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专题训练(四)与圆有关的计算和证明1.xx庆阳如图ZT4-1,AN是M的直径,NBx轴,AB交M于点C.点A(0,6),N(0,2),ABN=30.图ZT4-1 (1)求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是M的切线.2.xx巴中如图ZT4-2,AH是O的直径,AE平分FAH,交O于点E,过点E的直线FGAF,垂足为F,B为半径OH上一点,点E,F分别在矩形ABCD的边BC和CD上.图ZT4-2 (1)求证:直线FG是O的切线.(2)若AF=12,BE=6,求FCAD的值.3.xx贵港如图ZT4-3,已知O是ABC的外接圆,且AB=BC=CD,ABCD,连接BD.图ZT4-3 (1)求证:BD是O的切线;(2)若AB=10,cosBAC=35,求BD的长及O的半径.4.xx曲靖如图ZT4-4,AB为O的直径,点C为O上一点,将BC沿直线BC翻折,使BC的中点D恰好与圆心O重合,连接OC,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作MPB=ADC.图ZT4-4 (1)判断PM与O的位置关系,并说明理由;(2)若PC=3,求四边形OCDB的面积.5.xx内江如图ZT4-5,在O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接AC,点E在AB上,且AE=CE.(1)求证:AC2=AEAB;(2)过点B作O的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等,并说明理由;(3)设O的半径为4,点N为OC中点,点Q在O上,求线段PQ的最小值.图ZT4-56.xx广东如图ZT4-6,四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的O经过点C,连接AC,OD交于点E.图ZT4-6 (1)证明:ODBC;(2)若tanABC=2,证明:DA与O相切;(3)在(2)的条件下,连接BD交O于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.参考答案1.解:(1)A的坐标为(0,6),N(0,2),AN=4.ABN=30,ANB=90,AB=2AN=8,由勾股定理可知NB=43,B(43,2).(2)证明:连接MC,NC.AN是M的直径,ACN=90,NCB=90.在RtNCB中,D为NB的中点,CD=12NB=ND,CND=NCD,MC=MN,MCN=MNC.MNC+CND=90,MCN+NCD=90,即MCCD.直线CD是M的切线.2.解:(1)证明:连接OE.OA=OE,OAE=OEA.AE平分FAH,HAE=EAF,FAE=OEA,OEAF,OEG=AFG.又AFFG,AFG=90,OEG=AFG=90,OEFG,直线FG是O的切线.(2)四边形ABCD为矩形,BEAB.EFAF,又AE平分FAB,EF=BE=6.又四边形ABCD为矩形,D=C=90.D=90,DAF+AFD=90.又AFFG,AFG=90,AFD+CFE=90,DAF=CFE.又D=C,ADFFCE,FCAD=EFAF.FCAD=612=12.3.解:(1)连接BO并延长交AC于H,由于O是ABC的外接圆,AB=BC,则BHAC且AH=CH,又AB=CD,ABCD,四边形ABDC是平行四边形,ACBD,BHBD,即OBBD,BD是O的切线.(2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2ABcosBAC=21035=12.BD=12.设圆的半径为r,OH=x,则有r+x=BH,连接AO,在RtOAH中,AH2+x2=r2,又BH=AB2-AH2=102-62=8,r+x=8.又由AH2+x2=r2得,(r+x)(r-x)=AH2=36,r-x=92.,联立,解得r=254,O的半径为254.4.解:(1)过点O作OHPM,连接OD交BC于点E,由于点D为BC中点,且沿BC折叠与O重合,所以OD垂直平分BC,OE=12OD=12OB,所以OBC=30,所以ADC=MPB=30,则POH=60,又因为POC=2OBC=60,所以POH=POC,又因为PHO=PCO,PO=PO,所以PHOPCO,所以OH=OC,直线PM到圆心的距离等于半径,且OHPM,因此PM是O的切线.(2)由于D是BC中点,且沿BC折叠与点O重合,所以OB=DB,OC=CD,又因为OC=OB,所以OC=CD=DB=BO,所以COD是等边三角形,四边形OCDB是菱形,由(1)得出CPO=HPO=30,所以OC=PCtan30=333=1,则四边形OCDB的面积为2121132=32,因此四边形OCDB的面积为32.5.解:(1)证明:如图,连接BC,CDAB,CB=CA,CAB=CBA.又AE=CE,CAE=ACE.ACE=ABC.CAE=BAC,CAEBAC.ACAB=AEAC,即AC2=AEAB.(2)PB=PE.理由如下:如图,连接BD,OB.CD是直径,CBD=90.BP是O的切线,OBP=90.BCD+D=PBC+OBC=90.OB=OC,OBC=OCB.PBC=D.A=D,PBC=A.ACE=ABC,PEB=A+ACE,PBN=PBC+ABC,PEB=PBN.PE=PB.(3)如图,连接PO交O于点Q,则此时线段PQ有最小值.N是OC的中点,ON=2.OB=4,OBN=30,PBE=60.PE=PB,PEB是等边三角形.PEB=60,PB=BE.在RtBON中,BN=OB2-ON2=42-22=23.在RtCEN中,EN=CNtan60=23=233.BE=BN+EN=833.PB=BE=833.PQ=PO-OQ=OB2+PB2-OQ=42+(833)2-4=4321-4.6.解析 (1)连接OC,由SSS可证得OADOCD,得ADO=CDO,由AD=CD可证DEAC,再由AB为直径证得BCAC,从而得ODBC;(2)根据tanABC=2,可设BC=a,则AC=2a,AD=AB=AC2+BC2=5a,由OE为中位线知OE=12a,AE=CE=12AC=a,进一步求得DE=AD2-AE2=2a,在AOD中利用勾股定理的逆定理证OAD=90即可;(3)先证AFDBAD,得DFBD=AD2,再证AEDOAD,得ODDE=AD2,从而可得DFBD=ODDE,即DFOD=DEBD,结合EDF=BDO知EDFBDO,据此可得EFOB=DEBD,结合(2)所得相关线段的长,代入计算可得.解:(1)证明:连接OC,在OAD和OCD中,OA=OC,AD=CD,OD=OD,OADOCD(SSS),ADO=CDO.AD=CD,DEAC,AEO=90.AB为O的直径,ACB=90,AEO=ACB,ODBC.(2)证明:tanABC=ACBC=2,设BC=a,则AC=2a,AD=AB=AC2+BC2=5a.OEBC,且AO=BO,OE=12BC=12a,AE=CE=12AC=a.在AED中,DE=AD2-AE2=2a.在AOD中,AO2+AD2=52a2+(5a)2=254a2,OD2=(OE+DE)2=12a+2a2=254a2,AO2+AD2=OD2,OAD=90,则DA与O相切.(3)连接AF,AB是O的直径,AFD=BAD=90,又ADF=BDA,AFDBAD,DFAD=ADBD,即DFBD=AD2.AED=OAD=90,ADE=ODA,AEDOAD,ADOD=DEAD,即ODDE=AD2.由可得DFBD=ODDE,即DFOD=DEBD,又EDF=BDO,EDFBDO,BC=1,AB=AD=5,OD=52,ED=2,BD=10,OB=52,EFOB=DEBD,即EF52=210,解得EF=22.
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