工程经济学ppt课件

第二章现金流量与资金时间价值 1 2 1一次支付终值公式 称为一次支付终值系数 记为 i 2 2 2一次支付现值公式 i 称为一次支付现值系数 记为 3 2 3等额支付年金终值公式 i 称为等额支付现值系数 记为 4 2 4等额支付积累基金公式 i 称为等额支付累积基金系数 记为 5 2 5等额支付资金回收公式 i 称为等额支付资金回收系数 记为 6 2 6等额支付年金现值公式 i 称为等额支付年金现值系数 记为 7 练习例1 借款1000元 年利率10 复利计息 4年后应还款多少 例2 某项投资年利率12 5年期 欲5年后得到本利和2万元 现在应投资多少 解例1 F P F P i n 1000 1 4641 1464 1元例2 P F P F i n 20000 0 5674 11348元 8 例3 某厂为技术改造 每年从利润中提取2万元建立基金 若年利率8 5年后该项基金有多少 例4 某公司10年后要偿还债务20万元 年利率为10 每年应从利润中提取多少钱存入银行 解例3 F A F A i n 20000 F A 8 5 20000 5 8666 117332元例4 A F A F I n 20 A F 10 10 20 0 0627 1 254万元 9 例5 某企业向银行贷款50000元购买设备 年利率10 要求在10年内等额偿还 问每年应偿还多少 解 A P A P i n 50000 A P 10 10 50000 0 1627 8135元 10 例6 一位发明者转让其专利使用权 一种收益方式是在今后5年里每年收到12000元 随后又连续7年每年收到6000元 另一种收益方式是将前种收益形式改为一次性付款 在不考虑税收的情况下 如要求年收益率10 投资者选择后一种方式 即一次性购买专利权的价格为多少 1 0 2 5 3 6 P A1 12000 i 10 11 12 A2 6000 解 P前5年 A1 P A 10 5 45492元P后7年 A2 P A 10 7 P F 10 5 18135元P P前5年 P后7年 63627元 11 六个基本公式及其系数符号 F P 1 i n 公式系数 F P i n P F i n F A i n A F i n A P i n P A i n 系数符号 公式可记为 F P F P i n P F P F i n F A F A i n A F A F i n A P A P i n P A P A i n 12 各系数之间的关系 倒数关系 乘积关系 特殊关系 13 14 例1 有如下图示现金流量 解法正确的有 A F A P A i 6 F P i 8 B F A P A i 5 F P i 7 C F A F A i 6 F P i 2 D F A F A i 5 F P i 2 E F A F A i 6 F P i 1 15 例2 下列关于时间价值系数的关系式 表达正确的有 A F A i n P A i n F P i n B F P i n F P i n1 F P i n2 其中n1 n2 nC P F i n P F i n1 P F i n2 其中n1 n2 nD P A i n P F i n A F i n E 1 F A i n F A i 1 n 16 例3 浙江某大学毕业生欲回家乡筹办一家澳洲火鸡饲养场 第一年投资10万元 1年后又投资15万元 2年后再投入20万元 第3年建成投产 投资全部由一家银行贷款 年利率为8 贷款从第三年开始每年年末等额偿还 还款期10年 问每年应至少收益 偿还银行贷款 多少万元 10 20 15 A 年 0 1 2 3 12 i 8 17 解 方案投产年年初的总投资额为 P 10 F P 8 2 15 F P 8 1 20 10 1 1664 15 1 08 20 47 864万元A P A P 8 10 47 864 0 1490 7 13万元 10 20 15 A 年 0 1 2 3 12 i 8 18 例4 一对还有10年就要退休的夫妇 每年将一笔款项存入银行欲建立一笔海外旅游基金 该旅游基金预计用途是 自第10年年末起 连续3年各提2万元 如果银行存款利率为8 那么10年中每年年末应等额存入银行多少元 0 1 10 11 12 2 8 9 A A 2万元 年 i 8 19 解 将专用基金折算为第10年末的价值 F 20000 20000 P F 8 1 20000 P F 8 2 20000 