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24.2.2直线与圆的位置关系（3）一、夯实基础1.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是()A.9B.10C.12D.142.如图,PA,PB为O的切线,A,B分别为切点,APB=60,点P到圆心O的距离OP=2,则O的半径为()A.12B.1C.32D.23.如图,从O外一点P引圆的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,如果APB=60,线段PA=10,那么弦AB的长是()A.10B.12C.53D.1034.如图,AC是O的直径,ACB=60,连接AB,过A,B两点分别作O的切线,两切线交于点P.若已知O的半径为1,则PAB的周长为.5.如图,PA,PB分别切O于A,B,并与O的切线,分别相交于D,C,已知PA=7cm,则PCD的周长等于.6.如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,以AD为直径的O切BC于E,连接OB,OC,试探究OB与OC有何位置关系?7.三角形的内切圆及内心1.下列说法中,不正确的是()A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等8.如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为()A.2B.3C.3D.239.如图,在ABC中,点P是ABC的内心,则PBC+PCA+PAB=.10.如图,I是ABC的内切圆,切点分别为点D,E,F,若DEF=52,则A=.二、能力提升11.如图,已知O是ABC的内切圆,切点为D,E,F,如果AE=2,CD=1,BF=3,求内切圆的半径r.【解析】O是ABC的内切圆,切点为D,E,F,AF=AE,EC=CD,DB=BF,AE=2,CD=1,BF=3,AF=2,EC=1,BD=3,AB=BF+AF=5,BC=BD+DC=4,AC=AE+EC=3,ABC是直角三角形且C=90,12(AB+BC+AC)r=12ACBC,即6r=6,r=1.【错在哪？】作业错例 课堂实拍如图,ABC中,A=45,I是内心,则BIC=.(1)错因:.(2)纠错:.12.(xx锦州中考)有如下四个命题:(1)三角形有且只有一个内切圆.(2)四边形的内角和与外角和相等.(3)顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形.(4)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.其中真命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图,已知ABC的内切圆O与各边相切于点D,E,F,则点O是DEF的()A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点14.如图,O是ABC的内心,过点O作EFAB,与AC,BC分别交于点E,F,则()A.EFAE+BFB.EFAE+BFC.EF=AE+BFD.EFAE+BF15.如图,PA,PB分别切O于A,B两点,C为劣弧AB上一点,APB=30,则ACB=.三、课外拓展16.如图,O与四边形各边均相切,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为.17.如图,小敏家厨房一墙角处有一自来水管,装修时为了美观,准备用木板从AB处将水管密封起来,互相垂直的两墙面与水管分别相切于D,E两点,经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根(单位:cm),则该自来水管的半径为cm(ADBE).18.如图,ABC中,E是内心,BAC的平分线和ABC的外接圆相交于点D.求证:DE=DB.19.如图,已知AB是O的直径,DC是O的切线,点C是切点,ADDC,垂足为D,且与圆O相交于点E. (1)求证:DAC=BAC.(2)若O的直径为5cm,EC=3cm,求AC的长.20.如图,在ABC中,已知ABC=90,在AB上取一点E,以BE为直径的O恰与AC相切于点D,若AE=2,AD=4. (1)求O的直径BE的长.(2)计算ABC的面积.四、中考链接1. （xx四川攀枝花）如图，ABC中，C=90，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的O和AB、BC均相切，则O的半径为2（xx山东省菏泽市3分）如图，直角ABC内接于O，点D是直角ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作ECP=AED，CP交DE的延长线于点P，连结PO交O于点F（1）求证：PC是O的切线；（2）若PC=3，PF=1，求AB的长答案1.【解析】选D.根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以梯形的周长是52+4=14.2.【解析】选B.连接OA,PA为O的切线,PAOA,APO=12APB=30,OA=212=1,O的半径为1.3.【解析】选A.PA,PB都是O的切线,PA=PB,APB=60,PAB是等边三角形,AB=PA=10.4.