镜像法ppt课件

电磁场与电磁波 第八讲镜像法 镜像法的基本原理接地导体平面的镜像导体球面的镜像导体圆柱面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像 本讲内容 几个实例 非均匀感应电荷产生的电位很难求解 可以用等效点电荷产生的电位替代 求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 问题的提出 q q 非均匀感应面电荷 等效电荷 镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用 几个实例 问题的提出 接地导体球附近点电荷产生的电位 用等效电荷代替非均匀感应电荷 q 非均匀感应电荷 q 等效电荷 等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置 镜像法 问题 这种等效电荷是否存在 这种等效是否合理 一 镜像法原理 方法 在求解区域外设置等效电荷 替代边界上分布电荷的作用 目的 将复杂边值问题转换为无界均匀媒质空间的问题 一 镜像法原理 根据唯一性定理 若镜像电荷的引入满足 电位函数仍然满足原方程 拉氏方程或泊松方程 电位分布仍满足原边界条件则可确保求得的解就是正确的 引入镜像电荷的两条原则 等效电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中 像电荷的个数 位置及电荷量的大小根据场区域的边界条件来确定 像电荷的个数 位置及其电量 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定 明确等效求解的 有效场域 等效问题与原问题在求解区域内边界条件及电荷分布相同 由唯一性定理 知解唯一正确 二 平面导体界面的镜像 1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 有效区域 原电荷 镜像电荷 求解域外 1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 上半空间内的电位分布为 点电荷在平面导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等 接地导体分界面上感应电荷分布 二 平面导体界面的镜像 1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 思考无限大导体平板不接地 镜像电荷如何确定 有限大接地导体平板问题 可否用镜像法求解 二 平面导体界面的镜像 引入像电荷后满足原问题的边界条件 所得解正确 2 无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像 等效问题 上半空间的电位分布为 二 平面导体界面的镜像 3 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 要满足在导体平面上电位为零 则必须引入3个镜像电荷 对于非垂直相交的两导体平面构成的边界 若夹角为 则所有镜像电荷数目为2n 1个 R R1 R2 R3 电位 二 平面导体界面的镜像 三 导体球面的镜像 1 点电荷位于接地导体球面外 问题 球面上的感应电荷可用镜像电荷q 来等效 q 应位于导体球内 不影响原方程 且在点电荷q与球心的连线上 距球心为d 则有 点电荷q位于半径为a的接地导体球外 距球心为d 三 导体球面的镜像 1 点电荷位于接地导体球面外 镜像电荷的确定 由镜像法原理 镜像电荷位于球内区域 且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为0 即 三 导体球面的镜像 1 点电荷位于接地导体球面外 镜像电荷的确定 导体球面镜像电荷 三 导体球面的镜像 1 点电荷位于接地导体球面外 接地导体球边界静电问题 导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷电量相等 球外的电位函数为 导体球面上的总感应电荷为 球面上的感应电荷面密度为 三 导体球面的镜像 2 点电荷位于接地导体球壳内 镜像电荷的确定 如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 外半径为b 点电荷q位于球壳内 与球心相距为d d a 感应电荷是如何分布的 分布在球壳的内表面上 镜像电荷q 应位于何处 位于导体空腔外 且在点电荷q与球心的连线的延长线上 q q 镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径b无关 为什么 三 导体球面的镜像 2 点电荷位于接地导体球壳内 接地导体球壳的静电问题 导体球面上的总感应电荷与所设置的镜像电荷不相等 球壳内的电位函数为 球壳内表面的总感应电荷为 球壳内表面感应电荷面密度为 三 导体球面的镜像 3 点电荷位于不接地导体球面外 导体球不接地时的特点 导体球面是电位不为零的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布 但总的感应电荷为零 负电荷分布与接地球球分布相同正电荷均匀分布 与共同使使球面电位为0 使球面为电位非0的等势面 问题 如何确定镜像电荷 三 导体球面的镜像 3 点电荷位于不接地导体球面外 三 导体球面的镜像 3 点电荷位于不接地导体球面外 球外任意点的电位为 结论 不接地导体球外存在点电荷q时 其镜像电荷为 三 导体球面的镜像 4 点电荷位于不接地空心球壳内 q q 位于球心 为什么 四 导体圆柱面的镜像 1 