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考点强化练23与圆有关的位置关系夯实基础1.(xx山东泰安)如图,M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是M上的任意一点,PAPB,且PA、PB与x轴分别交于A、B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案C解析PAPB,APB=90.AO=BO,AB=2PO.若要使AB取得最小值,则PO需取得最小值,连接OM,交M于点P,当点P位于P位置时,OP取得最小值.过点M作MQx轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,OM=5.MP=2,OP=3,AB=2OP=6,故选C.2.(xx蒙城模拟)如图,已知平面直角坐标系内三点A(3,0)、B(5,0)、C(0,4),P经过点A、B、C,则点P的坐标为()A.(6,8)B.(4,5)C.4,318D.4,338答案C解析P经过点A、B、C,点P在线段AB的垂直平分线上,点P的横坐标为4,设点P的坐标为(4,y),作PEOB于E,PFOC于F,由题意得,42+(y-4)2=12+y2,解得y=318,故选C.3.(xx四川自贡)如图,若ABC内接于半径为R的O,且A=60,连接OB、OC,则边BC的长为()A.2RB.32RC.22RD.3R答案D解析延长BO交O于D,连接CD,则BCD=90,D=A=60,CBD=30.BD=2R,DC=R,BC=3R,故选D.4.(xx江苏无锡)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的O与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法:(1)AC与BD的交点是O的圆心;(2)AF与DE的交点是O的圆心;(3)BC与O相切.其中正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C解析矩形ABCD中,A=D=90,AF与DE都是O的直径,AC与BD不是O的直径,AF与DE的交点是O的圆心,AC与BD的交点不是O的圆心,(1)错误,(2)正确.连接AF、OG,则点O为AF的中点,G是BC的中点,OG是梯形FABC的中位线,OGAB.ABBC,OGBC,BC与O相切.(3)正确.综上所述,正确结论有两个.5.(xx浙江湖州)如图,已知ABC的内切圆O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若ABC=40,则BOD的度数是.答案70解析O内切于ABC,OB平分ABC.ABC=40,OBD=20.BOD=70.6.(xx浙江衢州)如图,在直角坐标系中,A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线y=-34x+3上动点,过点P作A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是.答案22解析作切线PQ,连接PA,AQ.有PQ=PA2-AQ2,又AQ=1,故当AP有最小值时PQ最小.过A作APMN,则有AP最小=3,此时PQ最小=32-12=22.7.(xx湖南常德)如图,已知AB是O的直径,CD与O相切于C,BECO.(1)求证:BC是ABE的平分线;(2)若DC=8,O的半径OA=6,求CE的长.(1)证明OC=OB,OCB=OBC.BECO,OCB=EBC.OBC=EBC.BC是ABE的平分线.(2)解CD与O相切于C,DCO为直角三角形.DC=8,O的半径OC=OA=6,DO=10.BECO,BD和DE相交于点D,DOOB=DCCE,CE=4.8.8.(xx甘肃白银)如图,在ABC中,ABC=90.(1)作ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作O(要求:不写作法,保留作图痕迹).(2)判断(1)中AC与O的位置关系,直接写出结果.解(1)如图,O为所求作的圆,OC为所求作的ACB的平分线.(2)AC为O的切线.9.(xx山东滨州)如图,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB.求证:(1)直线DC是O的切线;(2)AC2=2ADAO.证明(1)连接OC,AC平分DAB,所以DAC=OAC.