弹性力学ppt课件

第一章绪论 1 1弹性力学的内容 1 2弹性力学的几个基本概念 1 3弹性力学的基本假定 1 1 1弹性力学的内容 1 弹性体力学 简称弹性力学 有称弹性理论 TheoryofElasticity 研究弹性体由于受外力 边界约束或温度改变等原因而发生的应力 形变和位移 研究对象 弹性体 研究目标 变形等效应 即应力 形变和位移 2 对弹性力学 材料力学和结构力学作比较 弹性力学的任务和材料力学 结构力学的任务一样 是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移 校核它们是否具有所需的强度和刚度 并寻求或改进它们的计算方法 2 1 研究对象 材料力学主要研究杆件在拉压 剪切 弯曲 扭转作用下的应力 形变和位移 结构力学研究杆系结构 如桁架 钢架或两者混合的构架等 弹性力学研究各种形状的弹性体 除杆件外 对杆件进行进一步的 较精确的分析 还研究平面体 空间体 板和壳等 2 研究方法 弹性力学与材料力学有相似 又有一定区别 3 弹性力学 在弹性体区域内必须严格考虑静力学 几何学和物理学三方面条件 在边界上严格考虑受力条件或约束条件 由此建立微分方程和边界条件进行求解 得出精确解答 材料力学 虽然也考虑这几个方面的的条件 但不是十分严格 一般地说 由于材料力学建立的是近似理论 因此得出的是近似的解答 但对于细长的杆件结构而言 材料力学力解答的精度是足够的 符合工程的要求 4 弹性力学 梁的深度并不远小于梁的跨度 而是同等大小的 那么 横截面的正应力并不按直线分布 而是按曲线变化的 例如 材料力学 研究直梁在横向载荷作用下的平面弯曲 引用了平面假设 结果 横截面上的正应力按直线分布 这时 材料力学中给出的最大正应力将具有很大的误差 5 结构力学 研究杆系结构 弹性力学通常并不研究杆件系统 但在20世纪50年代中叶发展起来的有限单元法中 基于弹性力学的理论 把连续体划分成有限大小的单元构件 然后用结构力学里的位移法 力法或混合法求解 更加显示了弹性力学与结构力学结合综和应用的良好效果 弹性力学在土木 水利 机械 航空等工程学科中占有重要的地位 许多非杆件形状的结构必须用弹性力学方法进行分析 例如 大坝 桥梁等 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2弹性力学中的几个基本概念 弹性力学的基本概念 外力 应力 形变和位移 1 外力 体积力和表面力 简称体力和面力 体力 分布在物体体积内的力 例如重力和惯性力 f 极限矢量 即物体在P点所受体力的集度 方向就是 F的极限方向 fx fy fz 体力分量 沿坐标正方向为正 沿坐标负方向为负 量纲 N m3 kg m s2 m3 kg m2 s2即 L 2MT 2 15 面力 分布在物体表面的力 例如流体压力和接触力 量纲 N m2 kg m s2 m2 kg m s2即 L 1MT 2 沿坐标正方向为正 沿坐标负方向为负 符号规定 16 内力 发生在物体内部的力 即物体本身不同部分之间相互作用的力 2 应力 单位截面面积的内力 p 极限矢量 即物体在截面mn上的 在P点的应力 方向就是 F的极限方向 量纲 N m2 kg m s2 m2 kg m s2即 L 1MT 2 应力分量 17 PA x PB y PC z x y z xy xz yx yz zx zy 正面 截面上的外法线沿坐标轴的正方向 正面上的应力以沿坐标轴的正方向为正 沿坐标轴的负方向为负 负面 截面上的外法线沿坐标轴的负方向 负面上的应力以沿坐标轴的负方向为正 沿坐标轴的正方向为负 正应力符号规定与材力同 切应力与材力不相同 符号规定 不考虑位置 把应力当作均匀应力 18 连接前后两面中心的直线ab作为矩轴 列出力矩平衡方程 得 得 同理可得 切应力互等定理 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面角线的切应力是互等的 大小相等 正符号也相同 19 可以证明 已知 x y z yz zx xy 就可求得该点任意截面上的 因此 此六个应力分量可以完全确定该点的应力状态 20 用各部分的长度和角度来表示 PA x PB y PC z 线应变 单位长度的伸缩或相对伸缩 亦称正应变 用 表示 切应变 各线段之间的直角的改变 用 表示 3 形变 就是形状的改变 21 x x方向的线段PA的线应变 xy y与x两方向的线段PB与PC之间的直角的改变 伸长为正 缩短为负 量纲 1 符号规定 直角变小为正 变大为负 可以证明 已知 x y z yz zx xy 就可求得经过该点任一线段上的线应变 也可以求得经过该点任意两个线段之间的角度的改变 因此 此六个形变分量可以完全确定该点的形变状态 22 4 位移 就是位置的移动 任意一点的位移用它在x y z三轴上的投影u v w来表示 量纲 L 符号规定 沿坐标轴正方向为正 沿坐标轴负方向为负 一般而论 弹性体内任意一点的体力分量 面力分量 应力分量 形变分量和位移分量都随该点的位置而变 因而都是位置坐标的函数 23 1 3弹性力学中的基本假设 在弹性力学的问题里 通常是已知物体的边界 形状和大小 物体的弹性常数 物体所受的体力 物体边界上的约束情况或面力 而应力分量 形变分量和位移分量则是需要求解的未知量 一 研究方法1 考虑静力学 几何学和物理学三方面条件 分别建立三套方程 建立微分方程 根据微分体的平衡条件 建立几何方程 根据微分线段上形变与位移之间的几何关系 建立物理方程 根据应力与形变之间的物理关系 24 2 在弹性体的边界上 建立边界条件 应力边界条件 在给定面力的边界上 根据边界上的微分体的平衡条件 位移边界条件 在给定的约束边界上 根据边界上的约束条件 求解弹性力学问题 即在边界条件下根据平衡微分方程 几何方程 物理方程求解应力分量 形变分量和位移分量 25 为使问题求解成为可能 通常必须按照所研究的物体性质 以及求解问题的范围 略去一些影响很小的次要因素 