初等变换与初等矩阵ppt课件

解方程组 把第1个方程分别乘以 2 1 加到第2个 3个方程 把第1行分别乘以 2 1 加到第2 3行 把未知量系数和常数按原顺序写成下表 消元法解方程组 增广矩阵 把第3个方程分别乘以 4 1加到第2个 1个方程 把第3行分别乘以 4 1加到第2 1行 把第2个方程与第3个方程互换位置 把第2行与第3行互换位置 把第3个方程分别乘以 1 1加到第1 2个方程 分别把把第3行乘以 1 1加到第1 2行 线性方程组的系数可以排成下面的一个表 而利用 1 的系数和常数项又可以排成下表 3 4 称为线性方程组 1 的系数矩阵 称为线性方程组 1 的增广矩阵 一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 1 对调两行 对调i j两行 记作 2 以不为零的数k乘某一行的所有元素 第i行乘数k 记作 一 矩阵的初等变换和初等矩阵 1 矩阵的初等变换 定义 矩阵的初等变换 相应地有三种列初等变换 1 交换矩阵的两列 记作 2 用非0常数乘以矩阵的某一列的元素 记作 3 某一列的元素乘以数k后加到另一列上去 记作 上述六种变换 统称为矩阵的初等变换 换法矩阵 1 将E的第i行与第j行交换得到的初等矩阵 2 初等矩阵 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 它们是 倍法矩阵 2以数乘单位矩阵的第i行得初等矩阵 注倍法矩阵的特点是 其它元素与单位矩阵相同 消法矩阵 3 把E的第j行的k倍加到第i行上 得到初等矩阵 注消法矩阵的特点是 其它元素与单位矩阵相同 如n 4 用初等矩阵右乘给定矩阵 其结果就是对给定矩阵施行相应的初等列变换 用初等矩阵左乘给定的矩阵 其结果就是对给定的矩阵施以相应的初等行变换 3 初等矩阵与初等变换之间的关系 的右边乘以相应的l阶初等矩阵 定理设A是一个n l矩阵 对A施行一次 初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的n阶初 等矩阵 对A施行一次初等列变换 相当于在A 例如 如果矩阵A经过有限次初等变换变成 二 矩阵的等价和矩阵的标准形 1 等价矩阵 定义 矩阵B 则称矩阵A与矩阵B等价 记作 矩阵A的行阶梯形 的矩阵称为矩阵A的标准形 主对角线上1的个数可以是0 第r行 即 2 矩阵A的标准形 形如 例2设 问 矩阵A和B是否等价 解先求A B的标准形 对B施行一系列初等变换得 例 化为等价标准形的变换矩阵 解 可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换 而得 而这4次初等变换所对应的初等方阵为 由初等方阵的性质得 教学目的理解初等矩阵的概念 理解矩阵的等价和标准形 掌握初等变换和初等矩阵的关系 熟练掌握矩阵等价的充要条件和初等变换法求逆矩阵 教学重点初等变换法求逆矩阵 初等变换和初等矩阵的关系 教学难点初等变换和初等矩阵的关系 课型新授课 授课时数 3课时