概率论独立性ppt课件

第六节独立性 主要内容 1 两个事件的独立性2 多个事件的独立性3 独立性的概念在计算概率中的应用重点 1 两个 多个事件独立性的定义2 利用独立性的概念接概率题目 显然P A B P A 这就是说 已知事件B发生 并不影响事件A发生的概率 这时称事件A B独立 一 两事件的独立性 A 第二次掷出6点 B 第一次掷出6点 先看一个例子 将一颗均匀骰子连掷两次 设 由乘法公式知 当事件A B独立时 有P AB P A P B 用P AB P A P B 刻划独立性 比用P A B P A 或P B A P B 更好 它不受P B 0或P A 0的制约 若两事件A B满足P AB P A P B 1 则称A B相互独立 简称A B独立 两事件独立的定义independence 例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 可见 P AB P A P B 由于P A 4 52 1 13 故事件A B独立 问事件A B是否独立 解 P AB 2 52 1 26 P B 26 52 1 2 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的 也可以通过计算条件概率去做 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张 记A 抽到K B 抽到的牌是黑色的 在实际应用中 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立 可见P A P A B 即事件A B独立 则 P A 1 13 P A B 2 26 1 13 在实际应用中 往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立 由于 甲命中 并不影响 乙命中 的概率 故认为A B独立 甲 乙两人向同一目标射击 记A 甲命中 B 乙命中 A与B是否独立 例如 即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率 一批产品共n件 从中抽取2件 设Ai 第i件是合格品 i 1 2 若抽取是有放回的 则A1与A2独立 因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响 又如 因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响 若抽取是无放回的 则A1与A2不独立 例一批产品共有10件 其中8件正品 2件次品 设 1 有放回抽样 而 所以在又放回抽样下 第i次和第j次抽到正品是独立的 第i次取到正品 则 2 无放回抽样 而 因为 所以在有放回抽样下 第i次取到正品和第j次取到正品不是独立的 请问 如图的两个事件是独立的吗 即若A B互斥 且P A 0 P B 0 则A与B不独立 反之 若A与B独立 且P A 0 P B 0 则A B不互斥 而P A 0 P B 0 故A B不独立 我们来计算 P AB 0 设A B为互斥事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 前面我们看到独立与互斥的区别和联系 1 P B A 02 P A B P A 3 P A B 04 P AB P A P B 设A B为独立事件 且P A 0 P B 0 下面四个结论中 正确的是 1 P B A 02 P A B P A 3 P A B 04 P AB P A P B 再请你做个小练习 P A 1 P B P A P AB P A P A AB A B独立 概率的性质 P A P A P B 仅证A与独立 定理2若两事件A B独立 则 也相互独立 证明 P A P 故A与独立 概念辨析 事件 与事件 独立 事件 与事件 互不相容 事件 与事件 为对立事件 二 多个事件的独立性 例 设同时抛掷两个均匀的正四面体一次 每一个四面体标有号码1 2 3 4 令A 第一个四面体的触地面为偶数 B 第二个四面体的触地面为奇数 C 两个四面体的触地面同时为奇数 或者同时为偶数 试讨论A B C的相互独立性 A 第一个 为偶数 B 第二个 为奇数 C 两个 同时为奇数 或者同时为偶数 解试验的样本空间为 所以 A B C两两独立 但总起来讲不独立 四个等式同时成立 则称事件A B C相互独立 请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系 两两独立 相互独立 对n n 2 个事件 三 独立性的概念在计算概率中的应用 即 例4三人独立地去破译一份密码 已知各人能译出的概率分别为1 5 1 3 1 4 问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少 解将三人编号为1 2 3 所求为 记Ai 第i个人破译出密码 i 1 2 3 已知 P A1 1 5 P A2 1 3 P A3 1 4 1 2 1 1 P A1 1 P A2 1 P A3 3 例5下面是一个串并联电路示意图 A B C D E F G H都是电路中的元件 它们下方的数是它们各自正常工作的概率 求电路正常工作的概率 解将电路正常工作记为W 由于各元件独立工作 有 其中 P W 0 782 代入得 将试验E重复进行n次 若各次试验的结果互不影响 则称这n次试验是相互独立的 设随机试验E只有两种可能的结果 A及 且P A p 在相同的条件下将E重复进行n次独立试验 则称这一串试验为n重贝努利试验 贝努利试验 Bernoullitrials 相互独立的试验 贝努利试验 例一批产品的次品率为5 从中每次任取一个 检验后放回 再取一个 连取4次 求4次中恰有2次取到次品的概率 设 恰好有2次取到次品 取到次品 则 取到正品 分析 n 4的Bernoulli试验 i 第i次抽样抽到次品 31 因为 1 2 3 4相互独立 所以 四次抽样中 恰好发生两次 有两次取到次品 的情况有 32 贝努利定理 设在一次试验中事件 发生的概率为p 0 p 1 则 在n次贝努里试验中恰好发生k次的概率为 k 0 1 2 n 其中 定理 二项概率 33 例有一批棉花种子 其出苗率为0 67 现每穴种4粒种子 1 求恰有 粒出苗的概率 0 k 4 2 求至少有两粒出苗的概率 1 该试验为4重贝努利试验 解 2 设 表示至少有2粒出苗的事件 则 34 两个常用公式 1 9独立试验序列 35 四 小结 这一讲 我们介绍了事件独立性的概念 不难发现 当事件相互独立时 乘法公式变得十分简单 因而也就特别重要和有用 如果事件是独立的 则许多概率的计算就可大为简化 概率统计 标准化作业 一 五 布置作业