资源描述
第11讲反比例函数A组基础题组一、选择题1.已知点A(-1,1)是反比例函数y=m+1x的图象上一点,则m的值为()A.-1B.-2C.0D.12.(xx四川自贡)一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2x(k1k20)的图象如图所示,若y1y2,则x的取值范围是()A.-2x1B.-2x1C.x1D.x-2或0x13.(xx日照)反比例函数y=kbx的图象如图所示,则一次函数y=kx+b的大致图象是()4.一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象如图所示,则方程kx+b=2x的解为()A.x1=1,x2=2B.x1=-2,x2=-1C.x1=1,x2=-2D.x1=2,x2=-15.若反比例函数y=kx(k0)的图象上有两点P1(2,y1)和P2(3,y2),那么()A.y1y2y20C.y2y1y106.若式子1-k有意义,则函数y=kx+1和y=k2-1x的图象可能是()7.(xx云南)如图,A,B两点在反比例函数y=k1x的图象上,C,D两点在反比例函数y=k2x的图象上,ACy轴于点E,BDy轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k1-k2的值是()A.6B.4C.3D.28.(xx广东)如图所示,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k10)与双曲线y=k2x(k20)相交于点A,B两点,已知点A的坐标为(1,2),则点B的坐标是()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(-1,-1)D.(-2,-2)二、填空题9.(xx东营)如图,B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作平行四边形OABC,则经过点A的反比例函数的解析式为.10.(xx上海)如果反比例函数y=kx(k是常数,k0)的图象经过点(2,3),那么这个函数图象在的每个象限内,y的值随x的值的增大而.(填“增大”或“减小”)11.(xx湖南长沙)如图,点M是函数y=3x与y=kx的图象在第一象限内的交点,OM=4,则k的值为.12.(xx福建)已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1x的图象上,且点A的横坐标是2,则矩形ABCD的面积为.三、解答题13.(xx菏泽)如图,已知点D在反比例函数y=ax(a0)的图象上,过点D作DBy轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b(k0)经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OCOA=25.(1)求反比例函数y=ax和一次函数y=kx+b的表达式;(2)直接写出关于x的不等式axkx+b的解集.14.(xx湖北武汉)如图,直线y=2x+4与反比例函数y=kx的图象交于A(-3,a)和B两点.(1)求k的值;(2)直线y=m(m0)与直线AB交于点M,与反比例函数y=kx的图象交于点N,若MN=4,求m的值;(3)直接写出不等式6x-5x的解集.B组提升题组一、选择题1.函数y=kx与y=-kx2+k(k0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()2.(xx临沂)如图,正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1.当y1y2时,x的取值范围是()A.x1B.-1x1C.-1x0或0x1D.x-1或0x13.(xx东平模拟)如图,双曲线y=kx与直线y=-12x交于A、B两点,且A(-2,m),则点B的坐标是()A.(2,-1)B.(1,-2)C.12,-1D.-1,12二、填空题4.(xx江苏南京)函数y1=x与y2=4x的图象如图所示,下列关于函数y=y1+y2的结论:函数的图象关于原点中心对称;当x0时,函数图象的最低点的坐标是(2,4).其中正确结论的序号是.三、解答题5.(xx聊城)如图,已知反比例函数y=k1x(x0)的图象与反比例函数y=k2x(x0)图象上的两点,连接AB,点C(-2,n)是函数y=k2x(x0)图象上的一点,连接AC,BC.(1)求m,n的值;(2)求AB所在直线的表达式;(3)求ABC的面积.反比例函数与一次函数综合问题培优训练一、选择题1.如图,一次函数y=ax+b(a0)的图象与反比例函数y=kx(k0)的图象交于A(-3,2),B(2,n)两点,则不等式ax+bkx的解集为()A.-3x2B.-3x2C.x-3D.x22.在同一直角坐标平面内,如果直线y=k1x与双曲线y=k2x没有交点,那么k1和k2的关系一定是()A.k1+k2=0B.k1k20D.k1=k23.