 点的合成运动 牵连点运动轨迹 z x y M m 绝对运动轨迹 M1 m1 三种运动轨迹 M2 m2 当t t tAB A B M M 也可看成M M M 为绝对运动轨迹 为绝对位移 为相对运动轨迹 为相对位移 牵连点运动轨迹 为牵连点位移 运动学 点的合成运动 动点M在时间 t内的绝对位移 则有 其中 代入 1 式可得 速度合成定理 运动学 点的合成运动 绝对速度 牵连速度 相对速度 某瞬时动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和 速度合成定理 点的速度合成定理是瞬时矢量式 共包括大小 方向六个元素 已知任意四个元素 就能求出其它两个 注意的问题 由速度合成定理的矢量形式知 绝对速度是以相对速度和牵连速度为邻边组成的平行四边形的对角线 点的速度合成定理是瞬时矢量式 共包括大小 方向六个元素 已知任意四个元素 就能求出其它两个 该定理在推导的过程中 牵连运动未加限制 可以是平移 定轴转动以及其他形式的刚体运动 牵连速度为该瞬时动系上与动点相重合的点的速度 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 例2 已知正弦机构中 曲柄OA l 匀角速度 当 30o时 求T型杆BCD的速度 运动学 点的合成运动 解 1 选择动点与动系 动点 曲柄上的A点 动系 固连于杆BCD上 2 运动分析 绝对运动 以O为圆心 l为半径的等速圆周运动 相对运动 沿BC的直线运动 牵连运动 铅垂方向的平移 定系 固连于机座 运动学 点的合成运动 3 速度分析 方向铅垂向上 大小 方向 OA 水平向右 垂直向上 运动学 点的合成运动 例3仿形机床中半径为R的半圆形靠模凸轮以等速度v0沿水平轨道向右运动 带动顶杆AB沿铅垂方向运动 如图所示 试求 60 时 顶杆AB的速度 运动学 点的合成运动 解 1 选择动点 动系与定系 动系 固连于凸轮 2 运动分析 绝对运动 直线运动 牵连运动 水平平移 动点 AB杆的端点A 相对运动 沿凸轮轮廓曲线运动 定系 固连于水平轨道 运动学 点的合成运动 3 速度分析 大小 方向 垂直向上 方向沿凸轮圆周的切线 方向水平向右 因为杆AB作平移 所以此瞬时它的速度大小 方向垂直向上 例4 图示机构 曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接 当曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动时 滑块在摇杆上滑动 并带动摇杆绕固定轴O1来回摆动 设曲柄长OA r 两轴间距离求曲柄在水平位置瞬时 摇杆O1B绕O1轴的角速度 1及滑块A相对摇杆O1B的相对速度 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 1 选取动点 OA上的A点 动系 O1B 定系 基座 解 绝对运动 圆周运动 牵连运动 定轴转动 相对运动 直线运动 2 运动分析 运动学 点的合成运动 由 大小 方向 O1B 沿O1B 作出速度平行四边形如图示 r OA 3 速度分析 运动学 点的合成运动 例5如图所示 半径为R 偏心距为e的凸轮 以匀角速度 绕O轴转动 杆AB能在滑槽中上下平移 杆的端点A始终与凸轮接触 且OAB成一直线 求在图示位置时 杆AB的速度 运动学 点的合成运动 e O C B 解 1 选择动点 动系与定系 动系 固连于凸轮 2 运动分析 绝对运动 直线运动 相对运动 以C为圆心的圆周运动 牵连运动 绕O轴的定轴转动 动点 AB的端点A 定系 固连于机座 A 运动学 点的合成运动 e O C A B 3 速度分析 方向垂直向上 大小 方向 OA OA CA 沿AB 运动学 点的合成运动 例6曲杆OBC以匀角速度 绕固定轴O转动 使圆环M沿固定直杆OA上滑动 设曲柄长OB 10cm OB垂直BC 0 5rad s 求 60 时 小环的绝对速度 运动学 点的合成运动 解 1 选择动点 动系与定系 动系 固连于摇杆OBC 2 运动分析 绝对运动 沿OA的直线运动 相对运动 沿OB的直线运动 牵连运动 绕O轴的定轴转动 动点 小环M 定系 固连于机座 运动学 点的合成运动 3 速度分析 大小 方向 OM