作出若干基本假定 二 弹性力学的基本假定 3 均匀性 假定物体是均匀的 1 连续性 假定物体是连续的 4 各向同性 假定物体是各向同性的 符合以上四个假定的物体 就成为理想弹性体 2 完全弹性 假定物体是完全弹性的 形变与引起变的应力成正比 即两者成线性关系 26 5 小变形假定 假定位移和形变是微小的 它包含两个含义 假定应变分量 1 例如 普通梁中的正应变 10 3 1 切应变 1 假定物体的位移 物体尺寸 例如 梁中挠度 梁的高度 这样 在建立平衡微分方程时 可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 从而使方程大为简化 在建立几何方程时 由于 1 可以在同一方程中只保留形变成分的一次幂 而略去二次幂及更高次幂 从而使几何方程成为线性方程 27 例如 对于微小转角a 对于微小正应变e 这样 弹性力学里的几何方程和微分方程都简化为线性方程 弹性力学问题都化为线性问题 从而可以应用叠加原理 28 第二章平面问题的基本理论 2 1平面应力问题与平面应变问题 2 2平衡微分方程 2 3平面问题中一点的应力状态 2 4几何方程刚体位移 2 5物理方程 29 2 6边界条件 2 7圣维南原理 2 8按位移求解平面问题 2 9按应力求解平面问题相容方程 2 10常体力情况下的简化应力函数 30 2 1平面应力问题与平面应变问题 如果弹性体具有某种特殊的形状 并且承受的是某些特殊的外力和约束 就可以把空间问题简化为近似的平面问题 一 第一种平面问题 平面应力问题 31 因板很薄 外力不沿厚度变化 应力沿板厚连续 有 由切应力互等定理 只剩下平行于xy面的三个平面应力分量 即 x y xy yx 所以这种问题称为平面应力问题 1 设薄板的厚度为d xy为中面 z轴垂直于xy面 因为板面上 不受力 所以 2 由于物体形状和外力 约束沿z向均不变化 故 x y xy只是x y的函数 ex ey gxy也只是x y的函数 但位移与z有关 32 二 第二种平面问题 平面应变问题 33 2 2平衡微分方程 在弹性力学中分析问题 要考虑静力学 几何学和物理学三方面条件 分别建立三套方程 首先考虑平面问题的静力学方面 建立微分体的平衡微分体方程 应力分量与体力分量之间的关系式 从图示薄板或柱形体中 取出一个微小的正六面体 边长为dx dy 在z方向的尺寸取为1个单位尺寸 34 一般而论 应力分量是位置坐标x和y的函数 因此 作用于左右两对面或上下两对面的应力分量不完全相同 有微小的差 略去二阶及二阶以上的微量后得 例 设作用于左面的正应力为 x 则右面的正应力由于x坐标的改变而改变 可由泰勒展开得 若 x为常量 则 左右两面都是 x 即为均匀应力 泰勒展开式 35 同理 设左面的切应力为 xy 则右面的切应力为 设上面的正应力及切应力为 x xy 则下面的正应力其切应力为 因六面体是微小的 所以 各面的应力可认为是均匀分布 作用在对应面中心 所受体力也可认为是均匀分布 作用在对应面中心 36 首先 以过中心C并平行于z轴 列出 将上式除以dxdy 得 令dx dy趋近于零 得 这正是切应力互等定理 37 其次 以x轴为投影轴 列出 将上式除以dxdy 得 同样 以y轴为投影轴 列出可得一个相似的微分方程 38 于是得出应力分量与体力分量之间的关系式 平面问题中的平衡微分方程 这2个微分方程中包含3个未知函数 x y xy yx 因此 决定应力分量的问题是超静定问题 必须考虑几何方程和物理学方面的条件 才能解决问题 对于平面应变问题 微分体一般还有作用于前后两面的正应力 z 但不影响上述方程的建立 上述方程对于两种平面问题同样适用 39 2 3平面问题中一点的应力状态 应力状态就是指一点处所有斜截面上的应力的集合 假定已知任意点P处坐标面的应力分量 x y xy yx 求经过该点且平行于z轴的任意斜截面上的应力 40 用n代表斜截面AB的外法线方向 其方向余弦为 设AB ds 则PA lds PB mds S PAB ldsmds 2 设垂直于平面的尺寸为1 由得 其中fx为x方向得体力分量 将上式除以ds 然后命ds趋于0 AB 0 得 同理由得 一 求任意斜截面上的正应力 n和切应力 n 41 令斜截面得正应力为 n 切应力为 n 由px py投影得 可见 已知点P处的应力分量 x y xy yx 就可求得经过该点的任意斜截面上的正应力 n和切应力 n 42 二 求主应力及主应力的方位 应力主向 应力主面上 0 p 投影得 代入 得 由上两式分别解出m l 得 于是 有 解得 43 易得 下面求主应力方向 即得 即得 设 1与x轴的夹角为 1 设 2与x轴的夹角为 2 44 由 得 于是有 就是说 1 2的方向互相垂直 从材料力学知识我们知道 与应力主向成450的斜面上 45 2 4几何方程刚体位移 同理PB的线应变 PA的线应变 一 几何方程 任一点的微分线段上的形变分量与位移分量之间的关系式 设 46 同理PB的转角 PA与PB之间的转角 PA的转角 几何方程 上列几何方程对两种平面问题同样适用 47 二 形变与位移之间的关系 1 如果物体的位移确定 则形变完全确定 从物理概念 当物理变形后各点的位置完全确定 任一微分线段上的形变 伸缩 转角等 也就完全确定了 从数学概念 当位移函数确定时 其导数也就确定了 2 当物体的形变分量确定时 位移分量不完全确定 从物理概念 在物体内形变不变的条件下 物体还可以做刚体运动 平动和转动 即还有刚体运动的人任意性 48 从数学概念 由形变分量求位移分量是一个积分的过程 在常微分中 会出现一个任意常数 而在偏微分中 要出现一个与积分变量无关的任意函数 这些任意函数是未定项 这些未定项正是刚体平移和刚体转动量 若假设求出相应的位移分量 代入几何方程 将前二式对x及y积分 得 F1及f2为任意函数 代入几何方程中的第三式 得 49 方程左边是y的函数 只随y而变 而右边是x的函数 只随x而变 因此 只可能两边都等于同一常数 于是得 积分得 