20000 0 9259 20000 0 8573 55664元A F A F 8 10 55664 0 06903 3842 49元 0 1 10 11 12 2 8 9 A A 2万元 年 i 8 20 例5某投资者5年前以200万元价格买入一房产 在过去的5年内每年获得年净现金收益25万元 现在该房产能以250万元出售 若投资者要求的年收益率为20 问此项投资是否合算 0 P 200 25 275 1 2 3 4 5 i 20 单位 万元 21 解 2 将收益折算成现值 P 25 P A 20 5 250 P F 20 5 175 25 万元 获得i 20 的收益投资175 25万即可 因此不合算 解 1 投资200万元 i 20 时应获收益额 F 200 F P 20 5 498 万元 而实际收益 F 25 F A 20 5 250 436 万元 投资没有达到20 的收益率 故不合算 0 P 200 25 275 1 2 3 4 5 i 20 单位 万元 22 2 7等差系列公式 23 24 图 2 的将来值F2为 等差系列终值系数 25 26 等差年金换算系数 27 注 如支付系列为均匀减少 则有A A1 A2 28 等差支付现值公式 P 29 等差系列现值系数 30 例 某企业拟购买一台设备 其年收益额第一年为10万元 此后直至第8年末逐年递减3000元 设年利率为15 按复利计息 求该设备8年的收益现值P及等额分付序列收益年金A 0 2 3 5 4 6 7 8 1 10 9 7 8 2 9 4 8 8 8 5 9 1 7 9 年 A 10万元 单位 万元 i 15 G 2G 3G 4G 5G 6G 7G 31 解 P2 G A G 15 8 P A 15 8 0 3 2 78 4 487 3 74万元 收益现值P P1 P2 44 87 3 74 41 1万元收益年金 A P A P 15 8 41 1 0 2229 9 2万 0 2 3 5 4 6 7 8 1 10 9 7 8 2 9 4 8 8 8 5 9 1 7 9 A 10万元 年 单位 万元 i 15 G 2G 3G 4G 5G 6G 7G 32 8 等比系列公式 33 称为等比系列现值系数 8 等比系列公式 34 8 等比系列公式 等比系列终值 F A i j n 称为等比系列终值系数 35 运用利息公式应注意的问题 1 为了实施方案的初始投资 假定发生在方案的寿命期初 2 方案实施过程中的经常性支出 假定发生在计息期 年 末 3 本年的年末即是下一年的年初 4 P是在当前年度开始时发生 5 F是在当前以后的第n年年末发生 6 A是在考察期间各年年末发生 当问题包括P和A时 系列的第一个A是在P发生一年后的年末发生 当问题包括F和A时 系列的最后一个A是和F同时发生 7 均匀梯度系列中 第一个G发生在系列的第二年年末 36 名义利率和有效利率 名义利率和有效利率的概念 当利率周期与计息周期不一致时 不考虑利息再生 名义利率 年 考虑利息再生 实际利率 年利率为12 每年计息1次 12 为实际利率 年利率为12 每月计息1次 12 为名义利率 月利率为1 37 名义利率 不同计息期的名义利率 38 1 间断复利的年实际利率 按期 年 季 月和日 计息的方法 如果名义利率为r 一年中计息m次 每次计息的利率为i r m 根据一次支付复利系数公式 年末本利和为 F P 1 r m m一年末的利息为 I F P P 1 r m m P按定义 利息与本金之比为利率 则年有效利率i为 39 下表给出了名义利率为12 分别按不同计息期计算的实际利率 从上表可以看出 每年计息期m越多 ieff与r相差越大 所以 在进行工程经济分析时 如果各方案的记息期不同 就不能简单地使用名义利率来评价 必须换算成实际利率进行评价 40 例 某厂拟向两个银行贷款以扩大生产 甲银行年利率为16 计息每年一次 乙银行年利率为15 但每月计息一次 试比较哪家银行贷款条件优惠些 解 因为i乙 i甲 所以甲银行贷款条件优惠些 41 例 现投资1000元 时间为10年 年利率为8 每季度计息一次 求10年末的将来值 每季度的有效利率为8 4 2 用年实际利率求解 年有效利率i为 i 1 2 4 1 8 2432 F 1000 F P 8 2432 10 2208 元 用季度利率求解 F 1000 F P 2 40 1000 2 2080 2208 元 解 42 例 某企业向银行借款1000元 年利率为4 