如图,在直角坐标系中,直线y1=2x-2与坐标轴交于A、B两点,与双曲线y2=kx(x0)交于点C,过点C作CDx轴,垂足为D,且OA=AD,连接BD,则以下结论:SADB=SADC;当0x3时,y10时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.44.如图,双曲线y=mx与直线y=kx+b交于点M、N,并且点M的坐标为(1,3),点N的纵坐标为-1.根据图象可得关于x的方程mx=kx+b的解为()A.-3,1B.-3,3C.-1,1D.-1,35.如图,正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点E(-1,2),若y1y20,则x的取值范围在数轴上表示正确的是()6.如图,RtABC的顶点A在双曲线y=kx的图象上,直角边BC在x轴上,ABC=90,ACB=30,OC=4,连接OA,AOB=60,则k的值是()A.43B.-43C.23D.-237.如图,若点M是x轴正半轴上任意一点,过点M作PQy轴,分别交函数y=k1x(x0)和y=k2x(x0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是()A.POQ不可能等于90B.PMQM=k1k2C.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.POQ的面积是12(|k1|+|k2|)8.如图所示,已知A12,y1,B(2,y2)为反比例函数y=1x图象上的两点,动点P(x,0)在x轴正半轴上运动,当线段AP与线段BP之差达到最大时,点P的坐标是()A.12,0B.(1,0)C.32,0D.52,09.如图,在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线y=kx(x0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OBAC=160,有下列四个结论:双曲线的解析式为y=20x(x0);E点的坐标是(4,8);sinCOA=45;AC+OB=125.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题10.已知函数y=ax和y=4-ax的图象有两个交点,其中一个交点的横坐标为1,则两个函数图象的交点坐标是.11.如图,一次函数y=kx+2与反比例函数y=4x(x0)的图象交于点A,与y轴交于点M,与x轴交于点N,且AMMN=12,则k=.三、解答题12.如图,直线l1的方程为y=-x+1,直线l2的方程为y=x+5,且两直线相交于点P,过点P的双曲线y=kx与直线l1的另一交点为Q(3,a).(1)求双曲线的解析式;(2)根据图象直接写出不等式kx-x+1的解集;(3)若l2与x轴的交点为M,求PQM的面积.13.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx(x0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A,与y轴交于点C,PBx轴于点B,且AC=BC,SPBC=4.(1)求一次函数、反比例函数的解析式;(2)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,说明理由.14.如图,反比例函数y=kx的图象与过两点A(0,-2),B(-1,0)的一次函数的图象在第二象限内相交于点M(m,4).(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)在双曲线(x0)上是否存在点N,使MNMB,若存在,请求出N点坐标,若不存在,说明理由.15.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k0)的图象上,将点P向左平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上.(1)求k的值;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=-4x的图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CEx轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为OAB的面积,若S1S2=79,求b的值.16.如图1,OABC的边OC在y轴的正半轴上,OC=3,A(2,1),反比例函数y=kx(x0)的图象经过点B.(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式;(2)如图2,将线段OA延长交y=kx(x0)的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点.求直线BD的解析式;求线段ED的长度.