其中u0及v0为任意常数 代入得 这就是 形变为零 时的位移 也就是所谓 与形变无关的位移 因此必然是刚体位移 下面根据平面运动的原理加以证明 u0及v0分别为物体沿x轴及y轴方向的刚体位移 而 为物体绕z轴得刚体转动 50 当只有u0不为零时 物体内任一点位移分量 物体的所有各点只沿x方向移动同样距离u0 所以u0代表物体沿x方向的刚体位移 坐标为 x y 的任一点P沿y方向移动 x 沿x负方向移动 y 合成位移为 同样 v0代表物体沿y方向的刚体位移 当只有 不为零时 物体内任一点位移分量 51 可见 合成位移的方向与径向线段OP垂直 也就是沿着切向 因OP线上所有点移动方向都沿着切线 且移动的距离为 可见 代表物体绕z轴的刚体转动 既然物体在形变为零时可以有刚体位移 那么 当物体发生一定形变时 由于约束条件不同 可能有不同的刚体位移 为了完全确定位移 就必须有适当的刚体约束条件 52 2 5物理方程 物理方程 应力分量和形变分量之间的物理关系式 在理想弹性体 满足连续性 完全弹性 均匀性和各向同性 中 物理方程就是材料力学中学过的胡克定律 物理方程有两种形式 1 f 此式是用应力表示应变 其中应力取为基本未知数 用于按应力求解 2 f 此式是用应变表示应力 其中应变取为基本未知数 用于按位移求解 53 胡克定律的一般形式 E是弹性模量 G是切变模量 又称刚度模量 称为泊松系数 或泊松比 一 平面应力问题的物理方程 将代入上式得独立的物理方程 另外 因 z可由 x y求出 故不作为独立的未知函数 54 二 平面应变问题的物理方程 将代入上式得独立的物理方程 另外 因 z可由 x y求出 故不作为独立的未知函数 与平面应力问题的物理方程对比 只需将E换为 换为 对于两类平面问题 三套方程除了物理方程中的系数须变换外 其他平衡方程和几何方程是完全相同的 三套方程中包含8个未知函数 x y xy yx x y xy及u v 还需考虑边界条件 才能求出这些未知函数 55 2 6边界条件 边界条件表示在边界上位移与约束 或应力与面力之间的关系式 它分为位移边界条件 应力边界条件和混合边界条件 一 位移边界条件 在su上 位移边界条件 56 注意 1 上式要求在s上任一点位移分量必须等于对应的约束位移分量 在su上 2 上式是函数方程 而不是简单的代数方程或数值方程 位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式 57 设n为斜截面的外法线方向 其方向余弦 二 应力边界条件 在边界上任一点P取出一个微分体 斜面AB就是边界面 x y xy为应力分量边界值 边界为斜截面时 设AB ds z方向厚度为1 58 由平衡条件 得出微分体的应力分量与边界面上的面力之间的关系 在s 上 除以ds 并令ds 0 得 同理 于是 得到应力边界条件 59 3 在导出应力边界条件时 只考虑到面力 一阶微量 不需考虑二阶微量 体力 4 应力边界条件是边界点上微分体的平衡条件 也属于静力边界条件 在s 上 注意 1 应力边界条件表示边界s 上任一点的应力和面力之间的关系 也是函数方程 在s 上每一点都应满足 2 上式中的面力 应力都有不同的正负符号规定 且分别作用于通过边界点的不同面上 60 2 边界为坐标面时 若x a为正x面 则有 若x b为负x面 则有 正负x面上的面力分量一般为随y而变化的函数 l 1 m 0 l 1 m 0 在s 上 61 3 应力边界条件的两种表达方式 1 在边界点取出一个微分体 考虑其平衡条件 得出 在s 上 2 在同一边界面上 应力分量的边界值就等于对应的面力分量 应力分量的绝对值等于对应的面力分量的绝对值 面力分量的方向就是应力分量的方向 即数值相同 方向一致 62 例如 若边界面y c d分别为正 负坐标面 在斜截面上 px py为斜截面应力 63 三 混合边界条件 物体的一部分边界具有已知位移 因而具有位移边界条件 如 在su上 另一部分边界则具有已知面力 因而具有应力边界条件 在s 上 在同一边界上还可能出现混合边界条件 即两个边界条件中一个是位移边界条件 另一个则是应力边界条件 x方向 y方向 x方向 y方向 64 2 7圣维南原理及其应用 求解弹性力学问题时 应力分量 形变分量和位移分量必须满足三套方程 还必须满足边界条件 但要使边界条件得到完全满足很困难 圣维南原理为简化局部边界的应力边界条件提供了有效的方法 圣维南原理 如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力 主矢量相同 对于同一点的主矩也相同 那么 近处的应力分布将有明显的改变 但是远处所受的影响可以不计 1 圣维南原理只能应用于一小部分边界上 又称为局部边界 小边界或次要边界 一 圣维南原理应用的条件 65 所谓 近处 根据经验 一般地讲大约是变换面力的边界的1 2倍范围内 此范围之外可认为是 远处 如果将面力的等效变换范围应用到大边界 又称为主要边界 上 则必然使整个的应力状态都改变了 因此 不适用圣维南原理 2 小边界的面力变换为静力等效的面力 3 经变换后 只对近处的应力分布有明显的影响 但远处的应力几乎不受影响 66 a b c 例如 如将一端或两端的F变换为静力等效的力 如图 b c d 则只有虚线划出的部分应力分布有显著改变 其余部分所受影响可不计 d 图 d 所示情况 由于面力连续均匀分布 边界条件简单 应力很容易求解并且解答很简单 而其他三种情况 由于面力不连续分布 甚至不知其分布方式 应力难以求解 根据圣维南原理 可将 d 的应力解答应用于其他三种情况 67 应用圣维南原理的条件是满足静力等效 即使物体一小部分边界上的位移边界条件不能满足时 仍可以应用圣维南原理 e d 68 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系 主矢量和主矩都等于零 那么 这个面力就只会使近处产生显著的应力 而远处的应力可以不计 这是因为主矢量和主矩都等于零的面力 