如按季度计息 则第3年应偿还本利和累计为 元 A 1125B 1120C 1127D 1172 F 1000 F P 1 4 3 1000 F P 1 12 1127元 答案 C 解 43 例 已知某项目的计息期为月 月利率为8 则项目的名义利率为 A 8 B 8 C 9 6 D 9 6 解 所以r 12 8 96 9 6 44 2 连续 瞬时 复利的年有效利率 按瞬时计息的方式 在这种情况下 复利可以在一年中按无限多次计算 年有效利率为 式中 e自然对数的底 其数值为2 71828 45 名义利率的实质 当计息期小于一年的利率化为年利率时 忽略了时间因素 没有计算利息的利息 名义利率和有效 年 利率的应用 计息期与支付期相同计息期短于支付期计息期长于支付期 46 3等值计算与应用 不同时点 数额不同的资金在资金的时间价值的作用下有可能具有相等的价值 不同时点 不同数额但其价值等效的资金称为等值 利用等值的概念 可把一个时点的资金额换算成另一时点的等值金额 资金等值计算是指为了便于比较 把不同时点上的资金按照一定的折现率计算至某一相同的时点上的过程 如 折现 贴现 等 47 1计息周期等于支付期 根据计息期的实际利率 利用复利计算公式直接进行计算 例 年利率为12 每半年计息1次 从现在起连续3年每半年末等额存款为200元 问与其等值的第0年的现值是多少 解 计息期为半年的有效利率为i 12 2 6 P 200 P A 6 6 983 46 元 48 例 年利率为9 每年年初借款4200元 连续借款43年 求其年金终值和年金现值 A 4200 A 4200 1 9 解 F A F A i n 4200 1 9 440 8457 2018191 615 元 P A P A i n 4200 1 9 10 838 49616 364 元 49 2计息周期短于支付期 1 先求出支付期的有效利率 再利用复利计算公式进行计算 2 按计息周期利率计算F P F P r m mn P F P F r m mn F A F A r m mn P A P A r m mn A F A F r m mn A P A P r m mn 50 2计息周期短于支付期 例 年利率为12 每季度计息一次 从现在起连续3年的等额年末存款为1000元 与其等值的第3年的年末借款金额是多少 解 年有效利率为 51 方法二 取一个循环周期 使这个周期的年末支付转变成等值的计息期末的等额支付系列 将年度支付转换为计息期末支付 A F A F 3 4 1000 0 2390 239 元 r 12 n 4 则i 12 4 3 52 F A F A i n A F A 3 12 239 14 192 3392元 53 F 1000 F P 3 8 1000 F P 3 4 1000 1000 1 267 1000 1 126 1000 3392元 方法三 把等额支付的每一个支付看作为一次支付 求出每个支付的将来值 然后把将来值加起来 这个和就是等额支付的实际结果 54 3计息周期长于支付期 1 不记息 记息期内收付不计息 2 单利记息 记息期内的收付均按单利记息 3 复利计息 计息周期内的收付按复利计息 55 3计息周期长于支付期 1 不记息 记息期内收付不计息 按财务原则进行计息 即现金流入额放在期末 现金流出额放在计息期初 计息期分界点处的支付保持不变 例 现金流量图如图所示 年利率为12 每季度计息一次 求年末终值F为多少 0 1 2 3 9 7 4 6 5 8 10 11 12 月 300 100 100 100 56 3计息周期长于支付期 2 单利记息 记息期内的收付均按单利记息 记息期内的利率按时间比例计算 小周期利率单利方式换算为大周期利率 P31例2 14 57 3计息周期长于支付期 3 复利记息 计息周期内的收付按复利计息 小周期与大周期之间的利率按复利换算 收付周期利率按复利计算出计息期利率 此时 计息期利率相当于 实际利率 收付周期利率相当于 计息期利率 求收付周期利率 P32例2 15 58 例题 例1 某住宅楼正在出售 购房人可采用分期付款的方式购买 付款方式 每套24万元 首付6万元 剩余18万元款项在最初的五年内每半年支付0 4万元 第二个5年内每半年支付0 6万元 第三个5年内每半年内支付0 8万元 年利率8 半年计息 该楼的价格折算成现值为多少 解 P 6 0 4 P A 4 10 0 6 P A 4 10 P F 4 10 0 8 P A 4 