无穷级数3-7函数项级数幂级数收敛半径ppt课件

高等数学A 4 3 1函数项级数4 3 2幂级数及其收敛半径 4 3幂级数 第4章无穷级数 1 4 3幂级数 4 3 1函数项级数 函数项级数的定义 收敛点与收敛域 和函数 4 3 2幂级数及其收敛性 幂级数的定义 阿贝尔 Abel 定理 收敛半径与收敛域 标准幂级数收敛半径的求法 标准幂级数收敛域的求法习例1 一般幂级数收敛域的求法 一般幂级数收敛域的求法习例2 3 内容小结与思考 注解 演练例题 幂级数 2 一 函数项级数 1 定义 3 2 收敛点与收敛域 4 函数项级数的部分和 余项 x在收敛域上 注意 3 和函数 定义域是 函数项级数在某点x的收敛问题 实质上是数项级数的收敛问题 的收敛域 5 例如 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如 级数 级数发散 所以级数的收敛域仅为 有和函数 6 二 幂级数及其收敛性 1 定义 7 注1因经变换后 幂级数 1 与 2 可相互转化 故下面主要讨论形式 1 的幂级数 类似地 有幂级数的收敛域 和函数的定义 8 例1 解 9 2 阿贝尔 Abel 定理 证 10 由结论 1 11 注意 Abel定理对标准幂级数给出 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 12 推论 13 3 收敛半径与收敛域 收敛区间 定义 正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛区间是开区间 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况 14 4 标准幂级数收敛半径 收敛域的求法 定理2 15 证 则比值审敛法得 16 1 定理证毕 17 18 例2求下列幂级数的收敛半径和收敛域 标准幂级数收敛域的求法习例 19 解 收敛 绝对收敛 20 解 发散 发散 21 解 22 解 23 5 一般幂级数收敛域的求法 方法1 2 由标准幂级数收敛域的求法可得 24 方法2 用比值法讨论 25 例3 一般幂级数收敛域的求法习例 26 例3 解 方法一 27 方法二 由比值法得 28 注意 3 求一般函数项级数的收敛域时 可直接用比值法讨论 29 解 缺少偶次幂的项 级数绝对收敛 级数发散 30 级数发散 级数发散 原级数的收敛域为 31 注解我们所说的 求幂级数的收敛半径及收敛区域 都是 如 对标准幂级数 而言的 但形 非标准幂级数 下步骤求收敛半径和收敛区域 直接用上述方法求 收敛半径和收敛区间 却不能 而只能是采用如 32 第一步 用变量代换把它们化为标准幂级数 如令变量代换 第二步 求变换后的新的标准幂级数的收敛半径及收敛区间 第三步 将新的标准幂级数的收敛半径和收敛端点回代到变量代换中去 求出原级数的收敛区域 或用达朗贝尔判断方法去判断 33 演练例题求下列幂级数的收敛半径及收敛域 34 例求下列幂级数的收敛半径及收敛域 则原级数变为 则此幂级数的收敛区间为 1 1 而当t 1时 级数收敛 而当t 1时 级数发散 故当 1 2x 1 1时 即 1 x 0时 级数 收敛 解 即原级数收敛域为 1 0 收敛半径为 35 则原级数变为 由 1 知 则此幂级数的收敛区间为 1 1 时 原幂级数收敛 即原级数收敛区间为 2 2 收敛半径为R 2 36 内容小结与思考 求幂级数收敛域的方法 1 对标准型幂级数 先求收敛半径 再讨论端点的收敛性 2 对非标准型幂级数 缺项或通项为复合式 求收敛半径时直接用比值法或根值法 也可通过换元化为标准型再求 思考 幂级数收敛域和收敛区间的区别 37 请同学们求下列幂级数的收敛域 38