OA向下 沿OA 沿BC 方向水平向右 运动学 点的合成运动 求解合成运动的速度问题的一般步骤为 选取动点 动系和定系 分析三种运动 分析三种速度 根据速度合成定理作出速度合成平行四边形 根据速度平行四边形 求出未知量 1 动点 动系不能选在同一物体上 2 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断 恰当选择动点 动系和定系是求解合成运动问题的关键 运动学 点的合成运动 例7已知 凸轮半径r 图示时杆OA靠在凸轮上 求 杆OA的角速度 分析 相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化 因此两物体的接触点都不宜选为动点 否则相对运动的分析就会很困难 这种情况下 需选择非接触点为动点 运动学 点的合成运动 选取动点 凸轮上的C点 动系 OA杆 定系 基座 由 大小 方向 OC OC OA 作出速度平行四边形如图示 v 解 绝对运动 直线运动 相对运动 直线运动 C点到凸轮与OA接触点的距离不变 牵连运动 定轴转动 运动学 点的合成运动 绝对加速度 动点相对于静坐标系运动的加速度 相对加速度 动点相对于动坐标系运动的加速度 设 动点M在动坐标系中的坐标为 x y z 牵连运动为平移 动坐标系单位矢量大小 方向不变 8 3牵连运动为平移时点的加速度合成定理 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系的曲线AB运动 而曲线AB同时又随同动系相对定系Oxyz平移 运动学 点的合成运动 牵连运动为平移 动坐标系单位矢量大小 方向不变 动点M点在动系中的位置矢径 动点的相对速度 动点的相对加速度 运动学 点的合成运动 牵连加速度 指某瞬时动坐标系上与动点相重合之点 牵连点 相对于静坐标系运动的加速度 动坐标系作平移 刚体平移时其上任一点的速度 加速度相同 故动点的牵连速度和牵连加速度等于动坐标系原点O 的速度和加速度 即 运动学 点的合成运动 由速度合成定理 运动学 点的合成运动 对t求导 因为动系为平移 故方向不变 是常矢量 有 运动学 点的合成运动 即 当牵连运动为平移时 动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和 牵连运动为平移时点的加速度合成定理 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 例8已知 凸轮半径求 j 60o时 顶杆AB的加速度 选取动点 AB上的A点 动系 凸轮 定系 基座 解 由 大小 方向 v0 CA 作速度平行四边形 有 由于求加速度分析需 故先求 沿AB 运动分析 绝对运动 直线运动 相对运动 圆周运动 牵连运动 平移 运动学 点的合成运动 因牵连运动为平移 故有 大小 方向 沿AB a0 CA 沿CA指向C 将上式投影到n方向 得 其中 运动学 点的合成运动 整理得 注意 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影关系不同 例9 图示机构 OA r 以匀角速度 0转动 套筒A可沿BC滑动 BC DE BD CE l 求图示位置BD的角速度及角加速度 解 1 动点A 动系BC 定系机座 2 运动分析 绝对运动为圆周运动 相对运动为直线运动 牵连运动为曲线平移 3 速度分析 大小 方向 r 0 OA l 未知 BD 未知 C B 由图知 r 0 l转向如图 运动学 点的合成运动 4 加速度分析 大小 方向 02r A O 0 未知 设A B 2l B D l 未知 BD 向垂直方向投影 转向如图 运动学 点的合成运动 运动学 点的合成运动 例10曲柄OA绕固定轴O转动 丁字形杆BC沿水平方向往复平移 如图所示 铰链在曲柄端A的滑块 可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动 设曲柄以角速度 作匀角速转动 OA r 试求杆BC的加速度 运动学 点的合成运动 运动演示 运动学 点的合成运动 解 动系 固连于丁字形杆 绝对运动 以O为圆心的圆周运动 相对运动 沿槽ED的直线运动 牵连运动 BC沿水平平移 动点 滑块A 定系 