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本章小结学习目标1.回顾平行四边形及各种特殊平行四边形的性质与判定,三角形的中位线及其性质,直角三角形斜边上的中线的性质.(重点)2.正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别,在反思和交流过程中,逐渐建立知识体系.(难点)3.总结本章的重要思想方法.学习过程一、合作探究阅读第十八章全章内容,回答下列问题:1.填写下表:总结平行四边形矩形菱形正方形边平行且相等平行且相等平行,相等平行,相等角相等都是直角相等都是直角互相互相互相,且每条对角线平分一组互相且,每条对角线平分一组判定1.两组对边分别;2.两组对边分别;3.一组对边且;4.两组对角分别;5.两条对角线互相.1.有角是直角的四边形;2.有角是直角的;3.相等的.1.四边的四边形;2.对角线互相的平行四边形;3.有一组邻边的平行四边形.4.每条对角线一组对角的四边形.1.有一个角是的菱形;2.对角线的菱形;3.有一组邻边的矩形;4.对角线互相的矩形;对称性只是图形既是图形,又是图形面积S=S=S=S=2.我们学习了一般的平行四边形和一些特殊的平行四边形,下图表示了在某种条件下它们之间的相互转化.请你对下图标上的5个数字序号写出相对应的条件.3.三角形的中位线及其性质是什么?4.直角三角形斜边上的中线有何性质?5.矩形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四个三角形;菱形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四三角形;正方形被其一条对角线分成两个三角形,被其两条对角线分成四个全等三角形.6.矩形有条对称轴,菱形有条对称轴,正方形有条对称轴.二、自主练习【例1】如图,E,F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,给出下列三个条件:BE=DF;AEB=DFC;AFEC.请你从中选择一个适当的条件,使四边形AECF是平行四边形,并证明你的结论.【例2】如图,点E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.【例3】如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,BD=6 cm,DHAB于H,求高DH的长.【例4】如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O是正方形ABCO的一个顶点,如果两个正方形的边长相等,那么正方形ABCO绕点O无论怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一,你能说明理由吗?(提示:寻找全等三角形)【例5】如图,ABC中,BD,CE为高,F是边BC的中点,判断DEF的形状,并说明理由.三、跟踪练习1.已知ABCD的周长为36 cm,AB=15 cm,则AD=()A.21 cmB.6 cmC.10.5 cmD.3 cm2.菱形的周长为40 cm,一条对角线长为16 cm,则其另一条对角线长()A.12 cmB.6 cmC.16 cmD.8 cm3.在ABC中,D,E分别是BC,AC边的中点,若AB=4 cm,BC=5 cm,AC=6 cm,则DE=cm.4.矩形ABCD的边AB长5 cm,对角线AC长13 cm,则矩形的周长是cm.5.如图,直线AEBD,点C在BD上,若AE=5,BD=8,ABD的面积为16,则ACE的面积是.6.已知:如图,菱形ABCD中,B=60,AB=4,求以AC为边长的正方形ACEF的周长.四、变式演练1.如图,在四边形ABCD中,点H是边BC的中点,作射线AH,在线段AH及其延长线上分别取点E,F,连接BE,CF.(1)请你添加一个条件,使得BEHCFH,你添加的条件是,并证明;(2)在问题(1)中,当BH与EH满足什么关系时,四边形BFCE是矩形?请说明理由.2.现有一张矩形纸片ABCD,如图所示,其中AB=4 cm,BC=6 cm,E是BC的中点.实际操作:将纸片沿直线AE折叠,使点B落在四边形AECD内,记为点B.(1)请用尺规在图中作出AEB(保留作图痕迹);(2)试求B,C两点之间的距离.五、达标检测(一)选择题1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的条件是()A.AC=BD,AB=CD,ABCDB.ADBC,A=CC.AO=BO=CO=DO,ACBDD.AO=CO,BO=DO,AB=BC2.如图,将一个边长分别为4,8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则折痕EF的长是()A.3B.23C.5D.253.两个全等的三角形(不等边)可拼成不同的平行四边形的个数是()A.1B.2C.3D.44.已知点A(2,0),B-12,0,C(0,1),以A,B,C三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD,小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点O,再从中点O走到正方形OCDF的中心O1,再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2,又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3,再从中心O3走到正方形O3KJP的中心O4,一共走了312m,则长方形花坛ABCD的周长是()A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m(二)填空题6.如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于.7.