代数精度插值求积及复化公式ppt课件

但是 在工程技术领域 在实际使用上述求积分方法时 往往会遇到下面情况 1 函数f x 没有具体的解析表达式 只有一些由实验测试数据形成的表格或图形 关于定积分的计算 我们知道 只要求出f x 的一个原函数F x 就可以利用牛顿 莱布尼慈 Newton Leibniz 公式出定积分值 3 f x 的结构复杂 求原函数困难 即不定积分难求 2 f x 的原函数无法用初等函数表示出来 如 由于以上种种原因 因此有必要研究积分的数值计算方法 进而建立起上机计算定积分的算法 此外 数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础 数值积分 7 1 1 1构造数值求积公式的基本思想 定积分I abf x dx在几何上为x a x b y 0和y f x 所围成的曲边梯形的面积 定积分计算之所以困难 是不规则图形的面积 由积分中值定理 对连续函数f x 在区间 a b 内至少存在一点 使 也就是说 曲边梯形的面积I恰好等于底为b a 高为f 的规则图形 矩形的面积 图7 1 f 为曲边梯形的平均高度 然而点 的具体位置一般是不知道的 因此难以准确地求出f 的值 但是 由此可以得到这样的启发 只要能对平均高度f 提供一种近似算法 便可以相应地得到一种数值求积公式 如用两端点的函数值f a 与f b 取算术平均值作为平均高度f 的近似值 这样可导出求积公式 7 2 更一般地在区间 a b 上适当选取某些点xk k 0 1 n 然后用f xk 的加权平均值近似地表示f 这样得到一般的求积公式 其中 点xk称为求积节点 系数Ak称为求积系数 Ak仅仅与节点xk的选取有关 而不依赖于被积函数f x 的具体形式 另一方面定积分的定义 其中 xk是 a b 的每一个分割小区间的长度 它与f x 无关 去掉极限 由此得到近似计算公式 7 3 因此 式 7 1 可作为一般的求积公式 其特点是将积分问题归结为函数值的计算 从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难 适合于函数给出时计算积分 也非常便于设计算法 便于上机计算 求积公式 7 1 的截断误差为 Rn也称为积分余项 1 2代数精度 定义1 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成立 而至少对一个m 1次多项式不精确成 则称该公式具有m次代数精度 一般来说 代数精度越高 求积公式越好 为了便于应用 由定义1容易得到下面定理 数值积分是一种近似计算 但其中有的公式能对较多的函数准确成立 而有的只对较少的函数准确成立 为了反映数值积分公式的准确差别 引入代数精度的概念 7 4 试验证梯形公式具有一次代数精度 例1 可以证明矩形公式的代数精度也是一次的 定理1 一个求积公式具有m次代数精度的充分必要条件是该求积公式对1 x x2 xm精确成立 而对xm 1不精确成立 7 5 上述过程表明 可以从代数精度的角度出发来构造求积公式 如 对于求积公式 7 1 若事先选定一组求积节点xk k 0 1 n xk可以选为等距点 也可以选为非等距点 令公式对f x 1 x xn精确成立 即得 这是关于A0 A1 An的线性方程组 系数行列式为范德蒙行列式 其值不等于零 故方程组存在唯一的一组解 求解方程组 7 2 确定求积系数Ak 这样所得到的求积公式 7 1 至少具有n次代数精度 7 6 例2 确定求积公式 使其具有尽可能高的代数精度 解 求积公式中含有三个待定参数 可假定近似式 7 3 的代数精度为m 2 则当f x 1 x x2时 式 7 3 应准确成立 即有 代回去可得 检查 7 4 对m 3是否成立 为此 令f x x3代入 7 4 此时左边 7 7 再检查 7 4 对m 4是否成立 令f x x4代入 7 4 此时 因此近似式 7 4 的代数精度为m 3 由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式 只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度 上述方法称为待定系数法 在具有尽可能高的代数精度的要求下 利用它可以得出各种求积公式 7 8 1 3插值型求积公式 设给定一组节点a x0 x1 xn 