河北省邢台市桥东区八年级数学上册 16 轴对称和中心对称小结与复习（新版）冀教版.doc

第十六章 小结与复习【知识梳理】对称形式有多种，而我们现在学习的轴对称和中心对称就是其中的两种主要形式。自然界中存在着许多轴对称和中心对称，花草树木、飞禽走兽的形体，人体等，都具有对称美，轴对称给人以匀称、均衡的感受。让我们真正认识轴对称和中心对称，运用所学知识来为大自然添光加彩吧.一.有关概念1.轴对称和轴对称图形把一个图形沿某条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴.如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.从定义上看出，轴对称是指两个图形之间的关系，在轴对称中，只有一条对称轴；而轴对称图形是指一个图形，反映的是这个图形自身的对称性，它至少有一条对称轴。如线段、角、等边三角形等都是轴对称图形。角有一条对称轴，线段有两条对称轴，等边三角形有三条对称轴.它们的共同特点是沿对称轴对折时，对称轴两侧的部分能完全重合.2.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这点成中心对称，该点叫做对称中心.3中心对称与中心对称图形区别：(1)中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指一个具有某种性质的图形；(2)成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上.联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形.二.有关性质1.轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分;（2）关于某直线对称的两个图形是全等的;（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。2.线段垂直平分线的性质.一条直线，如果它垂直于线段AB，又平分线段AB，则称这条直线为这条线段的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.用数学语言表示为（如图1），因为点C在线段AB的垂直平分线上，所以CA=CB图2OAPBDC该性质是用来说明两条线段相等的.ABC图13.角平分线的性质性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.用数学语言表示为（如图2）因为P在AOB的平分线上，PCOA，PDOB，所以PC=PD该性质是用来说明两条线段相等的4中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在一条直线上)且相等三、需要注意的几个问题1、深刻认识轴对称和轴对称图形的区别和联系2、轴对称的两个图形一定是全等的，而全等的两个图形不一定都成轴对称3、在运用角平分线的性质时（如图2），前提条件必须满足OP是AOB的平分线，且PCOA，PDOB，才能推出PC=PD，而当PC、PD不与角的两边垂直时，则PC与PD不一定相等【反馈拓展】例1如图，DEFG为矩形的台球桌面，现有球A、B位置如图，按下列要求，画出击打后球的线路 （1）击打球A，使它碰撞台边DG后再击中球B； （2）击打球A，使它碰撞台边DG，再碰撞台边DE后击中球B； （3）击打球A，使它碰撞台边GF，再碰撞台边DE后击中球B； （4）击打球A，使它碰撞台边GF，再碰撞台边DG，然后再碰撞台边DE后击中球B 解：（1）（2）（3）（4）说明：各图中的蓝线为球的线路，作法以（4）为例，作A关于GF的对称点A，再作A关于DG的对称点A，作点B关于DE的对称点B，连结线段A B，得到与DG的交点M、与DE的交点N，作线段MA，得与GF的交点P，连结AP、PM、MN、NB，就得到击球的线路 例2.如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D、C的位置上，DE与BC相交于点G，若CFC=110，求AEG和FGD的度数P分析：折纸问题是一种轴对称问题，折痕是对称轴，本题可利用轴对称性质（2）解决问题。解：依题意知EF是DEFC、DEFC的对称轴由轴对称性质（2）知DC、DC的延长线的交点在EF上，设为P，如图4，所以PFC=PFC=55BCAD，DEF=CFP=55又DEF=DEF DEF=55AEG=180DEFDEF=1805555=70FGD=GEF+GFE=GEF+DEF=55+55=110点评：为考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近年来中考题中常出现折叠问题。折纸的问题是一种轴对称的问题，这类问题中折痕所在的直线就是对称轴，处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可以利用