方向导数与梯度黑塞矩阵与泰勒公式ppt课件

第十章多元函数的导数及其应用 10 1多元函数的极限与连续 10 2偏导数与全微分 10 3多元复合函数与隐函数的偏导数 10 4方向导数 梯度及泰勒公式 10 5多元函数的极值与条件极值 1 10 4方向导数与梯度及泰勒公式 10 4 1方向导数与梯度 内容小结与作业 10 4 2方向导数与梯度的性质及应用 10 4 3黑塞矩阵与泰勒公式 2 10 4 1方向导数与梯度 1 方向导数的概念 偏导数反映的是多元函数沿坐标轴方向的变化率 对于二元函数有 在几何上 它们分别表示平面曲线及 在点处的切线的斜率 3 x0 y0 处沿某指定方向的变化率 下面我们来考虑二元函数在点 定义若函数 在点 处 沿方向u 方向角为 存在下列极限 记作 4 方向导数的几何意义 表示曲线C在点处的切线的斜率 特别 当u与x轴同向 当u与x轴反向 5 那么函数在该点沿任意方向向量u的方向导数都存在 且有 其中为向量u的方向余弦 2 方向导数的计算 6 这就证明了方向导数存在 且 一般地 当函数可微时 有 且所以 当自变量从点沿u方向移动时 7 三元函数在点沿方向u 方向角为 的方向导数定义为 定理10 4 1的逆命题不成立 f x y 在原点沿任意方向的方向导数存在 但不可微 8 方向导数的性质 9 例1 求函数在点沿方向 的方向导数 解 又的方向余弦为 故 10 例2 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 故 11 3 梯度向量的定义 因为 12 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 记作gradf或 f 即 nabla 13 例3 求函数在点处的梯度以及 函数在该点处沿方向的方向导数 解 故 又 故 14 如果采用向量的记号 我们容易给出一般n元函数的 方向导数与梯度的定义 设f x 是n元函数 通常我们只考虑二元函数和三元 u是n元向量 u0是u对应的单位向量 函数的情况 则f x 在点x处沿u的方向导数和梯度分别定义为 15 10 4 2方向导数与梯度的性质及应用 1 函数的最速上升方向与最速下降方向 定义10 4 1设f x 是 上的连续函数 d是n维非零向量 如果存在 使得对于一切 恒有 则称d为函数f在x0处的上升方向 恒有 如果对于 则称d为函数f在x0处的下降方向 16 定理10 4 2设f x 在点x0处可微 u是一个n维非 零向量 如果 个上升方向 的一个下降方向 则u是f x 在点x0处的一 如果 则u是f x 在点x0处 定理说明 方向导数的符号决定函数的升降 17 结论1 梯度方向是函数值上升最快的方向 最速上升方向 负梯度方向是而函数值下降最快的方向 最速下降方向 沿梯度方向 方向导数达到最大值 问题 函数值沿什么方向上升最快 沿什么方向下降最快 18 若函数在点处取最大值 则函数沿任何 方向都不可能上升 于是由定理10 4 2知 特别地 另一方面 因此 即函数在最大值点处的梯度为零向量 同理可 得函数在最小值点处的梯度向量也为零向量 结论2 函数在最大值点或最小值点处的梯度为零向量 19 设在处取最大 小 值 则 即 类似地 若三元函数在处取最 大 小 值 则 20 例4 设一座山的高度由函数给出 如 果登山者在山坡的点处 此时登山者往何方 向攀登时坡度最陡 解 坡度最陡的方向为高度函数变化最快的方向 即 求使高度函数在点处的方向导数最大的方向 因 为梯度与的夹角 所以 最大 即沿梯度方向函数上升最快 又因 所以在点处沿向量方向攀登时坡度最陡 21 函数值下降最快的方向 定理10 4 3设f x 是 上的连续函数 d是n维非零向量 如果 则d是f x 在点x0处的一个上升方向 如果 则d是f x 在点x0处的一个下降方向 d与 f x0 成锐角 d与 f x0 成钝角 解 所以函数在点处的最速下降方向为 22 2 梯度向量是二元函数等值线或三元函数等值面的法线方向向量 设f x 是n元可微函数 等值面 23 对于n 2的情形 是函数f x y 过点 x0 y0 的等值线 在该点处 它与等值线的切线垂直 在点 x0 y0 处的一个法线方向向量 结论 与等值面在点x0处的切平面垂直 所以 是等值面S在点x0处的一个法线方向向量 24 对于n 3的情形 是函数f x y z 的等值面 在点 x0 y0 z0 处的一个法线方向向量 在该点处 它与等值线的切平面垂直 等值面 25 10 4 3黑赛矩阵与泰勒公式 1 黑赛矩阵 设n元函数f x 在点x处对于自变量的各分量的二阶 连续 偏导数 二阶导数 或黑塞矩阵 26 例6 解 计算函数的梯度与黑塞 矩阵 并求以及 因 则 又 则 所以 27 例7 解 设皆为n维行向量 b为常数 求n维线性 函数在任意点x处的梯度和黑塞矩阵 设 于是 因 所以 28 当时 二维线性函数 写成向量形式是 于是 29 例8 解 设Q为n阶对称矩阵 皆为n维行向量 c为 常数 求n维二次函数在任意 点处的梯度和黑塞矩阵 设 则 于是 30 又因 所以 31 写出二维二次函数 的梯度和黑塞矩阵 32 2 泰勒公式 若函数在点的某一邻域内具有一 阶连续偏导数 且是这邻域内的一点 则有近似公式 如果要使这个函数有更高的精度 先须讨论二元函数的泰勒公式 一元函数 的泰勒公式 33 记号 设下面涉及的偏导数连续 一般地 表示 表示 34 定理10 4 4 的某一邻域内有直 到n 1阶连续偏导数 为此邻域内任 一点 则有 其中 称为f在点 x0 y0 的n阶泰勒公式 称为其拉格 朗日型余项 35 证 令 则 利用多元复合函数求导法则可得 36 一般地 由 的麦克劳林公式 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式 37 说明 1 余项估计式 因f的各n 1阶偏导数连续 在某闭 邻域其绝对值必有上界M 则有 38 2 当n 0时 得二元函数的拉格朗日中值公式 3 若函数 在区域D上的两个一阶偏导数 恒为零 由中值公式可知在该区域上 39 例9 求函数 解 的三阶泰 勒公式 因此 40 其中 41 解 由泰勒公式 其中 介于0与x 0与y 0与z之间 故有 42 1 方向导数的概念 2 梯度向量的定义 内容小结与作业 43 3 方向导数与梯度向量的关系 4 黑赛矩阵 44 5 泰勒公式 作业P156 1581 3 4 5 7 8 9 11 15 其中 45 备用题 函数 在点 处的梯度 解 则 注意x y z具有轮换对称性 92考研 46