10 P F 4 20 15 49 万元 59 例2 一个男孩 今年11岁 5岁生日时 他祖父母赠送他4000美元 该礼物以购买年利率4 半年计息 的10年期债券方式进行投资 他的父母计划在孩子19 22岁生日时 每年各用3000美元资助他读完大学 祖父母的礼物到期后重新进行投资 父母为了完成这一资助计划 打算在他12 18岁生日时以礼物形式赠送资金并投资 则每年的等额投资额应为多少 设每年的投资利率为6 解 以18岁生日为分析点 设12 18岁生日时的等额投资额为x美元 则4000 F P 2 20 F P 6 3 x F A 6 7 3000 P A 6 4 得 X 395 美元 60 例 假如有人目前借入2000元 在今后2年中每月等额偿还 每次偿还94 20元 复利按月计算 试求月有效利率 名义利率和年有效利率 解 94 20 2000 A P i 24 A P i 24 94 2 2000 0 0471查表 上列数值相当于i 1 0 月有效利率则名义利率r 1 0 12 12 年有效利率i 1 1 0 12 1 12 68 61 资金时间价值基本公式的应用 复利系数表中包含了三种数据 即系数 利率 计息次数 根据各系数符号 查表即可得到相应的系数 知道了三项数据中的任意两项 还可以通过查表得到另一项 一 计算货币的未知量二 计算未知利率三 计算未知年数 62 二 计算未知利率在计算技术方案的等值时 有时会遇到这样一种情况 即现金流量P F A以及计算期n均为已知量 而利率i为待求的未知量 比如 求方案的收益率 国民经济的增长率等就属于这种情况 这时 可以借助查复利系数表利用线性内插法近似地求出i来 63 例 某人今年初借贷1000万元 8年内 每年还154 7万元 正好在第8年末还清 问这笔借款的年利率是多少 解 已知P 1000万 A 154 7万 n 8 A P A P i n A P i n A P 154 7 1000 0 1547查表中的资金回收系数列 在n 8的一行里 0 1547所对应的i为5 i 5 64 例 已知现在投资300元 9年后可一次获得525元 求利率i为多少 解 利用一次支付终值公式F P F P i n 525 300 F P i 9 F P i 9 1 750从复利表上查到 当n 9时 1 750落在利率6 和7 之间 从6 的位置查到1 689 从7 的位置上查到1 838 用直线内插法可得 i 6 1 750 1 6895 7 6 6 41 计算表明 利率i为6 41 65 把上述例子推广到一般情况 我们设两个已知的现金流量之比 F P F A或P A等 对应的系数为f0 与此最接近的两个利率为i1和i2 i1对应的系数为f1 i2对应f2 见下图 系数f0与利率i的对应图 66 根据上图 求利率i的的算式为 f0 f1 i2 i1 i i1 4 15 f2 f1 67 例 某人有资金10万元 有两个投资方向供选择 一是存入银行 每年复利率为10 另一是购买五年期的债券 115元面值债券发行价为100元 每期分息8元 到期后由发行者以面值收回 试计算出债券利率 比较哪个方案有利 解 设债券利率为i 则有100 8 P A i 5 115 P F i 5 用试算的方法 可得到P 10 8 P A 10 5 115 P F 10 5 101 73P 12 8 P A 12 5 115 P F 12 5 94 09用线性内插法 68 例 某公司欲买一台机床 卖方提出两种付款方式 1 若买时一次付清 则售价30000元 2 买时第一次支付10000元 以后24个月内每月支付1000元 当时银行利率为12 问若这两种付款方案在经济上是等值的话 那么 对于等值的两种付款方式 卖方实际上得到了多大的名义利率与实际利率 69 解 两种付款方式中有10000元现值相同 剩下20000元付款方式不同 根据题意 已知P 20000元 A 1000元 n 24个月 求月利率i P A P A i n 20000 1000 P A i 24 P A i 24 20 f0查复利表 当i1 1 时 P A 1 24 21 243 f1i2 2 时 P A 2 24 18 914 f2说明所求月利率i介于i1与i2之间 利用公式 4 15 f0 f1 i2 i1 20 21 243 2 1 i i1 1 f2 f118 9140 21 2430 1 0 534 1 534 那么卖方得到年名义利率 r 12 1 534 18 