欧拉方法ppt课件

第三章常微分方程的差分方法3 1欧拉方法3 2改进的欧拉方法3 3龙格 库塔方法3 4亚当姆斯方法3 5收敛性与稳定性3 6方程组和高阶方程的情形3 7边值问题 1 微分方程 包含自变量 未知函数及未知函数的导数或微分的方程常微分方程 未知函数为一元函数的微分方程偏微分方程 未知函数为多元函数 从而含有多元函数偏导数的微分方程一阶常微分方程 微分方程中各阶导数的最高阶数为一阶的 2 定解条件 初值问题 给出积分曲线在初始时刻的状态边值问题 给出积分曲线在首末两端的状态 3 定理 常微分方程初值问题 设x0 a b f x y 对x连续且关于y满足李普希兹条件 则上述初值问题在 a b 上有唯一解 李普希兹 Lipshitz 条件 存在常数L 使 对所有x a b 及任何实数y1 y2均成立 4 数值解法定解问题 数值解法 给定点a x0 x1 xn b 将初值问题离散化为差分方程 求出解函数 积分曲线 y x 在这些点的近似值y1 y2 yn 所求得的近似值y1 y2 yn称为微分方程的数值解 5 差分方法 差分格式 6 3 1欧拉方法3 1 1欧拉 Euler 格式 7 8 9 10 3欧拉法数值微分推导用向前差商代替导数 设 等距 步长 令x xn x h xn 1 y xn yn y xn 1 yn 1 初值问题离散化为 初值问题 欧拉公式 11 12 13 局部截断误差和阶 数值公式的精度定义局部截断误差 假设第n步是准确的 即y xn yn 将y xn 1 yn 1定义为数值方法的局部截断误差 由于实际上yn不是准确值 因此它的误差会传播下去 实际计算时 每一步都可能产生舍入误差 定义若局部截断误差为O hp 1 p为正整数 则称数值公式是p阶公式 精度是p阶 14 局部截断误差的主项系数 若局部截断误差的主项可以表示为则称该格式是p阶的 系数C称为局部截断误差的主项系数 15 欧拉公式的截断误差是O h2 公式是1阶的 局部截断误差的主项系数为1 二阶泰勒公式 两式相减 由设yn y xn 有 欧拉公式的局部截断误差和阶 16 17 3 1 2隐式欧拉格式 18 3 1 3两步欧拉格式 19 20 3 2改进的欧拉方法 对微分方程y f x y 两边求xn到xn 1的定积分 有 选用不同的方法计算积分 就会得到不同的差分格式 将y xn y xn 1 分别用yn yn 1代替 构造数值公式 3 2 1 梯形格式 利用梯形公式计算积分 有 21 22 3 2 2改进的欧拉格式欧拉方法 显式 计算量小 精度低 梯形方法是隐式公式 计算量大 精度高 实际计算时 将二者综合之 先用欧拉公式计算出yn 1作为初始值 初始值精度不高 取作预报值 代入梯形公式 得到校正值yn 1 写成预报 校正公式 23 预报 校正公式又常常写成一步嵌套显式形式 或写成平均化形式 预报 校正公式的局部截断误差y xn 1 yn 1 O h3 24 预报 校正公式的局部截断误差 假设yi y xi 解函数在x xi处的泰勒公式为 在改进的欧拉公式中 设 则有 求出在h 0处的泰勒公式 整理后得 上式h和h2项的乘数应为零 于是 25 因而改进的欧拉法是二阶的 26 27 28 29 30 第3章作业 1 Ch3 13 4 7 31