与无面力状态是等效的 只在近处产生显著的应力 例如 4 圣维南原理还可以推广到下列情形 69 在应力边界条件上应用圣维南原理 就是在边界上 将精确的应力边界条件代之以主矢相同 对同一点的主矩也相同的静力等效条件 二 在局部边界上应用圣维南原理 例如 厚度d 1的梁 h l 即左右端是小边界 严格的边界条件要求 此式要求在边界x l上的每一点 每一y值 应力分量与对应的面力分量必须处处相等 70 严格的边界条件要求 这种严格的边界条件是很难满足的 但h l 即左右端是小边界 可以应用圣维南原理 用静力等效条件代替上式 在左右端小边界上使应力的主矢量等于面力的主矢量 应力的对某点主矩等于面力对同一点的主矩 数值相同 方向一致 因面力是已知的 所以面力的主矢量和主矩可求 因此 应力的主矢量和主矩的绝对值应分别等于面力的主矢量和主矩的绝对值 方向与面力的主矢量和主矩一致 71 表示为 如果在边界上直接给出了面力的主矢量和主矩 就可以代替右边各项 72 将与 相比 可以得出 前式是精确的 而后式是近似的 前式有两个条件 一般是函数方程 而后式有三个积分条件 是代数方程 在求解时 前式难以满足 后式易满足 在求解弹性力学平面问题时 常在小边界上用近似的三个积分边界条件代替严格的边界条件 使问题的求解大大简化 73 2 8按位移求解平面问题 我们已经建立了弹性力学平面问题的基本方程和边界条件 74 求解弹性力学的平面问题 即求解 3个应力分量 x y xy yx 3个应变分量 x y xy及2个位移分量u v的未知函数 这些函数在区域内必须满足基本方程 在边界上必须满足边界条件 由于未知函数及应满足的方程数目较多 问题难以求解 为此 通常采用类似代数方程中的消元法进行求解 75 按应力求解的方法 又称为应力法 它是以 x y xy yx为基本未知函数 从方程和边界条件中消去u v和 x y xy 导出只含 x y xy yx的方程和相应的边界条件 并求解出 x y xy yx 再求出 x y xy和u v 此法类似于结构力学中的力法 按位移求解的方法 又称为位移法 它是以u v为基本未知函数 从方程和边界条件中消去 x y xy yx和 x y xy 导出只含u v的方程和相应的边界条件 并求解出u v 再求出 x y xy和 x y xy yx 此法类似于结构力学中的位移法 76 一 按位移求解平面应力问题的方程和边界条件 1 取u v为基本未知函数 由几何方程看出 x y xy就是用u v表示的 从物理方程求出 x y xy yx 2 用u v表示 x y xy 3 用u v表示 x y xy yx 77 4 求解位移分量的方程 将上式代入平衡微分方程 得 这是按位移求解平面问题的基本微分方程 也就是用位移表示的平衡微分方程 78 5 求解位移分量的边界条件 将代入 化简 得 在S 上 这是用位移表示的应力边界条件 这是按位移求解平面问题时所用的应力边界条件 位移边界条件仍为 在Su上 79 总结起来 按位移求解平面应力问题时 要使得位移分量在区域内满足微分方程 并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件 在S 上 在Su上 用求得应力分量 80 二 按位移求解平面应变问题的方程和边界条件 平面应变问题与平面应力问题相比 除物理方程不同外 其它方程和边界条件都相同 只要将上述各方程和边界条件中的E换为 m换为 就可以得出平面应变问题按位移求解的方程和边界条件 如果已求得平面应力问题的解答 只需将E m作同样的转换 就可得出对应的平面应变问题的解答 在位移法中 是求解位移分量u和v的必须满足的条件 这些条件也是校核u和v是否正确的条件 对已求得的解答 可以利用这些条件进行校核 81 三 位移法优缺点 1 优点是能适应各种边界条件问题的求解 它是弹性力学的一种基本解法 它在是弹性力学的各种近似数值解法有着广泛的应用 2 缺点是 从较复杂的方程 在S 上 具体求解位移函数时 往往很困难 已得出的函数解答很少 82 四 例题 上端固定 下端自由 受自重体力fx 0 fy rg 试用位移法求解此问题 解 为简化 设u 0 v v y 泊松比m 0 代入 第一式自然满足 第二式成为 由此解出 83 将代入 上下边的边界条件分别要求 将代入 得B 0 得 由此得 再代入 84 2 9按应力求解平面问题相容方程 按应力求解平面问题时 应力分量 x y xy取为基本未知函数 其它未知函数中 x y xy可以简单地用 x y xy表示 即物理方程 要将位移分量u v用应力分量 x y xy表示 需将物理方程代入几何方程 然后通过积分运算求出位移分量u v 这种表达较为复杂 且其中包含了待定的积分项 从而使用应力分量 x y xy表示十分复杂 且很难求解 所以 按应力求解函数解答时 通常只求解全部为应力边界条件的问题 s s su 0 85 平衡微分方程中应力分量有3个 x y xy 而方程只有2个 因此需从几何方程和物理方程中消去位移分量 导出只含应力分量的补充方程 一 推导按应力求解平面问题的方程 1 取 x y xy为基本未知函数 2 导出求解应力的基本方程 由于位移分量只在几何方程中存在 先从几何方程中消去位移分量 将ex对y的二阶导数和ey对x的二阶导数相加 得 86 等式右边 于是 得 这个关系式称为形变协调方程或相容方程 从相容方程看出 连续体的形变分量 x y xy不是相互独立的 它们必须满足相容方程 才能保证位移分量u v的存在 87 从而得 例如 取显然不满足相容方程的形变分量 由几何方程中的前两式 得 将gxy Cxy代入几何方程的第三式 得 显然 式 a 和式 b 不能相容 互相矛盾 故函数 x y xy不能任意选取 必须满足相容方程 88 现在用物理方程将相容方程中的形变分量消去 使相容方程只包含应力分量 x y xy 对于平面应力问题 将代入 得 利用平衡微分方程消去txy 89 将平衡微分方程写成 将二式分别对x及y求导 然后相加 并注意txy tyx 得 代入 