流函数势函数-第一章.ppt

第六节速度势函数和流函数 速度势函数 速度流函数 二维流动的表示 一 速度势函数 定义 速度势函数的引入及存在条件 否则 则称之为涡旋流动 据矢量分析知识 任意一函数的梯度 取旋度恒等于零 对于无旋流动 必定存在一个函数满足如 或 无旋流动 其速度矢总可以用函数的梯度来表示 把函数叫做速度的 位 势函数 可以用这个函数来表示无旋流动的流场 通常将无旋流动称为有势流动或势流 而引进了势函数后 引入势函数的优点 由流速场与势函数的关系可知 流速矢与等位势面相垂直 由高位势流向低位势 等位势面紧密处 位势梯度大 相应的流速大 等位势面稀疏处 位势梯度小 相应的流速小 用势函数来描述流体运动 例1 6 1已知流体作无旋运动 对应的等势函数线分布如图所示 其中 的 请判断并在图中标出A B两处流体速度的方向 并比较A B两处流速的大小 势函数的求解假如流体的散度为 根据势函数的定义有 其中 为三维拉普拉斯算子 可以看出 如果给定D 通过求解泊松 Poisson 方程 即可求得势函数 求解势函数的具体方法 仅考虑二维的情况 2 如已知速度场 可以先求出D 然后再求解泊松方程 最终得到势函数 1 如已知D 直接求解泊松 Poisson 方程 可得势函数 定义及存在条件 二 速度流函数 考虑二维无辐散流动 即满足 其流线方程为 引入流体散度的概念之后 可将流体运动分为 根据格林积分公式 平面曲线积分与路径无关的条件 可知 满足无辐散条件下 流速与该函数满足 矢量形式 积分以上的全微分形式 可以得到 常数 上式所描述的曲线就是流线 当然 它也是函数的等值线 将以上引进的函数称之为流函数 而流线也就是等流函数线 对某一固定的时刻 一空间曲线 流线方程积分曲线 流速与该函数的关系 曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的 2 表征流体通量在流体中任取一条有向曲线AB 顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q 曲线法向方向的单位矢量定义为 而 引入流函数的优点 流速在曲线法向方向上的分量 1 减少表征流动的变量 A B 引用流函数 并考虑 或 表明 经过两点为端点的任何曲线的流体通量 决定于该两点的流函数差 而与曲线的长度和形状无关 用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量 同样 求解流函数的方法为 1 已知涡度 直接求解泊松 Poisson 方程 2 已知速度场 先求出涡度 然后求解泊松方程 3 表征流体涡度 由涡度的定义 可得到用流函数来表示的涡度表达式 可见 对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度 三 二维流动 一般二维流动 既不满足无旋条件 也不满足无辐散条件 流动是有旋有辐散的 此时 其涡度和散度均不为零 即满足 无辐散涡旋流 无旋辐散流 上式为大气动力学中广泛采用的形式 习题1 6 1已知二维流速场为 分别求势函数和流函数存在的条件 习题1 6 2请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动 如存在 请举例说明 课后习题 习题1 6 3请证明无辐散的平面无旋流动 1 流函数和势函数都是调和函数 满足二维拉普拉斯方程 2 等势函数线和等流函数线正交 习题1 6 4平面流动的流线方程为 由流函数全微分 当取常值时 也可以得到试问两式是否等价 请说明理由 6速度势函数和流函数 概念 理解 速度势函数的定义 存在条件 表示流体运动的方法 流函数的定义 存在条件 表示流体运动的方法 速度势函数 流函数表示二维流动 本节总结