平行四边形两邻边长分别为20和16,若两较长边之间的距离为4,则两较短边之间的距离为.8.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,四边形A1B1C1D1是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A1B1C1D1的面积为.9.如图,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若FDE的周长为10,FCB的周长为22,则FC的长为.10.将一张长方形的纸对折,如图所示,可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕,那么对折四次可以得到条折痕,如果对折n次,可以得到条折痕.(三)解答题11.如图,直线a,b相交于点A,C,E分别是直线b,a上两点且BCa,DEb,点M,N分别是EC,DB的中点.求证:(1)DM=BM;(2)MNBD.12.已知:在平行四边形ABCD中,AEBC,垂足为E,CE=CD,点F为CE的中点,点G为CD上的一点,连接DF,EG,AG,1=2.(1)若CF=2,AE=3,求BE的长;(2)求证:CEG=12AGE.参考答案一、合作探究1.平行四边形矩形菱形正方形边对边平行且相等对边平行且相等对边平行,四边相等对边平行,四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角互相平分互相平分且相等互相垂直平分,且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角续表平行四边形矩形菱形正方形判定1.两组对边分别平行;2.两组对边分别相等;3.一组对边平行且相等;4.两组对角分别相等;5.两条对角线互相平分.1.有三个角是直角的四边形;2.有一个角是直角的平行四边形;3.对角线相等的平行四边形.1.四边相等的四边形;2.对角线互相垂直的平行四边形;3.有一组邻边相等的平行四边形;4.每条对角线互相垂直且平分一组对角的四边形.1.有一个角是直角的菱形;2.对角线相等的菱形;3.有一组邻边相等的矩形;4.对角线互相垂直的矩形.对称性只是中心对称图形既是轴对称图形,又是中心对称图形面积S=ahS=abS=12d1d2S=a22.(1)两组对边分别平行;(2)有一个角是直角;(3)有一组邻边相等;(4)有一组邻边相等;(5)有一个角是直角.3.略4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.5.略6.224.二、自主练习【例1】选(答案不唯一)证明:如图,连接AC交BD于O.AO=CO,OB=OD.又BE=DF,OB-BE=OD-DF,OE=OF.又AO=CO,四边形AECF为平行四边形.【例2】解:四边形EFGH为平行四边形.如图,连接AC,在ACD中,H,G分别为AD,CD的中点,HGAC,HG=12AC.同理:EFAC,EF=12AC.HGEF,HG=EF.四边形EFGH为平行四边形.【例3】解:四边形ABCD为菱形,AO=12AC=4 cm,OB=12BD=3 cm.ACBD,在RtAOB中,AB=AO2+BO2=32+42=5(cm).又SABD=12DHAB=12AOBD.DH=AOBDAB=465=245(cm).【例4】解:BOF+AOB=90,AOB+AOE=90.BOF=AOE.又OA=OB,OAE=OBF.AOEBOF.SAOE=SBOF.S四边形EBFO=SBOF+SOEB=SAOE+SOEB=SABO=14S正方形ABCD.【例5】解:DEF为等腰三角形.在RtBEC中,F为BC的中点,EF=12BC,同理:FD=12BC,FD=EF.DEF为等腰三角形.三、跟踪练习1.D2.A3.24.345.106.解:由菱形的性质得:AB=BC,又B=60,ABC为等边三角形.AC=AB=4.C正方形ACEF=4AC=44=16.四、变式演练1.解:(1)添加条件:BECF(答案不唯一).证明:如题图,BECF,1=2.点H是边BC的中点,BH=CH.又3=4,BEHCFH.(2)当BH=EH时,四边形BFCE是矩形,理由如下:如图,连接BF,CE,BEHCFH,BH=CH,EH=FH.四边形BFCE是平行四边形.又BH=EH,BC=EF,四边形BFCE是矩形.2.解:(1)如图所示.(2)如图,连接BB,BC,设BB与AE交于点F.因为点B,B关于直线AE对称,所以BE=BE,所以EBB=EBB.因为BE=EC,所以BE=EC,所以ECB=EBC.因为EBB+EBB+EBC+ECB=180,所以BBC=90.因为BC=6 cm,E是BC的中点,所以BE=3 cm.在RtABE中,AB=4 cm,BE=3,根据勾股定理,得AE=5 cm,所以BF=125 cm,所以BB=245 cm.在RtBBC中,根据勾股定理,得BC=62-2452=185.故B,C两点之间的距离为185cm.五、达标检测1.C2.D3.C4.C5.C6.307.58.209.610.152n-111.证明:(1)BCa,DEb,CDE=CBE=90,CBE,CDE为直角三角形,点M是EC的中点,DM=BM=12EC,DM=BM;(2)DM=BM,MDB为等腰三角形,又N为BD的中点,MN为BD边上的中线,MNBD(三线合一).12.解:(1)点F为CE的中点,CE=CD=2CF=4.又四边形ABCD为平行四边形,AB=CD=4.在RtABE中,由勾股定理,得:BE=AB2-AE2=7.(2)证明:如图,延长AG,BC交于点H.CE=CD,1=2,C=C,CEGCDF.CG=CF.点F为CE的中点,即CF=EF=12CE,又CE=CD,CG=GD=12CD.ADBC,GAD=H,ADG=GCH.ADGHCG.AG=HG.AEH=90,EG=12AH=GH.GEH=H=12AGE.
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