浙江省2019年中考数学专题复习 专题十 综合性压轴题训练.doc

专题十综合性压轴题类型一 函数中点的存在性问题 (xx山东东营中考)如图，抛物线ya(x1)(x3)(a0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC.(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的表达式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】(1)令y0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；(2)根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OCBC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC的表达式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数的表达式即可；(3)过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线表达式，表示出纵坐标，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可【自主解答】1(xx湖南衡阳中考)如图，已知直线y2x4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线经过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的表达式为y2x22x4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.求点M，N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由类型二 图形运动中的函数关系问题 如图，在ABC中，AB6 cm，AC4 cm，BC2 cm，点P以1 cm/s的速度从点B出发沿边BAAC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点(1)若CPAB时，求t的值；(2)若BCQ是直角三角形时，求t的值；(3)设CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围【分析】(1)作CHAB于H.设BHx，利用勾股定理构建方程求出x，当点P与H重合时，CPAB，此时t2；(2)分两种情形求解即可解决问题；(3)分两种情形讨论，求出QM即可解决问题【自主解答】2(xx广东中考)已知RtOAB，OAB90，ABO30，斜边OB4，将RtOAB绕点O顺时针旋转60，如图1，连结BC.(1)填空：OBC ；(2)如图1，连结AC，作OPAC，垂足为P，求OP的长度；(3)如图2，点M，N同时从点O出发，在OCB边上运动，M沿OCB路径匀速运动，N沿OBC路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？类型三 点的运动中的计算说理问题 (xx山东青岛中考)已知：如图，四边形ABCD，ABDC，CBAB，AB16 cm，BC6 cm，CD8 cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2 cm/s.点P和点Q同时出发，以QA，QP为边作平行四边形AQPE，设运动的时间为t(s)，0t5.根据题意解答下列问题：(1)用含t的代数式表示AP；(2)设四边形CPQB的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；(3)当QPBD时，求t的值；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点E在ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【分析】(1)作DHAB于H，则四边形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的长即可解决问题；(2)作PNAB于N.连结PB，根据SSPQBSBCP，计算即可；(3)当PQBD时，PQNDBA90，QPNPQN90，推出QPNDBA，推出tanQPN，由此构建方程即可解决问题；(4)存在连结BE交DH于K，作KMBD于M.当BE平分ABD时，KBHKBM，推出KHKM，BHBM8，设KHKMx，在RtDKM中，(6x)222x2，解得x，作EFAB于F，则AEFQPN，推出EFPN(102t)，AFQN(102t)2t，推出BF16(102t)2t，由KHEF，可得，由此构建方程即可解决问题；【自主解答】解决点动产生的计算说理题，关键是抓住点，由点到线段再到图形此类问题涉及计算与说理，计算时常常用到勾股定理、三角函数、面积计算等相关知识，说理时往往较综合，涉及几何图形的相关性质与判定方法等，有时需要借助函数解决3(xx浙江衢州中考)如图，RtOAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为(6，8)，直线CD交AB于点D(6，3)，交x轴于点C(12，0)(1)求直线CD的函数表达式；(2)动点P在x轴上从点(10，0)出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t.