1 xn b 且已知f x 在这些节点上的函数值 则可求得f x 的拉格朗日插值多项式 其中lk x 为n次插值基函数 取f x Ln x 则有 记 则有 这种求积系数由式 7 5 所确定的求积公式称为插值型求积公式 根据插值余项定理 插值型求积公式的求积余项为 其中 a b 与x有关 7 9 关于插值型求积公式的代数精度 有如下定理 具有n 1个节点的数值求积公式 7 1 是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有n次代数精度 定理2 定理2说明 当求积公式 7 1 选定求积节点xk后 确定求积系数Ak有两条可供选择的途径 求解线性方程组 7 2 或者计算积分 7 5 即利用n次代数精度或插值型积分来确定求积系数 由此得到的求积公式都是插值型的 其代数精度均不小于n次 证 充分性 设求积公式 7 1 至少具有n次代数精度 那么 由于插值基函数li x i 0 1 n 均是次数为n的多项式 故式 7 1 对li x 精确成立 即 7 10 必要性 设求积公式 7 1 是插值型的 则对所有次数不大于n的多项式f x 按 7 6 其求积余项Rn 0 即这时插值型求积公式是精确成立的 由定义1 n 1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 证毕 例3 考察求积公式 具有几次代数精度 注 n 1个节点的求积公式不一定具有n次代数精度 其原因是此求积公式不一定是插值型的 例 7 11 2牛顿一柯特斯 Newton Cotes 公式 本节介绍节点等距分布时的插值型求积公式 即牛顿一柯特斯 Newton Cotes 公式 2 1牛顿一柯特斯 Newton Cotes 公式 设将积分区间 a b 划分为n等分 步长h b a n 求积节点取为xk a kh k 0 1 n 由此构造插值型求积公式 则其求积系数为 记 7 12 称之为n阶牛顿一柯特斯 Newton Cotes 公式简记为N C公式 称为柯特斯系数 显然 柯特斯系数与被积函数f x 和积分区间 a b 无关 且为多项式积分 其值可以事先求出备用 表7 1中给了了部分柯特斯系数 柯特斯系数 表7 1 7 13 经计算或查表得到柯特斯系数后 便可以写出对应的牛顿一柯特斯 Newton Cotes 公式 当n 1时 按公式 7 7 有 得求积公式 即梯形公式 当n 2时 7 14 相应的求积公式 称为辛卜生 Simpson 公式 当n 4时 所得的公式称作柯特斯公式 它有五个节点 其系数 7 15 所以柯特斯公式是 柯特斯系数的性质 1 与积分区间无关 当n确定后 其系数和都等于1 即 2 对称性 此特性由表7 1很容易看出 对一般情况可以证明 略 3 柯特斯系数并不永远都是正的 表7 1看出当n 8时 出现了负系数 在实际计算中将使舍入误差增大 并且往往难以估计 从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证 因此实际计算中不用高阶的 7 16 7 17 2n阶Newton Cotes公式至少具有2n 1次代数精度 我们知道 由n次插值多项式导出的n次牛顿一柯特斯公式至少具有n次代数精度 由于节点等距 更进一步有以下结论 定理3 证 计算知由2n次插值多项式导出的求积公式的截断误差为0即可 7 18 例4 验证辛卜生 Simpson 公式 具有三次代数精度 定理3直接得到 解 由定理2 3个节点的插值积分公式辛卜生公式至少具有二次代数精度 因此只需检查对f x x3成立否 当f x x3时 所以I S 表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立 用同样的方法可以验证对于f x x4 辛卜生公式不成立 因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次 在几种低阶N C公式中 感兴趣的是梯形公式 最简单 最基本 辛卜生公式和柯特斯公式 7 19 例5 解 由梯形公式 7 9 由辛卜生公式 7 10 得 由柯特斯公式 7 11 得 事实上 积分的精确值 与之相比可以看到 柯特斯公式的结果最好 具有七位有效数字 辛卜生公式的结果次之 具有四位有效数字 而梯形公式的结果最差 只有两位有效数字 分别用梯型公式 