第11讲反比例函数A组基础题组一、选择题1.B2.D3.D4.C5.A6.B因为式子1-k有意义,所以k0,这个函数图象在的每个象限内,y的值随x的值的增大而减小.11.答案43解析过点M作MNx轴于点N,由已知设M的坐标为(x,3x)(x0),则ON=x,MN=3x,在RtOMN中,ON2+MN2=OM2,即x2+(3x)2=42,解得x=2(舍负),故M(2,23),将M的坐标代入y=kx中,可得k=43.12.答案152解析点A在反比例函数y=1x的图象上,且点A的横坐标是2,y=12,即点A的坐标为2,12.如图,双曲线y=1x和矩形ABCD都是轴对称图形和中心对称图形,点A、B关于直线y=x对称,B12,2,同理,C-2,-12,D-12,-2.AB=2-122+12-22=322.AD=2+122+12+22=522.S矩形ABCD=ABAD=152.三、解答题13.解析(1)BD=OC,OCOA=25,点A(5,0),点B(0,3),OA=5,OC=BD=2,OB=3,又点C在y轴的负半轴,点D在第二象限,点C的坐标为(0,-2),点D的坐标为(-2,3).点D(-2,3)在反比例函数y=ax的图象上,a=-23=-6,反比例函数的表达式为y=-6x.将A(5,0)、C(0,-2)代入y=kx+b,则5k+b=0,b=-2,解得k=25,b=-2,一次函数的表达式为y=25x-2.(2)x0.将y=25x-2代入y=-6x,整理得25x2-2x+6=0,=(-2)2-4256=-2850,一次函数图象与反比例函数图象无交点.观察图形,可知:当xkx+b的解集为x0,m=2或m=6+43.(3)x-1或5x0,则反比例函数的图象过第一、三象限,二次函数的图象的开口向下,与y轴相交于正半轴;若k0,则反比例函数的图象过第二、四象限,二次函数的图象的开口向上,与y轴相交于负半轴,故选B.2.D正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=k2x的图象相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1.B点的横坐标为-1,故当y1y2时,x的取值范围是x-1或0x1.故选D.3.A解法一:当x=-2时,y=-12(-2)=1,即A(-2,1).将A点坐标(-2,1)代入y=kx,得k=-21=-2,所以反比例函数的解析式为y=-2x,联立得y=-2x,y=-12x,解得x1=-2,y1=1,x2=2,y2=-1,所以B(2,-1).故选A.解法二:因为反比例函数的图象和正比例函数的图象都是中心对称图形,所以它们的交点坐标关于原点对称,故选A.二、填空题4.答案解析y=y1+y2,y=x+4x.若点(a,b)在函数y=x+4x的图象上,则b=a+4a.当x=-a时,y=-a-4a=-a+4a=-b.点(-a,-b)在函数y=x+4x的图象上.函数y=x+4x的图象关于原点中心对称,故正确.当0x2时,随着x的增大,y1增大,y2减小,y的变化不能确定;当x0时,y=x+4x=x-4x2+2x4x=x-4x2+4,当x=4x,即x=2时,y取得最小值,ymin=4.函数图象的最低点的坐标是(2,4).故正确.三、解答题5.解析(1)A(1,4),B(4,m)是函数y=k1x(x0)图象上的两点,4=k11,k1=4.y=4x(x0),m=44=1.y=k2x(x0)的图象关于y轴对称,点A(1,4)关于y轴的对称点A1(-1,4)在y=k2x(x0)的图象上,4=k2-1,k2=-4.y=-4x(x0).又点C(-2,n)是函数y=-4x(x0)图象上的一点,n=-4(-2)=2.(2)设AB所在直线的表达式为y=kx+b(k0),将A(1,4),B(4,1)分别代入y=kx+b得4=k+b,1=4k+b,解这个二元一次方程组,得k=-1,b=5.AB所在直线的表达式为y=-x+5.(3)自A,B,C三点分别向x轴作垂线,垂足分别为A,B,C.CC=2,AA=4,BB=1,CA=3,AB=3,CB=6.SABC=S梯形CCAA+S梯形AABB-S梯形CCBB=12(2+4)3+12(1+4)3-12(2+1)6=152.反比例函数与一次函数综合问题培优训练一、选择题1.B2.B直线y=k1x与双曲线y=k2x没有交点,k1x=k2x无解,x2=k2k1无解,k2k10,即k1k20.故选B.3.C对于直线y1=2x-2,令x=0,得到y=-2;令y=0,得到x=1,A(1,0),B(0,-2),即OA=1,OB=2.在OBA和DCA中,AOB=ADC=90,OA=DA,OAB=DAC,OBADCA(ASA),OB=CD=2,OA=AD=1,SADB=SADC(同底等高的三角形面积相等),故正确;由知CD=2,OD=OA+AD=2,C(2,2),把C点坐标代入反比例函数解析式得k=4,即y2=4x,由函数图象得,当0x2时,y10时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,故正确.