固连于机座 OA 2 大小 方向 未知 未知 A O 水平向左 A E 得杆BC的加速度 水平向左 运动学 点的合成运动 8 4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 引言上一节我们证明了牵连运动为平移时的点的加速度合成定理 那么当牵连运动为转动时 上述的加速度合成定理是否还适用呢 下面我们来分析一特例 设一圆盘以匀角速度 绕定轴 顺时针转动 盘上圆槽内有一点M以大小不变的相对速度vr沿槽作圆周运动 那么M点相对于定系的绝对加速度应是多少呢 运动学 点的合成运动 选取动点 点M 动系 圆盘 定系 基座 由 大小 方向 R vr 常数 得 即绝对运动也为匀速圆周运动 所以 运动学 点的合成运动 另一方面 指向圆心 指向圆心 多出一项2 vr 可见 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和 那么他们之间的关系是什么呢 2 vr又是怎样出现的呢 它的物理意义又是什么呢 方向指向圆心 预备知识 动坐标系单位矢量对时间的变化率 已知动系o x y z 以角速度 e绕定系oxyz的z轴转动 如图示 同理 运动学 点的合成运动 动点 M 动系 Ax y z 定系 Oxyz 如图所示 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 运动学 点的合成运动 其中为相对加速度 为附加项与牵连运动和相对运动有关 运动学 点的合成运动 其中为牵连加速度 为附加项与牵连运动和相对运动有关 运动学 点的合成运动 即 当牵连运动为转动时 动点的绝对加速度等于牵连加速度 相对加速度和科氏加速度三者的矢量和 科氏加速度 方向 按右手法则确定 科氏加速度 运动学 点的合成运动 点M1的科氏加速度 例11矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴z转动 点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动 在图示位置时相对于板的速度分别为和 计算点M1 M2的科氏加速度大小 并标出方向 点M2的科氏加速度 垂直板面向里 解 运动学 点的合成运动 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 牵连运动为转动时 动点的绝对加速度等于牵连加速度 相对加速度和科氏加速度三者的矢量和 牵连运动为平移时点的加速度合成定理 牵连运动为平移时 动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和 运动学 点的合成运动 例12已知 凸轮机构以匀角速度 绕O轴转动 图示瞬时OA r A点曲率半径 已知 求 该瞬时顶杆AB的速度和加速度 选取动点 AB上的A点 动系 凸轮 定系 地面 解 由 大小 方向 r n 作出速度平行四边形如图示 沿AB 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 2r n 沿AB 同n 0 与n相反 作出加速度矢量图 并向n轴投影得 运动学 点的合成运动 例11曲柄摆杆机构 已知 O1A r 1 取O1A杆上A点为动点 动系固结在O2B上 试计算动点A的科氏加速度 解 方向 与相同 B 运动学 点的合成运动 第八章点的合成运动习题课 1 一点 二系 三运动 3 加速度合成定理牵连运动为平移时 牵连运动为转动时 2 速度合成定理 一 概念及公式 点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成 运动学 点的合成运动 1 选择动点 动系和定系 2 分析三种运动 绝对运动 相对运动和牵连运动 3 作速度分析 画出速度平行四边形 求出有关未知量 速度 角速度 4 作加速度分析 画出加速度矢量图 求出有关未知量 加速度 角加速度 二 解题步骤 运动学 点的合成运动 1 恰当地选择动点 动系和定系 动点和动系不能选在同一刚体上 若有始终接触的点 应选择始终接触的那一点为动点 如导杆滑块机构中的滑块 凸轮导杆机构中导杆上与凸轮接触的点 2 速度问题 一般采用几何法求解简便 即作出速度平行四边形 