点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDAB，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值类型四 图形运动变化过程中的分类讨论问题 (xx江苏淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx4的图象与x轴和y轴分别相交于A，B两点动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒(1)当t秒时，点Q的坐标是 ；(2)在运动过程中，设正方形PQMN与AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；(3)若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OTPT的最小值【分析】(1)先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；(2)分三种情况，利用正方形的面积减去三角形的面积，利用矩形的面积减去三角形的面积，利用梯形的面积，即可得出结论；(3)先确定出点T的运动轨迹，进而找出OTPT最小时的点T的位置，即可得出结论【自主解答】图形运动中会产生不同的位置、形成不同的图形形状、对应关系也会随着图形的变化而改变，所以在解决此类问题时，要注意分类讨论，分类讨论可以根据点的位置不同、图形的形状、对应关系等为依据，但分类讨论容易遗漏，解题时要特别关注4(xx湖南衡阳中考)如图，在RtABC中，C90，ACBC4 cm，动点P从点C出发以1 cm/s的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以 cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t(s)(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP的面积为S，求S关于t的函数关系式参考答案类型一【例1】 (1)由题可知当y0时，a(x1)(x3)0，解得x11，x23，即A(1，0)，B(3，0)，OA1，OB3.OCAOBC，OCOBOAOC，OC2OAOB3，则OC.(2)C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，OCBC，点C的横坐标为.又OC，点C在x轴下方，C(，)设直线BM的表达式为ykxb，把点B(3，0)，C(，)代入得解得yx.又点C(，)在抛物线上，代入抛物线表达式得a(1)(3)，解得a，抛物线表达式为yx2x2.(3)存在，设点P坐标为(x，x2x2)，如图，过点P作PQx轴交直线BM于点Q，则Q(x，x)，PQx(x2x2)x23x3.当BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，SBCPPQ(3x)PQ(x)PQx2x，当x时，SBCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为(，)变式训练1解：(1)如图，y2x22x42(x)2，顶点M的坐标为(，)当x时，y243，则点N的坐标为(，3)不存在理由如下：MN3.设P点坐标为(m，2m4)，则D(m，2m22m4)，PD2m22m4(2m4)2m24m.PDMN，当PDMN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m24m，解得m1(舍去)，m2，此时P点坐标为(，1)PN，PNMN，平行四边形MNPD不为菱形，不存在点P，使四边形MNPD为菱形(2)存在如图，OB4，OA2，则AB2.当x1时，y2x42，则P(1，2)，PB.设抛物线的表达式为yax2bx4，把A(2，0)代入得4a2b40，解得b2a2，抛物线的表达式为yax22(a1)x4.当x1时，yax22(a1)x4a2a242a，则D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA，当时，PDBBOA，即，解得a2，此时抛物线的表达式为y2x22x4；当时，PDBBAO，即，解得a，此时抛物线的表达式为yx23x4.综上所述，满足条件的抛物线的表达式为y2x22x4或yx23x4.类型二【例2】 (1)如图1中，作CHAB于H.设BHx.CHAB，CHBCHA90，AC2AH2BC2BH2，(4)2(6x)2(2)2x2，解得x2，当点P与H重合时，CPAB，此时t2.