广义线性模型ppt课件

第8章广义线性模型 1 回归分析中假定随机扰动服从这样的一些正态分布 其方差取常值 而均值则为附属数据的线性函数 很多精算问题可以利用特殊的广义线性模型来处理 如方差分析 泊松回归以及Logistic对数 logit 与概率 Probit 模型等的几类 2 精算数据与模型 实践中采集的数据往往显示方差要大于均值 用于描述索赔额的分布通常具有厚重的右尾 有待建模的现象极少关于附属数据是可加的 一般往往可用乘法模型 3 广义线性模型 它允许偏离均值的随机误差服从不是正态分布 如 随机误差可服从指数散布族中的任一种分布 包含了泊松分布 负 二项分布 伽玛分布与逆高斯分布等 并不要求随机变量的均值是解释变量的线性函数 但进行某些变换后它仍是是线性的 譬如 当对数时 我们可以用乘法模型替代了加法模型 4 广义线性模型具有以下三个特征 5 伽玛随机变量 逆高斯随机变量 上面所列的分布的均值 6 7 注8 2 1 典则联结 注8 2 2 方差函数 以下依方差函数中的幂次的升幂序 分别表述之 8 9 8 3若干传统的估计方法与广义线性模型 10 不妨先假定 11 12 13 逐项置换法 14 15 首先可将 8 4 中的第一组方程改写为 16 因此 17 方法8 3 8 边缘总和法 在一个 良好 的收费系统内 对于一个拥有众多被保险人的组合来说 保费总额相等于观测到的损失总额 18 19 20 若将下述关系式代入上式 21 方法8 3 10 最小二乘法 关于正态的极大似然法 22 23 24 25 8 4偏差与比例偏差 26 27 显然 对全模型而言 借助逐项最大化 8 20 即知 对每一皆有如以表示偏差便得 这表明 对正态分布而言 最小化偏差 或等价地最大化似然函数 是和确定参数的最小二乘法等效的 28 29 此时 对全模型仍可得这是因为 30 不难验证 此例中的偏差由下式给出 自然 上式中必须取正值 31 32 指数散布族 定义8 6 1 指数散布族 指数散布族密度具有以下形式 8 6广义线性模型 33 34 35 例8 6 2 指数散布族的若干成员 下述参数族是指数散布族中最重要的一些成员 36 37 最后一种参数化称为是自然或典则参数化 38 39 40 41 42 43 44 45 46 证明 由 8 33 我们有 47 48 其中 这恰和通常的泊松分布的密度表达式是一致的 49 50 51 52 53 推论8 6 9 指数散布族与Esscher变换 一个连续密度的以h为参数的Esscher变换是下述密度 54 显然 它仍是一个具有参数和相同的指数散布族成员的累积量数 55 注8 6 10 指数散布族中特定子类的生成 不难验证 以h任况为参数的Esscher变换完成下述分布间的转换 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65