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课时训练(二十) 直角三角形与勾股定理|夯实基础|1.若ABC的三边a,b,c满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.如图20-7,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AC的长为0.5 km,BC的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为()图20-7A.0.5 kmB.0.65 kmC.0.9 kmD.1.2 km3.如图20-8,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长是()图20-8A.6B.5C.4D.34.xx青岛 如图20-9,已知三角形纸片ABC,AB=AC,BAC=90,E为AB的中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是()图20-9A.322B.32C.3D.335.xx泸州 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图20-10所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为()图20-10A.9B.6C.4D.36.xx黄石 如图20-11,在ABC中,E为BC边的中点,CDAB,AB=2,AC=1,DE=32,则CDE+ACD等于()图20-11A.60B.75C.90D.1057.xx大连 如图20-12,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为()图20-12A.2aB.22aC.3aD.433a8.xx包头 如图20-13,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()图20-13A.32B.43C.53D.859.如图20-14,将RtABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到RtADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=3,B=60,则CD的长为()图20-14A.0.5B.1.5C.2D.110.xx安顺 三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于.11.已知直角三角形的两条直角边长为6,8,那么斜边上的中线长是,斜边上的高是.12.在ABC中,C=90,B=30,AB=12,AC=6,则BC=.13.如图20-15,在ABC中,CDAB于点D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于.图20-1514.如图20-16,已知RtABE中,A=90,B=60,BE=10,D是线段AE上的一动点,过点D作CD交BE于点C,并使得CDE=30,则CD长度的取值范围是.图20-1615.xx徐州 如图20-17,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,如此下去,则线段OAn的长度为.图20-1716.xx包头 如图20-18,在RtACB中,ACB=90,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:图20-18ACEBCD;若BCD=25,则AED=65;DE2=2FCAC;若AB=32,AD=2BD,则AF=53.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)17.xx柳州 如图20-19,在ABC中,D为AC边的中点,且DBBC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)在ABC中,求BC边上的高.图20-1918.xx徐州 如图20-20,已知ACBC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长.图20-20|拓展提升|19.如果将长为6 cm,宽为5 cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是()A.8 cmB.52 cmC.5.5 cmD.1 cm20.xx淄博 如图20-21,在RtABC中,ABC=90,AB=6,BC=8,BAC,ACB的平分线相交于点E,过点E作EFBC交AC于点F,则EF的长为()图20-21A.52B.83C.103D.15421.xx青山区一模 如图20-22,ABC绕点A顺时针旋转45得到ABC.若BAC=90,AB=AC=2,则图中阴影部分的面积等于.图20-2222.xx青山区二模 如图20-23,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=2+1,M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B始终落在边AC上,若MBC为直角三角形,则BM的长为.图20-2323.如图20-24,在ABC中,C=90,AC=BC,D是AB边的中点,E,F分别是AC,BC边上的点,且DEDF.(1)求证:DE=DF;(2)若AE=12,BF=5,求SDEF.图20-24参考答案1.B2.B3.D解析 本题考查了直角三角形中勾股定理的应用及垂直平分线的性质,先求BC=6,再得到DEBC,且DE等于BC的一半,即126=3.故选D.4.B5.D6.C解析 因为E为BC边的中点,CDAB,DE=32,所以BE=CE=DE=32,即CDE=DCE,BC=3.在ABC中,AC2+BC2=1+(3)2=4=AB2,故CDE+ACD=DCE+ACD=90.故选C.7.B解析 因为CDAB,CD=DE=a,所以CE=CD2+DE2=a2+a2=2a,又ABC中,ACB=90,点E是AB的中点,所以AE=BE=CE,所以AB=2CE=22a.故选B.8.A解析 在RtABC中,AC=3,AB=5,由勾股定理得BC=4.AF平分CAB,CAF=BAF.ACB=90,CDAB,CAF+CFA=90,BAF+AED=90,CFA=AED,又AED=CEF,CFA=CEF,CE=CF.过点F作FGAB于点G,由AF平分CAB,ACB=90,得CF=FG.SABC=12ACBC=6,SABC=SACF+SABF=12ACCF+12ABFG=12(3+5)CF=4CF,4CF=6,CF=32,CE=32.9.D10.2.5解析 根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.32+42=25=52,该三角形是直角三角形,125=2.5.11.54.812.6313.8解析 在ABC中,CDAB于点D,E是AC的中点,DE=5,DE=12AC=5,AC=10.在RtACD中,ADC=90,AD=6,AC=10,根据勾股定理,得CD=AC2-AD2=102-62=8.14.0CD5解析 根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半可知,当点D运动至A点时,CD最长,即为5.15.(2)n解析 在RtA1OB中,OA1=OBsin45=2,OA2=OA1sin45=222=(2)2,OAn=(2)n.16.解析 由题意易得BCD=ACE,由“边角边”证明ACEBCD,故正确;ACEBCD,CAE=CBD=45.BCD=25,ACE=BCD=25,AED=AEC-CED=(180-25-45)-45=65,故正确;CAE=CED=45,ACE=ACE,ACEECF,ACEC=ECFC,即EC2=ACFC,在RtDCE中,DE2=2EC2=2FCAC,故正确;过点D作DMBC于点M,AB=32,AD=2BD,BD=2,AC=BC=3,DM=BM=1,CM=3-1=2,DC=CE=5,由可知DE2=2FCAC,(2CE)2=2FCAC,(25)2=23FC,FC=53,AF=3-53=43,故错误.17.解:(1)DBBC,BC=4,CD=5,DB=52-42=3.(2)如图,过点A作AECB,交CB的延长线于点E.DBBC,AEBC,AEDB.D为AC边的中点,BD=12AE,AE=6,即BC边上的高为6.18.解:(1)4(2)AC=AD,CAD=60,CAD是等边三角形,CD=AC=4,ACD=60.过点D作DEBC于点E.ACBC,ACD=60,BCD=30.在RtCDE中,CD=4,BCD=30,DE=12CD=2,CE=23,BE=3,在RtDEB中,由勾股定理得DB=7.19.A20.C解析 如图,过点E作EMAB,ENBC,EHAC,垂足分别为M,N,H,由题意,易得RtABC的内切圆半径为2,所以EM=EH=2.又易证四边形EMBN为正方形,所以BN=2,得到CN=CH=6.设EF=x,由CE平分ACB,EFBC,得到CEF为等腰三角形,故EF=FC=x,所以HF=6-x.在RtEFH中,由勾股定理,得EH2+HF2=EF2,22+(6-x)2=x2,解得x=103.21.2-122.2+12或123.解:(1)证明:连接CD.ACB=90,AC=BC,A=B=45.D是AB边的中点,CDAB,ACD=BCD=45,CD=AD=BD,ACD=B.EDF=90,EDC+FDC=90.FDB+FDC=BDC=90,EDC=FDB,EDCFDB(ASA),DE=DF.(2)由(1)中EDCFDB可得DE=DF,CE=BF=5.由(1)知AD=CD.又ADE+EDC=90,EDC+CDF=90,ADE=CDF,AEDCFD,CF=AE=12,EF=13,DE=DF=1322,SDEF=12DEDF=1694.
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