加速度问题 往往超过三个矢量 一般采用解析法 投影法 求解 三 解题技巧 注意投影轴的选取 运动学 点的合成运动 1 牵连速度和牵连加速度是牵连点 动系上的与动点相重合的点相对定系 的速度和加速度 2 作速度平行四边形时 要使绝对速度为平行四边形的对角线 3 牵连运动为转动时 作加速度分析不要丢掉科氏加速度 正确分析和计算 4 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影 与静平衡方程的投影式不同 四 注意问题 运动学 点的合成运动 已知 OA l 45o时w a 求 小车的速度与加速度 选取动点 OA上的A点 动系 滑杆 定系 基座 解 由 大小 方向 水平 铅垂 l OA 例1曲柄滑杆机构 作速度平行四边形如图示 小车的速度 运动学 点的合成运动 因牵连运动为平动 故有 大小 方向 l OA l 2 沿OA指向O 水平 铅垂 作出加速度矢量图 将上式投影到水平方向 得 小车的加速度 运动学 点的合成运动 已知 求 OA杆的 a 选取动点 BC上的D点 动系 OA杆 定系 基座 解 由 大小 方向 沿OA 作出速度平行四边形如图示 v OA 例2摇杆滑道机构 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OD 2 沿OA指向O 沿OA a OA OA 其中 运动学 点的合成运动 加速度矢量如图示 向 轴投影 得 大小 方向 OD 2 沿OA指向O 沿OA a OA OA 运动学 点的合成运动 1 先取动点 O1A上的A点 动系 BCD 定系 基座 解 已知 图示瞬时 由 大小 方向 BC 作出速度平行四边形如图示 1r O1A 水平 例3曲柄滑块机构 求 该瞬时O2E杆的w2 运动学 点的合成运动 2 再取动点 BCD上的F点 动系 O2E杆 定系 基座 由 大小 方向 O2E 作出速度平行四边形如图示 r 1sin O2E 运动学 点的合成运动 例4凸轮机构已知 凸轮半径为R 图示瞬时O C在一条铅直线上 选取动点 凸轮上的C点 动系 OA杆 定系 基座 解 由 大小 方向 OA v OC 求 该瞬时OA杆的角速度和角加速度 作出速度矢量图如图示 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OC 2 沿OC指向O OA a OC 0 其中 运动学 点的合成运动 加速度矢量如图示 向 轴投影 得 大小 方向 OC 2 沿OC指向O OA a OC 0 运动学 点的合成运动 已知 主动轮O转速为n 30r min OA 150mm 图示瞬时OA OO1 求 O1D杆的 1 1和滑块B的速度及加速度 1 先选取动点 轮O上的A点 动系 O1D杆 定系 基座 解 由 大小 方向 O1D OA OA O1D 例5刨床机构 作出速度平行四边形如图示 运动学 点的合成运动 其中 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 运动学 点的合成运动 加速度矢量如图示 大小 方向 O1A 21 D指向O1 O1D 2 OA O1D O1D 向方向投影得 运动学 点的合成运动 2 再选取动点 滑块B 动系 O1D杆 定系 基座 由 大小 方向 O1B 1 O1D 作出速度平行四边形如图示 水平 O1D 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 O1B 21 D指向O1 O1D 水平 O1B 1 O1D O1D 作出加速度矢量如图示 向x方向投影得 其中 运动学 点的合成运动 已知 图示瞬时 h 求 套筒O的 解法一 A点作直线运动 代入图示瞬时的已知量 得 例6套筒滑道机构 运动学 点的合成运动 选取动点 CD上的A点 亦即AB上的A点 动系 套筒 定系 基座 由 大小 方向 OA 作出速度合成平行四边形如图 v OA 解法二 运动学 点的合成运动 由牵连运动为转动时的加速度合成定理 大小 方向 OA 2 A指向O OA a OA OA 向方向投影得 对比两种方法 运动学 点的合成运动 本章作业 第1次8 2 8 5 8 7 a 第2次8 9 8 17 8 19 第3次8 21 8 24 8 26