得到用应力表示的平面应力问题的相容方程 将 用代替 得平面应变问题的相容方程 90 现在 我们得到了求解应力的基本方程 3 应力边界条件 s s su 0 在s 上 其中假设只求解全部为应力边界条件的问题 91 二 按应力求解平面问题时 应力分量 x y xy必须满足的条件 1 在区域A内的平衡方程 2 在区域A内的相容方程 3 在边界上的应力边界条件其中假设只求解全部为应力边界条件的问题 在s 上 4 对于多连体 还需考虑位移的单值条件 只有一个连续边界的物体 单连体 此四条件 是求解应力 校核应力是否正确的全部条件 对已有的解答 可以用这些条件进行校核 92 2 10常体力情况下的简化应力函数 很多工程问题中 体力是常量 即体力分量fx和fy不随坐标x和y而变 例如 重力 常加速度下平动的惯性力 都是常量的体力 常体力下 平面应力问题和平面应变问题的相容方程的右边都为零 拉普拉斯算子 一 常体力情况下方程的简化 93 注意 体力为常量时 三方程都不含弹性常数 因而得出的应力分量必然与弹性常数无关 由此得出 在s 上 1 对于不同材料 x y xy的理论解答相同 用试验方法求应力时 可用不同的模型材料代替 2 对两种平面问题 应力分量 x y xy的解答相同 即理论解可互相通用 用模型试验时 可用平面应力问题的模型代替平面应变问题的模型 使模型的制作和加载大大简化 94 可见 在体力为常量情况下 按应力求解应力边界问题时 应力分量应满足 在s 上 1 先考察平衡微分方程 二 应力函数 特解可以取为 也可取为 这是一非齐次微分方程组 它的解答是 任一特解和齐次微分方程的通解之和 95 对应的齐次微分方程为 现求其通解 根据偏微分方程理论 知 若设函数f f x y 则有 假如函数C和D满足 那么 一定存在某一函数f 使得 将齐次微分方程改为 根据上述微分方程的理论 一定存在某一个函数A 使得 也一定存在某一个函数B 使得 96 由此得 即 因而 有一定存在某一个函数F x y 使得 将代入 代入 代入 得 将此通解与任一组特解叠加 即得平衡微分方程的全解 97 2 应力函数 应满足的条件 称为平面问题的应力函数 又称艾里应力函数 但它是未知函数 此解答不仅满足了平衡方程 而且使平面问题的求解大为简化 从求解3个应力未知函数 变为求解1个应力函数 1 应力函数 应满足相容方程 上式所表示的应力分量应满足相容方程 将上式代入相容方程 得 fx fy为常量 于是上式简化为 98 将此式展开成为 这就是用应力函数表示的相容方程 由此可见 应力函数应满足重调和方程 也就是它应是重调和函数 此方程可表示成 2 应力函数 应满足应力边界条件 假设全部为应力边界条件 在s 上 一般仍用此式表示 99 综上所述 在常体力情况下 按应力求解平面问题 可归纳为求解一个应力函数 它必须满足1 在区域内的相容方程2 在边界上的应力边界条件 假设全部为应力边界条件 3 在多连体中 还须满足位移单值条件 在s 上 求出应力函数后 便可求出应力分量 然后再求应变分量和位移分量 100 例题 例1 试列出下列问题的边界条件 a b 解 对 a 问题 在主要边界y h 2 应精确满足下列边界条件 101 a 在小边界 次要边界 x 0 应用圣维南原理 列出三个积分近似边界条件 当板厚 1时 在小边界x l处 当平衡微分方程和其它各边界都已满足条件下 三个积分的边界条件必然满足 可以不必校核 102 b 对 b 问题 在主要边界y 0 b 应精确满足下列边界条件 在小边界y 0 列出三个积分近似边界条件 当板厚 1时 注意 在列力矩条件时 两边均是对原点O的力矩来计算的 对于y h的小边界条件可以不必校核 103 例2 厚度 1的悬臂梁 在自由端受集中力F的作用 已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是该问题的解答 解 此组位移若为此问题的解答 则应满足下列条件 1 在区域内 满足用位移表示的平衡微分方程 104 在Su上 2 在所有受面力的边界s 上 满足应力边界条件 3 在su满足位移边界条件 其中在小边界上可以应用圣维南原理 即用三个积分的边界条件来代替 本题只需校核在边界x l的刚体约束条件 A点 x l及y 0 105 例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否存在 x Axy y By3 xy C Dy3 x Ay2 y Bx2y xy Cxy x y 0 xy Cxy 解 应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件 相容方程 即 a 相容 b 须满足B 0 2A C c 不相容只有C 0 x y xy 0 106 例4 在无体力的情况下 试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在 x Ax By y Cx Dy xy Ex Fy x A x2 y2 y B x2 y2 xy Cxy 解 弹性体中的应力 在单连体中必须满足 在s 上 此组应力满足相容方程 为满足平衡微分方程 必须A F D E 此外 还须满足应力边界条件 107 b 为满足相容方程 其系数必须满足A B 0为满足平衡微分方程 其系数必须满足A B C 2上两式是矛盾的 故此组应力不存在 b x A x2 y2 y B x2 y2 xy Cxy 例5 若f x y 是平面调和函数 即满足拉普拉斯方程 试证明函数f xf yf x2 y2 f都满足重调和方程 因而都可以作为应力函数 使用 证明 108 上述函数作为应力函数 均能满足相容方程 重调和方程 例6 图示梁受到均布载荷的作用 试用下列应力表达式求解其应力 109 解 在s 上 本题是按应力求解 因而 应力分量必须满足 将应力分量代入平衡微分方程和相容方程 两者都能满足 再校核边界条件 在主要边界上 110 将C1 C2代入应力分量 得 111 