408 70 卖方得到年实际利率 18 408 i 1 r n n 1 1 12 112 1 0 01534 n 1 20 04 由于上述的名义利率18 408 和实际利率20 04 都高于银行利率12 因此 第一种付款方式对买方有利 作为卖方提出两种付款方式 则买方应选择第一种 而第二种付款方式对卖方有利 按银行利率 卖方所得的现值为 P P1 A P A i n 10000 1000 P A 1 24 31243 4 元 71 例 设有一个25岁的人投资人身保险 保险期50年 在这段期间 每年末缴纳150元保险费 在保险期间内 若发生人身死亡或期末死亡 保险人均可获得10000元 问投这段保险期的实际利率 若该人活到52岁去世 银行年利率为6 问保险公司是否吃亏 解 先画现金流量图如图4 18 图4 18现金流量图 72 已知A 150元 F 10000元 n 50年 求i 根据公式 4 6 F A F A i n 10000 150 F A i 50 F A i 50 66 667 f0查复利表 i1 1 时 F A 1 50 64 463 f1i2 2 时 F A 2 50 84 579 f2 73 说明所求i介于i1与i2之间 利用公式 4 14 f0 f1 i2 i1 66 667 64 463i i1 1 2 1 f2 f184 5790 64 4630 1 0 11 1 11 所以 50年保险期的实际利率为1 11 74 若此人活到52岁就去世了 则在保险期内的第27年保险公司要赔偿10000元 看其是否吃亏 就与存银行所得本利和作比较 F A F A i n 150 F A 6 27 150 63 706 9555 9 元 保险公司亏损 10000 9555 9 444 1 元 可见此人投保期间的实际利率只有1 11 若此人52岁时去世了 则保险公司就亏444 1元 说明社会保险是一项社会福利事业 如果社会投保面广 经营得当 也是盈利大的事业 75 三 计算未知年数在计算技术方案的等值中另一种可能的情况是 已知方案现金流量P F或A 以及方案的利率i 而方案的计算期n为待求的未知量 例如 要求计算方案的投资回收期 借款清偿期就属于这种情况 这时仍可借助查复利表 利用线性内插法近似地求出n来 其求解基本思路与计算未知利率大体相同 76 例 假定国民经济收入的年增长率为10 如果使国民经济收入翻两番 问从现在起需多少年 解 设现在的国民经济收入为P 若干年后翻两番则为4P 由式 4 4 F P F P 10 n 4P P F P 10 n F P 10 n 4当i 10 时 4落在年数14年和15年之间 当n 14年时 F P 10 14 3 7975 当n 15年时 F P 10 15 4 1772 用直线内插法得到 77 4 3 7975 15 14 n n1 年 14 53年4 1772 3 7975上述的例子推广到一般情况 仿照式 4 14 可得出 f0 f1 n2 n1 n n1 4 16 f2 f1 78 例 某企业向外资贷款200万元建一工程 第三年投产 投产后每年净收益40万元 若年利率10 问投产后多少年能归还200万元贷款的本息 解 先画出现金流量图 为使方案的计算能利用公式 将第二年末 第三年初 作为基期 计算F2 79 P2 200 F P 10 2 200 1 210 242 万元 然后 利用式 4 8 计算从投产后算起的偿还期n P A P A 10 n 242 40 P A 10 n P A 10 n 6 05在i 10 的复利表上 6 05落在第9年和第10年之间 当n1 9时 P A 10 9 5 759 当n2 10时 P A 10 10 6 144 80 根据式 4 15 有 f0 f1 n2 n1 6 05 5 759 10 9 n n1 9 年f2 f16 1446 5 759 9 7547年即投产后9 755年后能全部还清货款的本息 81 例 假设年利率为6 每年年末存进银行1000元 如果要想在银行拥有存款10000元 问需要存几年 解 已知i 6 A 1000元 F 10000元 A F A F i n A F i n A F 1000 10000 0 1查偿债基金系数 在i 6 时 当n1 8时 A F 6 8 0 101当n2 9时 A F 6 9 0 0870利用线性内插法 求得 n 8 0 1 0 101 0 087 0 101 8 07 年 82 83 84 85