线电荷与接地导体圆柱面的镜像 问题 密度为 l的无限长线电荷位于半径为a的无限长接地导体圆柱面外 与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d 特点 在导体圆柱面上有感应电荷 圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生 分析方法 根据电位边界条件确定 问题 如何确定镜像电荷 由于导体圆柱接地 所以当时 电位应为零 即 四 导体圆柱面的镜像 1 线电荷与接地导体圆柱面的镜像 设镜像电荷的线密度为 且距圆柱的轴线为 则由和共同产生的电位函数 四 导体圆柱面的镜像 1 线电荷与接地导体圆柱面的镜像 将上式对 求导 可以得到 导体柱面镜像电荷 四 导体圆柱面的镜像 1 线电荷与接地导体圆柱面的镜像 导体圆柱面外的电位函数 由时 故 导体圆柱面上的感应电荷面密度 导体圆柱面上单位长度的感应电荷 感应电荷与镜像电荷相等 四 导体圆柱面的镜像 2 两平行导体圆柱面的镜像 特点 两圆柱带电导体的电场互相影响 使导体表面的电荷分布不均匀 相对一侧电荷密度大 而相背一侧电荷密度较小 分析方法 将导体表面上的电荷用线密度分别为 且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代 问题 两平行导体圆柱半径均为a 轴线间距为2h 单位长度分别带电荷和 四 导体圆柱面的镜像 2 两平行导体圆柱面的镜像 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴 因而这种方法又称为电轴法 由 利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 由对称性 五 无限大介质分界平面的镜像 1 点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 问题 求解空间中的电位分布 上半空间及下半空间 特点 在介质分界面上存在极化电荷分布空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生 问题 如何确定镜像电荷 五 无限大介质分界平面的镜像 1 点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 计算上半空间中的电位 由镜像法 镜像电荷须位于下半空间 计算下半空间中的电位 由镜像法 镜像电荷须位于上半空间 问题 由边界条件来确定 五 无限大介质分界平面的镜像 1 点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 介质1中的电位为 介质2中的电位为 待求 五 无限大介质分界平面的镜像 1 点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 由电位的边界条件 点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷 对位于无限大平表面介质分界面附近 且平行于分界面的无限长线电荷 单位长度带 其镜像电荷为 五 无限大介质分界平面的镜像 2 线电流与无限大磁介质分界平面的镜像 特点 分界面上有磁化电流分布空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生 计算磁介质1中的磁场时 用图2所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流 计算磁介质2中的磁场时 用图3所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流 五 无限大介质分界平面的镜像 2 线电流与无限大磁介质分界平面的镜像 电流沿轴方向流动 则矢量磁位A也只有轴向分量 磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为 利用矢量磁位满足的边界条件 解 移动电荷q时 外力需要克服电场力做功 而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷 由镜像法 感应电荷的电场可以用像电荷q q替代 当电荷q移至x时 像电荷q 应位于 x 则有 例1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d 如果把它移至无穷远处 外力 需要做多少功 q q x 0 d d 六 典型例题 六 典型例题 例2 真空中一点电荷Q位于导体球附近 导体球半径为a 点电荷距离球心距离为d d a 求 1 导体球接地时球外空间电位分布及电荷Q所受的电场力 2 导体球未接地时空间电位分布及电荷Q所受的电场力 解 1 当导体球接地时 由镜像法 原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q 不存在边界的问题 易知 则球外空间任意点处电位为 六 典型例题 续例2 电荷Q受静电力为 2 当导体球不接地时 由镜像法 原问题可等效为空间只存在Q和镜像电荷q 和q 不存在边界的问题 易知 位置位于球心 则球外空间任意点处电位为 六 典型例题 例3 在接地导体平面上 有一半径为a的半球形导体凸部 半球球心位于导体面上 半球对称轴上有一点电荷q距离球心为d d a 求 1 空间中的电位分布 2 电荷q所受到的静电力 解 1 由镜像法 导体面上的感应电荷等效为3个镜像电荷 导体外空间任意点处电位为 q q q 位于 位于 位于 q 续例3 六 典型例题 点电荷所受静电力 六 典型例题 思考练习题 续例4 六 典型例题