再将应力表达式代入次要边界条件 可见 在次要边界上的积分边界条件均能满足 112 例7 材料力学中 当矩形截面梁 厚度 1 受任意横向载荷q x 作用而弯曲时 弯曲正应力公式为 试由平衡微分方程 不计体力 导出切应力 xy和挤压应力 x的公式 提示 注意 积分后得出的任意函数 可由梁的上下边界条件来确定 解 不计体力 将代入平衡微分方程第一式 得 113 两边对y积分 得 再由上下边界条件得 其中 将代入平衡微分方程第二式 代入上式 得 得 114 两边对y积分 得 再由上下边界条件 得 115 上述解答已满足平衡微分方程及y h 2的边界条件 但一般不满足相容方程 且尚未校核左右端的小边界条件 2 当q为常数时 试检验应力分量是否满足相容方程 试在 x中加一项对平衡没有影响的函数f y 再由相容方程确定f y 并校核梁的左右边界条件 116 若q 常数 则 于是 代入相容方程 为满足相容方程 令 117 积分得 由x l次要边界条件 得B 0 满足 得 由此得 经检验 在小边界x 0 l上剪力边界条件亦满足 118 第三章平面问题的直角坐标解答 3 1逆解法和半逆解法多项式解答 3 2矩形梁的纯弯曲 3 3位移分量的求出 3 4简支梁受均布载荷 3 5楔形体受重力和液体压力 119 3 1逆解法和半逆解法多项式解答 在常体力情况下 按应力求解平面问题 可归纳为求解一个应力函数 它必须满足1 在区域内的相容方程2 在边界上的应力边界条件 假设全部为应力边界条件 3 在多连体中 还须满足位移单值条件 在s 上 求出应力函数 后 便可求出应力分量 然后再求应变分量和位移分量 120 由于相容方程是偏微分方程 它的通解不能写成有限项数的形式 一般不能直接求解问题 只能采取逆解法和半逆解法 所谓逆解法 就是 1 先设定满足的应力函数 2 根据求出应力分量 3 在给定的边界形状下 根据应力边界条件 由应力反推出相应的面力 即 反过来得知所选取的应力函数可以解决的问题 可解决的正是上述面力对应的问题 一 逆解法 121 下面用逆解法求解几个简单问题的解答 假定体力可忽略不计 fx fy 0 应力函数取为多项式 1 取应力函数为一次式 a bx cy 应力函数 满足相容方程 由得应力分量 不论弹性体为何形状 也不论坐标轴如何选择 由应力边界条件总是得出 一次式 a bx cy对应无体力 无面力 无应力的状态 把应力函数加上一个线性函数 不影响应力 122 2 取应力函数为二次式 ax2 bxy cy2 应力函数 满足相容方程 现分别考察每一项所能解决的问题 对应 ax2 应力分量是 如图矩形板和坐标轴 当板内应力为 x 0 y 2a xy yx 0 由应力边界条件可知 左右两边没有面力 上下两边有均布面力2a 可见 应力函数 ax2能解决矩形板在y方向受均布力的问题 123 如图矩形板和坐标轴 当板内应力为 x 0 y 0 xy yx b 由应力边界条件可知 左右上下两边分别有与面相切的面力b 可见 应力函数 bxy能解决矩形板受均布剪力的问题 对应 bxy 应力分量是 对应 cy2 应力分量是 应力函数 cy2能解决矩形板在x方向受均布力的问题 ax2 bxy cy2表示常量的正应力和切应力 124 4 如果取应力函数为四次或四次以上的多项式 则其中的系数必须满足一定的条件 应力函数 满足相容方程 对应 ay3 应力分量是 可见 应力函数 ay3能解决矩形梁纯弯曲问题 3 取应力函数为三次式 ay3 125 5 例题 例1 图示矩形长梁 l h 试考察应力函数能解决什么样的受力问题 解 按逆解法求解 1 将 代入相容方程 满足相容方程 2 将 代入得应力分量 126 3 由边界形状和应力分量反推边界上的面力 在主要边界y h 2上 因此 在上下边界上无面力 即 在次要边界x 0 l上 x 0 负x面 x l 正x面 此应力函数可以解决悬臂梁在x 0处受集中力作用的问题 127 二 半逆解法 半逆解法是针对实际问题来求解的 半逆解法的具体步骤如下 逆解法没有针对具体问题进行求解 而是找出满足相容方程的应力函数 来考察它们能解决什么问题 这种方法可以积累弹性力学的基本解答 1 根据弹性受力情况和边界条件等 假设部分或全部应力分量的函数形式 2 根据由应力推出应力函数 的形式 3 将 代入相容方程 求出 的具体表达式 128 4 将 代入 求出对应的应力分量 5 将应力代入边界条件 在s 上 考察它们是否满足全部边界条件 对于多连体 还须满足位移单值条件 如果所有的条件均能满足 上述解答就是正确的解答 否则 就要修改假设 重新进行求解 129 3 2矩形梁的纯弯曲 设有矩形截面的长梁 梁的长度l 深度h 它的宽度远小于深度和长度 近似的平面应力情况 或远大于深度和长度 近似的平面应变情况 两端受相反的力偶而弯曲 体力不计 取 1 相应的应力分量为 矩形截面梁纯弯曲问题 可借助由逆解法得出的应力函数 ay3 显然 满足相容方程 130 1 考察上下两个主要边界的边界条件 上下边都没有面力 要求 此边界条件满足 2 考察左右端次要边界的边界条件 左右两端没有y向的面力 分别要求 此边界条件也满足 x 0 l为小边界 可以用圣维南原理 将关于 x的边界条件用主矢量和主矩的条件代替 这些应力分量是否能满足边界条件 如能满足 a取什么值 131 将代入上两式 前一式总能满足 后一式要求 代入得 注意到 得应力分量 与材力结果相同 132 3 3位移分量的求出 以纯弯曲矩形梁为例 说明如何由应力分量求出位移分量 求解步骤 得形变分量 1 将应力分量分量代入物理方程 133 2 将形变分量代入几何方程 再积分求位移 将代入 得位移分量 将前二式积分 得 f1 f2为待定函数 可通过第三式求出 134 将上式代入 得 移项 得 等式左边是y的函数 而右边是x的函数 因此 只可能两边都等于同一常数 于是有 135 积分 得 代入 得位移分量 其中常数 u0 v0表示刚体位移 由约束条件求得 136 3 由约束条件确定常数 u0 v0 如图简支梁 约束条件是 代入 求出 