(2)如图2中，当点Q与H重合时，BP2BQ4，此时t4.如图3中，当CPCB2时，CQPB，此时t6(42)642.(3)如图4中，当0t6时，SPQCHt4t.如图5中，当6t64时，作BGAC于G，QMAC于M.易知BGAG3，CG.MQBG，SPCQM(64t)6t.综上所述，S变式训练2解：(1)60(2)如图，OB4，ABO30，OAOB2，ABOA2，SAOCOAAB222.BOC是等边三角形，OBC60，ABCABOOBC90，AC2，OP.(3)当0x时，M在OC上运动，N在OB上运动，如图，过点N作NEOC且交OC于点E.则NEONsin 60x，SOMNOMNE1.5xx，yx2，x时，y有最大值，最大值为.当x4时，M在BC上运动，N在OB上运动如图，作MHOB于H，则BM81.5x，MHBMsin 60(81.5x)，yONMHx22x.当x时，y取最大值，y，当4x4.8时，M，N都在BC上运动，如图，作OGBC于G.MN122.5x，OGAB2，yMNOG12x，当x4时，y有最大值，最大值接近于2.综上所述，y有最大值，最大值为.类型三【例3】 (1)如图，作DHAB于H，则四边形DHBC是矩形，CDBH8，DHBC6.AHABBH8，AD10，APADDP102t.(2)如图，作PNAB于N，连结PB.在RtAPN中，PA102t，PNPAsinDAH(102t)，ANPAcosDAH(102t)，BN16AN16(102t)，SSPQBSBCP(162t)(102t)616(102t)t2t72.(3)当PQBD时，PQNDBA90.QPNPQN90，QPNDBA，tanQPN，解得t.经检验，t是分式方程的解，当t s时，PQBD.(4)存在理由如下：连结BE交DH于K，作KMBD于M.当BE平分ABD时，KBHKBM，KHKM，BHBM8，设KHKMx，在RtDKM中，(6x)222x2，解得x.如图，作EFAB于F，则AEFQPN，EFPN(102t)，AFQN(102t)2t，BF16(102t)2tKHEF，解得t.经检验，t是分式方程的解，当t s时，点E在ABD的平分线变式训练3解：(1)设直线CD的表达式为ykxb，则有解得直线CD的表达式为yx6.(2)如图1中，作DPOB，则PDAB.图1DPOB，PA，OP6，P(，0)，根据对称性可知，当APAP时，P(，0)，满足条件的点P坐标为(，0)或(，0)如图2中，当OPOB10时，作PQOB交CD于Q.图2直线OB的表达式为yx，直线PQ的表达式为yx，由解得Q(4，8)，PQ10，PQOB.PQOB，四边形OBQP是平行四边形OBOP，四边形OBQP是菱形，此时点M与P重合，满足条件，t0.如图3中，当OQOB时，设Q(m，m6)，图3则有m2(m6)2102，解得m，点Q 的横坐标为或，设点M的横坐标为a，则有或，a或.又点P从点(10，0)开始运动，满足条件的t的值为或.如图4中，当点Q与C重合时，M点的横坐标为6，此时t16，图4综上所述，满足条件的t的值为0或16或或.类型四【例4】 (1)(4，0)(2)当点Q在原点O时，AQ6，APAQ3，t331.当0t1时，如图1，令x0，图1y4，B(0，4)，OB4.A(6，0)，OA6，在RtAOB中，tanOAB，由运动知AP3t，P(63t，0)，Q(66t，0)，PQAP3t.四边形PQMN是正方形，MNOA，PNPQ3t，在RtAPD中，tanOAB，PD2t，DNt.MNOA，DCNOAB，tanDCN，CNt，SS正方形PQMNSCDN(3t)2ttt2.当1t时，如图2，同的方法得DNt，CNt，图2SS矩形OENPSCDN3t(63t)ttt218t.当t2时，如图3，SS梯形OBDP(2t4)(63t)3t212.图3(3)如图4，由运动知P(63t，0)，Q(66t，0)，图4M(66t，3t)T是正方形PQMN的对角线交点，T(6t，t)，点T是直线yx2上的一段线段，(3x6)同理，点N是直线AG：yx6上的一段线段，(0x6)，G(0，6)，OG6.A(6，0)，AB6.T是正方形PQMN的对角线的交点，TNTP，OTTPOTTN，点O，T，N在同一条直线上，且ONAG时，OTTN最小，即OTTN最小SOAGOAOGAGON，ON3，即OTPT的最小值为3.变式训练4解：(1)如图，连结BP.在RtACB中，ACBC4，C90，AB4.点B在线段PQ的垂直平分线上，BPBQ.AQt，CPt，BQ4t，PB242t2，(4t)216t2，解得t84或84(舍去)，t(84)s时，点B在线段PQ的垂直平分线上(2)如图，当PQQA时，易知APQ是等腰直角三角形，AQP90，则有PAAQ，4tt，解得t.如图，当APPQ时，易知APQ是等腰直角三角形，APQ90，则有AQAP，t(4t)，解得t2.综上所述，t s或2 s时，APQ是以PQ为腰的等腰三角形(3)如图，连结QC，作QEAC于E，作QFBC于F.则QEAE，QFEC，可得QEQFAEECAC4，SSQNCSPCQCNQFPCQEt(QEQF)2t(0t4)