由题意可知OA=OC,OAC=OCA.DAC=OCA,OCAD.ADCD,ADC=90.ADC=OCD=90,直线DC是O的切线.(2)连接BC,因为AB是O的直径,所以ACB=90,所以ACB=ADC=90,DAC=BAC,所以ADCACB,所以ACAD=ABAC,所以AC2=ADAB,所以AC2=2ADAO.提升能力10.(xx江苏泰州)如图,ABC中,ACB=90,sin A=513,AC=12,将ABC绕点C顺时针旋转90得到ABC,P为线段AB上的动点,以点P为圆心、PA长为半径作P,当P与ABC的边相切时,P的半径为.导学号16734133答案15625或10213解析设P的半径为r,ACB=90,BCAB=sinA=513,BC2+AC2=AB2.AC=12,BC=5,AB=13.由旋转得ACB=ACB=90,A=A,AC=AC=12,BC=BC=5,AB=AB=13,ACB=180,A、C、B三点共线,点P到直线BC的距离小于半径PA,P与直线BC始终相交,如图1,过点P作PDAC于点D,则BDP=BCA=90.图1DBP=CBA,BDPBCA,PDAC=PBAB.PD12=13-r13.PD=12(13-r)13=12-1213r.当P与AC边相切时,PD=PA,12-1213r=r,r=15625.如图2,延长AB交AB于点E,图2A+B=90,A=A,A+B=90,AEB=90,同上得AE=1213AB=20413.当P与AB边相切时,AE=2PA,r=10213.综上所述,P的半径为15625或10213.11.(xx江苏无锡)如图,AOB中,O=90,AO=8 cm,BO=6 cm,点C从A点出发,在边AO上以2 cm/s的速度向O点运动,与此同时,点D从点B出发,在边BO上以1.5 cm/s的速度向O点运动,过OC的中点E作CD的垂线EF,则当点C运动了 s时,以C点为圆心,1.5 cm为半径的圆与直线EF相切.答案178解析当以点C为圆心,1.5cm为半径的圆与直线EF相切时,此时,CF=1.5,AC=2t,BD=32t,OC=8-2t,OD=6-32t,点E是OC的中点,CE=12OC=4-t,EFC=O=90,FCE=DCO,EFCDOC,EFOD=CFOC.EF=3OD2OC=36-32t2(8-2t)=98.由勾股定理可知CE2=CF2+EF2,(4-t)2=322+982,解得t=178或t=478,0t4,t=178.12.(xx四川绵阳)如图,AB是O的直径,点D在O上(点D不与A,B重合).直线AD交过点B的切线于点C,过点D作O的切线DE交BC于点E.(1)求证:BE=CE;(2)若DEAB,求sinACO的值.(1)证明连接OD,如图,EB,ED为O的切线,EB=ED,ODDE,ABCB,ADO+CDE=90,A+ACB=90.OA=OD,A=ADO.CDE=ACB.EC=ED.BE=CE.(2)解作OHAD于H,如图,设O的半径为r,DEAB,DOB=DEB=90.四边形OBED为矩形,而OB=OD,四边形OBED为正方形,DE=CE=r.易得AOD和CDE都为等腰直角三角形,OH=DH=22r,CD=2r.在RtOCB中,OC=(2r)2+r2=5r,在RtOCH中,sinOCH=OHOC=22r5r=1010,即sinACO的值为1010.创新拓展13.如图,四边形ABCD内接于O,对角线AC为O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求CDE的度数;(2)求证:DF是O的切线;(3)若AC=25DE,求tanABD的值.(1)解对角线AC为O的直径,ADC=90,CDE=90.(2)证明如图,连接DO,EDC=90,F是EC的中点,DF=FC,FDC=FCD,OD=OC,OCD=ODC,OCF=90,ODF=ODC+FDC=OCD+DCF=90,又点D在O上,DF是O的切线.(3)解由题意可得ABD=ACD,E+DCE=90,DCA+DCE=90,DCA=E,又ADC=CDE=90,CDEADC,DCAD=DEDC,DC2=ADDE,AC=25DE,设DE=x,则AC=25x,则AC2-AD2=ADDE,即(25x)2-AD2=ADx,整理得AD2+ADx-20x2=0,解得AD=4x或-5x(负数舍去),则DC=(25x)2-(4x)2=2x,故tanABD=tanACD=ADDC=4x2x=2.导学号16734134
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