u0 v0 就得到简支梁的位移分量 有 梁轴的挠度方程为 与材料力学的结果相同 137 如图悬臂梁 x l处 对于 h 2 y h 2 要求u 0 v 0 在多项式解答中这条件是无法满足的 在工程实际中这种完全固定的约束也是不大能实现的 现在 假定固定端的中点不移动 该点的水平线段也不转动 这样 约束条件是 代入 有 138 求解得 得出悬臂梁的位移分量 梁轴的挠度方程为 与材料力学的结果相同 对于平面应变情况下的梁 须把E换为 把 换为 139 由可见 不论约束情况如何 不论 u0 v0取何值 铅直线段的转角都是 同一横截界面上x是常数 因而 是常量 于是可见 同一截面上的各铅直线段的转角相同 说明横截面保持为平面 4 对结果的讨论 140 由可见 梁的各纵向纤维的曲率为 这是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式 141 3 4简支梁受均布载荷 此问题用半逆解法 步骤如下 1 假设应力分量的函数形式 由材料力学知 弯应力 x主要是由弯矩M引起的 切应力 xy主要是由剪力Fs引起的 挤压应力 y主要是由直接载荷q引起的 因q不随x变 因而可以假设 y不随x变 也就是假设 y只是y的函数 y f y 142 3 由相容方程求解应力函数 将 y f y 代入 对x积分 得 其中f y f1 y f2 y 都是待定的y的函数 2 推求应力函数的形式 将 代入得 有 143 这是x的二次方程 但相容方程要求它有无数多的根 全梁的x都应该满足它 可见它的系数和自由项都必须等于零 即 前两个方程要求 这里f1 y 的常数项被略去 这是因为这一项在 的表达式中成为x的一次项 不影响应力分量 第三个方程要求 即 其中的一次项和常数项都被略去 因为它们不影响应力分量 144 将代入 得应力函数 4 由应力函数求应力分量 将 代入 145 注意到yz面是梁和载荷的对称面 所以 应力分布应对称于yz面 这样 x y应该是x的偶函数 而 xy应该是x的奇函数 E F G 0 于是 有 146 5 考察边界条件 确定待定系数 通常梁的跨度远大于梁的深度 梁的上下两个边界是主要边界 在主要边界上应力边界条件必须完全满足 次要边界上如果边界条件不能完全满足 可引用圣维南原理用三个积分条件来代替 先来考虑上下两个主要边界条件 将 y xy代入主要边界条件 得 147 联立求解 得 将上述结果代入右边三式 得 148 现在考虑左右两边的次要边界条件 由于问题的对称性 只需考虑其中一边 如右边 边界条件 当x l时 h 2 y h 2 x 0 这是不可能满足的 除非q H K 0 149 应用圣维南原理 用三个积分条件代替边界条件 将右边sx txy代入上式 由前两式得 第三式自然满足 150 代入并整理 得 各应力沿y方向分布 151 6 比较弹性力学和材料力学关于简支梁受均布载荷的解答 取梁宽d 1时 I h3 12 S h2 8 y2 2 代入右式 152 长度远大于深度 l h 的长梁 应力各项的数量级 弯应力 x的第一项与同阶大小 为主要应力 与材料力学解答相同 第二项是材料力学没有的 是修正项 但只是q级 切应力 xy与同阶大小 为次要应力 与材料力学解答完全相同 挤压应力 y的第一项与q同阶大小 为更次要应力 材料力学中不考虑 153 由此可见 弹性力学与材料力学解答的区别 只反映在最小的q量级上 而 量级的值完全相同 因此 对于长梁 长度 深度 4 材料力学的解答虽是近似的 但已足够精确 符合工程上的要求 7 弹性力学和材料力学解法上的区别 弹性力学的解法 严格满足区域内的平衡微分方程 几何方程和物体方程 以及边界上的全部边界条件 小边界上尽管应用了圣维南原理 应力边界条件是近似满足的 但只影响小边界附近的局部区域 154 材料力学的解方法 在许多方面都作了近似处理 只能得到近似解答 例如 在几何条件中 材料力学引用了平面截面假设 由此导出位移 形变和应力沿横向均为线性分布 在平衡条件中 材料力学考虑的是有限大部分的物体 h dx b 的平衡条件 而不是微分体的平衡条件 材料力学中忽略了sy的影响 并且在主要边界上没有严格考虑边界条件 这些都使得材料力学的解答成为近似解答 一般地说 材料料力学的解法只适用于解决杆状结构的问题 对于非杆状结构的问题只能用弹性力学的解法来求解 155 3 5简支梁受均布载荷 设有楔形体 下端无限长 受到重力和液体压力 楔形体密度为 1 液体密度为 2 试求应力分量 解 采用半逆解法 1 应用量纲分析方法假设应力分量的函数形式 1 因应力与 1g和 2g成正比 而应力量纲 L 1MT 2 只比 1g和 2g量纲 L 2MT 2 高一次幂的长度量纲 因此 应力只能是 1g和 2g与x y的一次式相乘 1gx 2gx 1gy 2gy的组合 应力只能是x y的纯一次式 156 2 此应力函数 自然满足相容方程 2 由应力函数与应力分量的关系式可知 应力函数比应力分量的长度量纲高二次 应是x y的纯三次式 因此 假设 3 将此应力函数 代入 fx 0 fy 1g 157 4 考察边界条件 1 x 0时 应力边界条件 将右式代入边界条件 得 解出d c 得 代入右式 得 2 右面是斜边界 它的边界线方程是 斜面上无面力 158 右面斜边界应力边界条件 将右式代入边界条件 得 由图可见 将上式代入式 a 解得 159 将上式代入右式 得李维解答 各应力分量沿x轴的变化 160 各应力分量沿x轴的变化 x沿x轴没有变化 此结果不能由材料力学公式求得 y沿x轴按直线变化 在左面和右面它分别是 与材料力学中偏心受压公式算得得结果相同 xy沿x轴也按直线变化 在左面和右面它分别是 与等截面梁的切应力变化规律不同 161 例题 例2 单位厚度的悬臂梁 受力如图 体力不计 l h 试用应力函数 Axy By2 Cy3 Dxy3求解应力分量 解 1 将 代入相容方程 显然满足 2 将此应力函数 代入 得应力分量 3 考察边界条件 主要边界y h 2上 应精确满足 满足 