材料力学圆轴扭转内力应力ppt课件

扭转的概念 扭转内力 薄壁圆筒的扭转 剪切虎克定律 圆轴扭转时横截面上的应力 教学要求 1 理解扭转的概念 薄壁圆筒横截面上的内力 应力 2 掌握扭转内力 扭矩与扭矩图 3 掌握切应力互等定理 剪切胡克定律 4 掌握圆轴扭转时横截面上的应力重点 扭转内力 应力 难点 切应力互等定理的证明 学时安排 2 教学内容 MechanicofMaterials 第八讲的内容 要求 重难点 1 目录 第三章扭转 3 1扭转的概念和实例和实例 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 3 3纯剪切 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 第八讲内容目录 2 3 1扭转的概念和实例 汽车传动轴 MechanicofMaterials 3 汽车方向盘操纵杆 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 4 请判断哪一杆件将发生扭转 拧紧螺母的工具杆不仅产生扭转 而且产生剪切 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 5 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 6 请判断哪一杆件将发生扭转 连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 7 请判断哪一部件将发生扭转 唱机的心轴将产生扭转 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 8 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 9 变形特征 杆件的各横截面环绕轴线发生相对的转动 受力特征 在杆的两端垂直于杆轴的平面内 作用着一对力偶 其力偶矩相等 转向相反 扭转角 任意两横截面间相对转过的角度 受扭转变形杆件通常为轴类零件 其横截面大都是圆形的 所以本章主要介绍圆轴扭转 MechanicofMaterials 3 1扭转的概念和实例 10 1 直接计算 一 外力偶矩 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 MechanicofMaterials 11 2 按输入功率和转速计算 电机输入功率为P KW 每秒作功 外力偶m使轴以n r min 转动 m每秒作功 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 其中P为功率 单位为千瓦 kW n为轴的转速 单位为转 分 r min 如果功率P的单位用马力 1马力 735 5W 0 7355kW 则 MechanicofMaterials 12 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 二 扭矩T 当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时 在杆横截面上产生的内力 称为扭矩T 单位为kN m或N m MechanicofMaterials 扭矩正负规定 右手螺旋法则 右手四指与扭矩转向一致 拇指指向外法线方向为正 反之为负 T m T m 13 三 扭矩图diagramoftorsionmoment 表征扭矩沿杆长的变化规律的图象 绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 MechanicofMaterials 14 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶 各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中 其中力偶矩的单位为N m 尺寸单位为mm 试 画出圆轴的扭矩图 例题3 1 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 MechanicofMaterials 15 解 1 确定控制面 外加力偶处截面A B C D均为控制面 2 截面法求各段扭矩 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 MechanicofMaterials 3 建立T x坐标系 画出扭矩图建立T x坐标系 其中x轴平行于圆轴的轴线 T轴垂直于圆轴的轴线 将所求得的各段的扭矩值 标在Mx x坐标系中 得到相应的点 过这些点作x轴的平行线 即得到所需要的扭矩图 315 630 486 16 例3 2主动轮A的输入功率PA 36kW 从动轮B C D输出功率分别为PB PC 11kW PD 14kW 轴的转速n 300r min 试画出传动轴的扭矩图 MechanicofMaterials 从最外母线看 外力偶切线方向与扭矩图从左到右突变方向相同 3 2外力偶的计算扭矩与扭矩图 MechanicofMaterials 17 一 薄壁圆筒的扭转 一 实验 1 实验前 绘纵向线 圆周线 3 3纯剪切 施加一对外力偶m MechanicofMaterials 2 实验后 圆周线不变 纵向线倾斜 3 结论 圆筒表面的各圆周线的形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 各纵向线均倾斜了同一微小角度 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形 18 圆周线间距离不变 变形沿圆周切线方向 表面纵线倾斜 所有小矩形都歪斜成平行四边形 每个小矩形的变形相同 3 3纯剪切 MechanicofMaterials r 横截面上无正应力 圆周线的形状 大小均未改变 沿半径方向也无切应力 左右两个截面间产生了相对的转动 