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课时训练(十八)特殊三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于10,则它的周长是()A.20 B.25 C.20或25D.152.xx湖州 如图K18-1,AD,CE分别是ABC的中线和角平分线,若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是()图K18-1A.20B.35C.40D.703.xx郴州 如图K18-2,AOB=60,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;分别以C,D为圆心,以大于12CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为()图K18-2A.6 B.2 C.3 D.334.xx黄冈 如图K18-3,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为()图K18-3A.50B.70C.75D.805.xx淄博 如图K18-4,在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,若AN=1,则BC的长为()图K18-4A.4B.6C.43D.86.xx包头 如图K18-5,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为()图K18-5A.17.5B.12.5 C.12D.107.关注数学文化 xx长沙 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米8.xx青岛 如图K18-6,三角形纸片ABC,AB=AC,BAC=90,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是()图K18-6A.322B.32C.3D.339.xx长春 如图K18-7,在ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若A=32,则CDB的大小为度.图K18-710.关注数学文化 xx湘潭 九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图K18-8所示,ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为.图K18-811.xx曲靖 如图K18-9,在ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD.如果DE=2.5,那么ACD的周长是.图K18-912.xx连云港 如图K18-10,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断ABE与ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K18-1013.xx内江 如图K18-11,AD平分BAC,ADBD,垂足为D,DEAC.求证:BDE是等腰三角形.图K18-11|拓展提升|14.xx玉林 如图K18-12,AOB=60,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是()图K18-12A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直15.xx湖州 如图K18-13,已知在ABC中,BAC90,点D为BC的中点,点E在AC上,将CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处,连接AD,则下列结论不一定正确的是()图K18-13A.AE=EFB.AB=2DEC.ADF和ADE的面积相等D.ADE和FDE的面积相等16.xx娄底 如图K18-14,ABC中,AB=AC,ADBC于D点,DEAB于点E,BFAC于点F,DE=3 cm,则BF=_cm.图K18-1417.xx永州 现有A,B两个储油罐,它们相距2 km,计划修建一条笔直的输油管道,使得A,B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5 km,输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有种.参考答案1.B解析 当5为腰,10为底时,5+5=10,不能构成三角形;当10为腰,5为底时,5+1010,能构成三角形,等腰三角形的周长为10+10+5=25.2.B解析 ABC是等腰三角形,AD是其底边上的中线,AD也是底边上的高线,ACB=90-CAD=70.又CE是ACB的平分线,ACE=12ACB=35.3.C解析 过点M作MEOB于点E,由题意可得:OP是AOB的平分线,则POB=1260=30,ME=12OM=3.故选C.4.B解析 DE垂直平分AC,AD=CD,DAC=C=25,ADB=DAC+C=25+25=50.在ABD中,BAD=180-B-BDA=180-60-50=70.故选B.5.B解析 在RtABC中,CM平分ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点N,且MN平分AMC,AMN=NMC=B,NCM=BCM=NMC,ACB=2B,NM=NC,B=30,AN=1,MN=2,AC=AN+NC=3,BC=6,故选B.6.D解析 由C+BAC=145得知B=35.由AB=AC得知B=C=35.由等腰直角三角形的性质可得AED=45,又AED=EDC+C,EDC=45-35=10.7.A解析 52+122=132,此三角形为直角三角形,又5里=5500米=2500米=2.5千米,12里=12500米=6000米=6千米,S=1262.5=7.5(平方千米).8.B解析 在ABC中,AB=AC,BAC=90,B=45.由折叠的性质可得BAF=B=45,AFB=180-B-BAF=90.在RtABF中,点E是AB的中点,EF是斜边AB上的中线,AB=2EF=232=3.在RtABC中,AB=AC=3,根据勾股定理,得BC=32+32=32.9.37解析 AB=AC,A=32,ACB=12(180-A)=12(180-32)=74.由已知得CB=CD,CBD=CDB.ACB是CBD的一个外角,ACB=CBD+CDB,CDB=12ACB=1274=37.10.x2+9=(10-x)2解析 根据AC+AB=10,其中AC=x,则AB=10-x,在RtABC中,利用勾股定理得AB2=AC2+BC2,代入数据即可得到:x2+9=(10-x)2.11.18解析 易知DE是ABC的中位线,所以AC=5,由于AB=13,BC=12,52+122=132,因此ABC是直角三角形,ACB=90,CD是斜边AB上的中线,因此CD=12AB=6.5,而AD=6.5,AC=5,所以ACD的周长是6.5+6.5+5=18.12.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因为AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABEACD,所以ABE=ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.13.证明:如图所示,DEAC,1=3.AD平分BAC,1=2,2=3.ADBD,2+B=90,3+BDE=90,B=BDE,BE=DE,BDE是等腰三角形.14.A解析 如图,AOB=60,OA=OB,AOB是等边三角形,AO=AB.ACD是等边三角形,AC=AD.又OAB=CAD=60,1=2,AOCABD(SAS),ABD=AOC=60,ABD=OAB,BDOA.15.C解析 连接CF.由折叠的性质可知CD=DF,CE=EF,DE是CF的垂直平分线.又DC=DF=DB,BFC是直角三角形,BFFC,DEBF.又点D是BC的中点,DE是ABC的中位线,AE=EC=EF,AB=2DE,SADE=SFDE,故选项A,B,D正确.由题意无法得出AD与EF平行,ADF与ADE的面积不一定相等,故不一定正确的是选项C.16.6解析 在ABC中,AB=AC,ADBC,所以AD平分BAC,又DEAB,过D作DGAC于G,则DG=DE=3 cm,BFDG.再根据等腰三角形三线合一的性质,知D是BC边中点,由此可得BF=2DG=6 cm.17.4解析 如图,设AB中点为O,则AO=BO=1 km,直线l1与l2经过点O,且与直线AB的夹角等于30(即AOM=BON=AOP=BOQ=30),过A作APl1于点P,AMl2于点M,垂足分别为P,M;过B作BQl1于点Q,BNl2于点N,垂足分别为Q,N.根据直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半,得AP=AM=BQ=BN=0.5 km.直线l3,l4与直线AB的距离为0.5 km,则直线l1,l2,l3,l4是符合要求的直线.
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