得 162 在次要边界x 0上 应用圣维南原理 用三个积分条件代替 注意x 0为负x面 解 a b 得 次要边界x l上 平衡方程和上述边界条件均已满足的条件下 必然满足 163 代入右式 得 164 例3 挡水墙的密度为 1 厚度为b 密度为 2 求解应力分量 提示 可假设sy xf y 解 用半逆解法 1 假设应力分量的函数形式 sy xf y 2 推求应力函数的形式 其中f y f1 y f2 y 都是待定的y的函数 165 3 由相容方程求解应力函数 将 代入得 要使上式在任意的x处都成立 必须 166 4 由应力函数求应力分量 fx 1g fy 0 167 5 考察边界条件 主要边界y b 2上 应精确满足 代入右式 得 代入右式 得 代入右式 得 168 对任意x此方程都成立 所以 联立a b c d求解 得 联立e f 求解 得 169 主要边界x 0上 用三个积分条件代替 将联立求解 得 170 将全部系数代入右式 得应力解答 171 例4 已知 a Ay2 a2 x2 Bxy C x2 y2 b Ax4 Bx3y Cx2y2 Dxy2 Ey4试问它们能否能成为平面应力问题的应力函数 解 作为应力函数 必须满足相容方程 将 代入 a 只有当A 0时 才能成为应力函数 b 只有满足3 A E C 0时 才能成为应力函数 172 例5 矩形截面柱体 顶部受有集中力F和力矩M Fb 2的作用 试用应力函数 Ax3 Bx2求解应力及位移 设在A点的位移和转角为零 解 1 将 代入相容方程 显然满足 2 将此应力函数 代入 3 考察边界条件 主要边界x b上 应精确满足 满足 173 次要边界y 0上 需满足三个积分条件 满足 代入 得应力解答 上述 和应力已满足相容方程和全部边界条件 因而是该问题的解 174 4 求应变分量 将应变分量代入几何方程 5 求位移分量 将应力分量代入物理方程 175 方程两边对x积分 得 方程两边对x积分 得 将解出的u v代入 得 176 显然 要使等式成立 等式两边只能为常数 设等式两边都等于 将解出的f1 y f2 x 代入u v 得 177 由刚体约束条件 代入u v 得位移分量解答 178 例6 矩形截面柱体 顶部受有集中力F和力矩M的作用 不计体力 试用应力函数 Ay2 Bxy cxy3 Dy3求解应力分量 解 1 将 代入相容方程 显然满足 2 将此应力函数 代入 3 考察边界条件 主要边界y b 2上 应精确满足 满足 得 179 次要边界x 0上 三个积分条件 联立求解 a b 得 代入右式 得应力分量 180 第四章平面问题的极坐标解答 4 1极坐标中的平衡微分方程 4 2极坐标中的几何方程及物理方程 4 3极坐标中的应力函数及相容方程 4 4应力分量的坐标变换式 4 5轴对称应力和相应的位移 4 6圆环或圆筒受均布压力 4 7压力隧洞 181 4 1极坐标中的平衡微分方程 对于有径向线和圆弧线围成的圆形 环形 楔形 扇形等的弹性体 宜用极坐标求解 因为用极坐标表示其边界非常方便 从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化 在极坐标中 平面内任一点P的位置 用径向坐标 及环向坐标 来表示 坐标线 常数 和 坐标线 常数 在不同的点有不同的方向 坐标线是直线 坐标线为圆弧曲线 坐标的量纲是L 坐标的量纲为1 一 用极坐标表示点的位置 182 二 用极坐标表示应力分量 取厚度为1的薄板或长柱体的微分体PABC 在xy平面内 此微分体是由两条径向线 夹角为d 和环向线 距离为d 所围成 径向正应力 环向正应力或切向正应力 切应力 符号规定 与直角坐标系同 代替x 代替y 即正面上的应力以沿正坐标的方向为正 负面上的应力以沿负坐标的方向为正 反之为负 f 径向体力 f 环向体力 以沿正坐标的方向为正 183 应力随坐标变化 如图 列平衡方程之前 先计算PB AC BC及PA的面积 SPB d 1 SAC d d 1 SBC SAC d 1 微分体的体积 d d 1 列出径向的平衡方程 得 由于d 微小 可把取为把取为1 三 极坐标中的平衡微分方程 184 用 代替 并注意一阶微量互相抵消 三阶微量可略去 再除以 d d 得 列出切向的平衡方程 得 185 用 代替 进行同样简化 得 这样 我们得到极坐标中的平衡微分方程 方程中包含3个未知函数 186 4 2极坐标中的几何方程及物理方程 径向线应变 环向线应变 切应变 即径向与环向两线段之间的直角的改变 在极坐标中 u 径向位移 u 环向位移 过任一点P 分别沿正方向作径向和环向的微分线段 PA d PB d 一 形变分量和位移分量之间的几何关系 1 假定只有径向位移而没有环向位移 径向线段PA移到P A 环向线段PB移到P B 而P A B三点的位移分别为 187 可见 径向线段PA的线应变为 环向线段PB移到P B 过P 点的夹角作圆弧线P C P B 与P C的夹角 是微小的 因此 略去高阶微量后 得到P B P C 由此 环向线段的线应变为 此项可解释为 由于径向位移引起环向线段的伸长应变 这一项是极坐标中才有的 188 它表示 半径为 的环向线段PB d 由于径向位移u 而移到P C时 它的半径成为 u 长度成为P C u d 伸长值与原来只比 便是环向线应变 径向线段PA的转角为 0 环向线段PB的转角为 可见 切应变为 189 2 假定只有环向位移而没有径向位移 径向线段PA移到P A 环向线段PB移到P B 而P A B三点的位移分别为 作P D PA 则PA的转角为 由于 是微小的 故略去高阶微量后得到P A PA 由此得出径向线段PA的线应变为 0 环向线段PB的线应变为 190 径向线段PA的转角为 环向线段PB的转角为 这是因为 变形前环向线切线垂直于OP 而变形后的环向线切线垂直于OP 两切线间的夹角等于圆心角 POP 并且这个转角使原直角扩大 故切应变为负 这项也是极坐标中才有的 可见 切应变为 191 3 径向和环向都有位移 将