【解析】AC是O的直径,ABC=90,BAC=30,CB=1,AB=3.AP为切线,CAP=90,PAB=60.又AP=BP,PAB为正三角形,周长为33.答案:335.【解析】设DC与O的切点为E,PA,PB分别是O的切线,且切点为A,B,PA=PB=7cm;同理,可得:DE=DA,CE=CB;则PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm,故PCD的周长是14cm.答案:14cm6.【解析】AD为O的直径,四边形ABCD为直角梯形,AB,CD为O的切线.O与BC相切,ABO=CBO,DCO=BCO.ABCD,ABC+BCD=180.OBE+OCE=90.BOC=90,所以OBOC.7.【解析】选C.A,B,D都正确,经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线,垂直于半径的直线不一定是圆的切线.8.【解析】选D.因为圆内切于正三角形,如图,连接AO及OD,可知AD=CD,根据半径是1,可知AO=2,根据勾股定理,得AD=3,所以AC=23.9.【解析】点P是ABC的内心,PB平分ABC,PA平分BAC,PC平分ACB,PBC+PCA+PAB=90.答案:9010.【解析】连接ID,IF,I是ABC的内切圆,IDAB,IFAC.又I中,DIF=2DEF=104,四边形DIFA中,IDA=IFA=90,A=180-DIF=76.答案:7611.【解析】(1) I是内心，不是外心，要理解内心和外心的区别.(2)A=45,ABC +ACB=180-45=135,I是ABC的内心,IBC=ABC，ICB=ACB，IBC+ICB=(ABC+ACB)=67.5，BIC=180-67.5=112.5.答案：112.512.【解析】选C.三角形有且只有一个内切圆,(1)是真命题;四边形的内角和与外角和都是360,(2)是真命题;顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形,不一定是菱形,(3)是假命题;由一组对边平行且一组对角相等可证得两组对边分别平行,所以四边形是平行四边形,(4)是真命题.真命题的个数有3个.13.【解析】选D.ABC的内切圆O与各边相切于D,E,F,OE=OF=OD,则可知点O是DE,DF,EF垂直平分线上的点,点O是DEF的三边垂直平分线的交点.14.【解析】选C.如图,连接OA,OB,则OA,OB分别是CAB与CBA的平分线,则EAO=OAB,又EFAB,则EOA=OAB=EAO,则EA=EO,同理FO=FB,EF=AE+FB.15.【解析】如图,连接AO,OB,PA,PB分别切O于A,B两点,PAO=PBO=90,AOB=180-P=150,设点E是优弧AB上一点,由圆周角定理知,E=75,由圆内接四边形的对角互补知,ACB=180-E=105.答案:10516.【解析】如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和O分别相切于点L,M,N,P.由切线长定理,得AL=AP,BL=BM,CN=CM,DN=PD,因此四边形ABCD的周长为AL+AP+BL+BM+CM+CN+DN+DP,可化简为2AB+2CD=2(16+10)=52.答案:5217.【解析】设圆心为O,连接OD,OE,x2-25x+150=0,(x-10)(x-15)=0,解得:x1=10,x2=15,ADBE,AD=10,BE=15,设半径为r,又AB=AD+BE=25,(AD+r)2+(BE+r)2=AB2,(10+r)2+(15+r)2=252,解得r=5.答案:518.【证明】连接EB,DB.E是ABC的内心,EBC=ABE,BAD=CAD.CAD=CBD,BAD=CBD.又BED=BAD+ABE,DBE=EBC+CBD,BED=DBE,DE=DB.19.【解析】(1)连接OC,DC切O于C,OCDC,ADDC,ADOC,DAC=OCA,OA=OC,BAC=OCA,DAC=BAC.(2)DAC=BAC,EC=BC=3,AB是直径,ACB=90.由勾股定理得,AC=52-32=4,答:AC的长是4cm.20.【解析】(1)连接OD,ODAC,ODA是直角三角形,设O半径为r,AO=r+2,(r+2)2r2=16,解得:r=3,BE=6.(2)ABC=90,OBBC,BC是O的切线.CD切O于D,CB=CD,令CB=x,AC=x+4,AB=8.x2+82=(x+4)2,x=6,SABC=1286=24.四、中考链接1.解：过点0作OEAB于点E，OFBC于点FAB、BC是O的切线，点E、F是切点，OE、OF是O的半径；OE=OF；在ABC中，C=90，AC=3，AB=5，由勾股定理，得BC=4；又D是BC边的中点，SABD=SACD，又SABD=SABO+SBOD，ABOE+BDOF=CDAC，即5OE+20E=23，解得OE=，O的半径是故答案为：2.解：（1）如图，连接OC，PDAB，ADE=90，ECP=AED，又EAD=ACO，PCO=ECP+ACO=AED+EAD=90，PCOC，PC是O切线（2）延长PO交圆于G点，PFPG=PC2，PC=3，PF=1，PG=9，FG=91=8，AB=FG=8
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