截面上有切应力 存在 横截面上同一圆周上各点的切应力都是相等的 切应力沿圆周的切线方向 即垂直于半径方向 与扭矩转向一致 4 与 的关系 19 二 薄壁圆筒切应力 大小 A0 平均半径所作圆的面积 3 3纯剪切 MechanicofMaterials dA 20 三 切应力互等定理 上式称为切应力互等定理 该定理表明 在单元体相互垂直的两个平面上 切应力必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向则共同指向或共同背离该交线 3 3纯剪切 MechanicofMaterials T 点右截面 点左截面 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用 这种应力状态称为纯剪切应力状态 单元体 围绕所研究的截取的边长为无限小的直六面体 21 四 剪切虎克定律 T m 剪切虎克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限时 p 切应力与切应变成正比关系 G是材料的一个弹性常数 称为剪切弹性模量 因 无量纲 故G的量纲与 相同 不同材料的G值可通过实验确定 钢材的G值约为80GPa 剪切弹性模量 弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数 对各向同性材料 这三个弹性常数之间存在下列关系 3 3纯剪切 MechanicofMaterials 22 一 圆轴扭转时横截面上的应力公式推导思路 MechanicofMaterials 一 几何方面 1 变形后 横截面大小 形状均不改变 半径仍为直线 应力垂直半径 2 变形后相邻横截面间的距离不变 无正应力 扭转时 圆轴的表面变形和薄壁圆筒表面变形相似 实验现象 3 平面假定 圆轴受扭发生变形后 横截面仍保持平面 两相邻横截面刚性地相互转过一角度 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 23 MechanicofMaterials 二 物理方面 线弹性范围内 三 静力学方面 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 24 距圆心为 任一点处的 与到圆心的距离 成正比 扭转角沿长度方向变化率 1 变形协调方程推导应变 应力分布规律 设到轴线任意远 处的剪应变为 则有如下几何关系 MechanicofMaterials 2 物性关系 剪切胡克定律 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 二 圆轴扭转应力公式推导 25 T MechanicofMaterials 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 26 3 静力学方程 令 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 物理关系式 27 横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式 4 公式讨论 GIP 扭转刚度 仅适用于各向同性 线弹性材料 在小变形时的等圆截面直杆 式中 T 横截面上的扭矩 由截面法通过外力偶矩求得 该点到圆心的距离 IP 极惯性矩 纯几何量 无物理意义 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 28 单位 mm4 m4 尽管由实心圆截面杆推出 但同样适用于空心圆截面杆 只是Ip值不同 D d O 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials O d 29 应力分布 T t max 实心截面 空心截面 工程上采用空心截面构件 提高强度 节约材料 重量轻 结构轻便 应用广泛 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 30 确定最大切应力 Wt 抗扭截面系数 抗扭截面模量 几何量 单位 mm3或m3 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 31 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 例3 3图示圆轴 D 100mm m 14kN m 解 1 由求扭转切应力的公式知 3 切应力沿半径线性分布 且各点的切应力均垂直于半径 再根据切应力互等定理 可画出如图所示的纵向面oabc上切应力沿半径oa的分布规律 表面无切应力 试求 1 1 1截面上B C两点的切应力 2 画出图 b 所示的横截面及纵向截面oacb上切应力沿半径oa的分布规律 32 例3 4已知 P 7 5kW n 100r min 最大切应力不得超过40MPa 空心圆轴的内外直径之比 0 5 二轴长度相同 求 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2 确定二轴的重量之比 解 1 由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 空心轴 d2 0 5 D2 23mm 长度相同的情形下 二轴的重量之比即为横截面面积之比 2 3 33 作业 P 1013 1c 2 作业 34 应力分布 应力公式 观察变形 应变分布 3 4圆轴扭转时横截面上的应力 MechanicofMaterials 35 讨论题 2Me Me Me 36 试根据切应力互等定理 判断图中所示的各单元体上的切应力是否正确 37 3 指出图中各轴哪些产生扭转变形 4 试分析图中所示扭转切应力分布规律哪个正确 38 5 变截面轴的最大扭转切应力是否一定发生最大扭矩的截面上 为什么 6 空心圆轴 外径D 内径d 其极惯性矩IP和抗扭截面模量WP是否可按下式来计算 正确 39