故选C.4.AM(1,3)在反比例函数图象上,m=13=3,反比例函数解析式为y=3x,点N也在反比例函数图象上,点N的纵坐标为-1.xN=-3,N(-3,-1),关于x的方程mx=kx+b的解为x=-3或x=1.故选A.5.A正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点E(-1,2),根据图象可知当y1y20时x的取值范围是x0,k20,而PM,QM为线段长度,一定为正值,故PMQM=k1k2,故此选项错误;C.根据k1,k2的值不确定,得出这两个函数的图象不一定关于x轴对称,故此选项错误;D.|k1|=PMMO,|k2|=MQMO,POQ的面积=12MOPQ=12MO(PM+MQ)=12MOPM+12MOMQ,POQ的面积是12(|k1|+|k2|),故此选项正确.故选D.8.D把A12,y1,B(2,y2)代入反比例函数y=1x得y1=2,y2=12,A12,2,B2,12,在ABP中,|AP-BP|0)经过D点,4=k8,即k=32,双曲线的解析式为y=32x(x0),故错误;易知直线CB的解析式为y=8,y=32x,y=8,解得x=4,y=8,E点坐标为(4,8),故正确;sinCOA=CFOC=810=45,故正确;易知AC=(10-6)2+(0-8)2=45,又OBAC=160,OB=160AC=16045=85,AC+OB=45+85=125,故正确.故选C.二、填空题10.答案(1,2)和(-1,-2)解析依题意有y=a,y=4-a,解得a=2.代入原函数有y=2x,y=2x,解此方程组得x1=1,y1=2和x2=-1,y2=-2.所以两函数图象的交点坐标为(1,2)和(-1,-2).11.答案34解析过点A作ADx轴,由题意可得MOAD,则NOMNDA,AMMN=12,NMAN=MOAD=23,一次函数y=kx+2与y轴的交点为(0,2),MO=2,AD=3,当y=3时,3=4x,解得x=43,A43,3,将A点代入y=kx+2得3=43k+2,解得k=34.三、解答题12.解析(1)解方程组y=-x+1,y=x+5,得x=-2,y=3,则P(-2,3),把P(-2,3)代入y=kx得k=-23=-6,双曲线的解析式为y=-6x.(2)当x=3时,y=-3+1=-2,则Q(3,-2),所以不等式kx-x+1的解集为-2x3.(3)当y=0时,x+5=0,解得x=-5,则M(-5,0),设l1与x轴的交点为N,则N(1,0).SPQM=SPMN+SQMN=12(5+1)(3+2)=15.13.解析(1)AC=BC,COAB,O为AB的中点,即OA=OB,SPBC=4,即12OBPB=4,P(n,2),即PB=2,OA=OB=4,P(4,2),B(4,0),A(-4,0).将A(-4,0)与P(4,2)代入y=kx+b得-4k+b=0,4k+b=2,解得k=14,b=1.一次函数的解析式为y=14x+1.将P(4,2)代入反比例函数解析式得2=m4,解得m=8,反比例函数的解析式为y=8x.(2)假设存在这样的D点,使四边形BCPD为菱形.过点C作x轴的平行线与双曲线交于点D,连接PD、BD、CD,如图所示.令一次函数y=14x+1中x=0,则有y=1,点C的坐标为(0,1),CDx轴,设点D的坐标为(x,1).将点D(x,1)代入反比例函数解析式y=8x中,得1=8x,解得x=8,点D的坐标为(8,1),即CD=8.P点横坐标为4,BP与CD互相垂直平分,四边形BCPD为菱形.故反比例函数图象上存在点D,使四边形BCPD为菱形,此时点D的坐标为(8,1).14.解析(1)设直线AB的表达式为y=ax+b(a0),将点A(0,-2),B(-1,0)代入y=ax+b,得b=-2,-a+b=0,解得a=-2,b=-2,一次函数的表达式为y=-2x-2.当y=-2x-2=4时,x=-3,点M的坐标为(-3,4),将点M(-3,4)代入y=kx,得4=k-3,解得k=-12,反比例函数的表达式为y=-12x.(2)假设存在这样的点N.过点M作MCx轴于C,过点N作NDMC于D,如图所示.MND+NMD=90,BMC+NMD=90,MND=BMC,又MDN=BCM=90,MDNBCM,MDBC=NDMC.设Nn,-12n,则有4+12n2=-3-n4,解得n=-8或n=-3(不合题意,舍去),经检验,n=-8是原分式方程的解且符合题意,点N的坐标为-8,32,在双曲线(x0)的图象经过点B,4=k2.k=8.反比例函数的关系式为y=8x.(2)设直线BD的解析式为y=kx+b(k0),直线OA的解析式为y=k1x(k10),A(2,1),直线OA的解析式为y=12x.点D是反比例函数y=8x的图象与直线OA的交点,解方程组y=12x,y=8x,得x=4,y=2或x=-4,y=-2.点D在第一象限内,D(4,2).将B、D两点代入y=kx+b,直线BD的解析式为y=-x+6.把y=0代入y=-x+6,解得x=6.E(6,0),过点D作DHx轴于H,如图2,图2DH=2,OH=4,HE=6-4=2,由勾股定理可得ED=DH2+HE2=22.
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