辛卜生公式和柯特斯公式计算积分 7 20 2 2几种低价N C求积公式的余项 考察梯形公式 按N c的截断误差知 梯形公式 7 9 的余项 这里被积函数中的因子t t 1 在区间 0 1 上不变号 非正 故由积分中值定理 在 0 1 内至少存在一点 使 2 对于辛卜生公式 7 21 需要注意的是 关于牛顿 科特斯公式的收敛性 可以证明 并非对一切连续函数f x 都有 也就是说牛顿 柯特斯公式的收敛性没有保证 当n趋于无穷时 它的稳定性也没有保证 因此 在实际计算中 一般不采用高阶 n 8 的牛顿 柯特斯公式 3 柯特斯公式 6 10 的余项为 7 22 在实际计算中常用前面三种低价N C公式 但若积分区间比较大 直接使用以上三种低阶求积公式 则精度难以保证 若增加节点 就要使用高阶的N C公式 然而前面已指出 当n 8时 由于N C公式的收敛性和稳定性得不到保证 因此不能采用高阶的公式 事实上 增加节点 从插值的角度出发 必然会提高插值多项式的次数 Runge现象表明 一般不采用高次插值 亦即不用高阶N C公式 为提高精度 当增加求积节点时 考虑对被积函数用分段低次多项式近似 由此导出复化求积公式 3复化求积公式 7 23 3 1复化梯形公式 用分段线性插值函数来近似被积函数 等于把积分区间分成若干小区间 在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积 即用梯形公式求小区间上积分的近似值 这样求得的近似值显然比整区间上用梯形公式计算精度高 式 7 15 称为复化梯形公式 7 24 因为f x 在 a b 连续 由介值定理 存在 a b 使得 从而有 这就是复化梯形公式的截断误差 7 25 3 2复化Simpson公式和复化Cotes公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数 即在小区间上用Simpson公式计算积分近似值 就导出复化Simpson公式 7 26 如果f x C 4 a b 由式 7 13 可得复化Simpson公式的截断误差为 整理得 式 7 17 称为复化Simpson公式 因为f 4 x 连续 故存在 a b 使得 7 27 若用复化求积公式计算积分 的近似值 要求计算结果有四位有效数字 n应取多大 例 解 因为当0 x 1时有0 3 e 1 e x 1于是 要求计算结果有四位有效数字 即要求误差不超过10 4 2 又因为 由复化梯形公式误差估计式 式 7 18 表明 步长h越小 截断误差越小 与复化梯形公式的分析相类似 可以证明 当n 时 用复化Simpson公式所求得的近似值收敛于积分值 而且算法具有数值稳定性 7 28 例子的计算结果表明 为达到相同的精度 用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式少 这也说明了复化Simpson公式的精度较高 实际计算时多采用复化Simpson公式 复化求积方法又称为定步长方法 复化求积公式 根据预先给定的精度能估计出合适的步长或n 进而确定对积分区间的等分数 如同例7一样 然而当被积函数稍复杂一些 要由误差估计式给出合适的步长 就要估计被积函数导数的上界值 而这一点是相当困难的 因此若用复化梯形公式求积分 n应等于41即41等分才能达到精度 若用复化Simpson公式 由式 7 18 即得n 1 6 故应取n 2即4等分 h 1 n h 1 2n 7 29 复化Cotes公式 将区间 a b 分成n等分 分点为 用Cotes公式得到复化Cotes公式 复化Cotes公式的截断误差为 7 30 要使截断误差不超过10 3 2 h应取多大 辛普生公式又怎么样 用复化梯形求积公式计算积分 作业 7 31 4逐次分半算法 变步长方法 基于复化求积公式 定步长方法 的缺点 常采用变步长方法 即逐步缩小步长 每次将步长缩小一半 或者说逐次等分区间 反复利用复化求积公式 直到相邻两次计算结果相差不大为止或者满足给定精度为止 7 32 梯形法的递推公式 7 33 因此计算梯形序列 T2m 可按 7 34 此为复化梯形公式的递推公式 7 35 7 36 7 37 若f x 在 a b 的二阶导数连续 则当m较大时 以此作为停止计算的控制 而由前面的推导可知 下面公式具有如下规律性 并且是利用控制结束的误差式 构成新的 收敛更快的公式 7 38