伯努利试验ppt课件

伯努利试验的求解与应用 数学软件课程设计 1 丹尼尔伯努利 1700年2月8日生于荷兰格罗宁根 著名的伯努利家族中最杰出的一位 受父兄影响 一直很喜欢数学 1724年 他在威尼斯旅途中发表 数学练习 引起学术界关注 并被邀请到圣彼得堡科学院工作 同年 他还用变量分离法解决了微分方程中的里卡提方程 1725年 25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授 1727年 20岁的欧拉 后人将他与阿基米德 艾萨克 牛顿 高斯并列为数学史上的 四杰 到圣彼得堡成为丹尼尔的助手 伯努利生平 2 是在同样的条件下重复地 各次之间相互独立地进行的一种试验 这种试验中 每一次试验只有两种结果 即某事件A要么发生 要么不发生 并且每次发生的概率都是相同的 判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变 并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关 重复是指试验为一系列的试验 并非一次试验 而是多次 但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响 伯努利试验概念 伯努利试验特征 如何判断伯努利试验 3 伯努利试验应用条件 多为计算独立重复试验中 事件恰好发生的概率 伯努利试验公式 如果在1次试验中某事件发生的概率是P 那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发生k次的概率记作Pn k 则C n k p的K次方 1 P 的n K次方 有关伯努利试验的求解 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率 1 事件A在第K次试验中首次 发生 的概率 2 n次试验中事件A恰有K次 发生 的概率 4 在n重伯努利试验中 设P A p 其中0 p 1 则 1 事件A在第K次试验中首次 发生 的概率为 2 n次试验中事件A恰有K次 发生 的概率为 K 0 1 2 n 5 独立重复试验的特点 1 每次试验只有两种结果 要么发生 要么不发生 2 任何一次试验中 A事件发生的概率相同 即相互独立 互不影响试验的结果 6 图钉扔出后 哪种情况出现的可能性大 为了研究这个问题 2003年北京市某学校高一 5 班的学生做了如下试验 在相同条件下大量重复掷一枚图钉 观察 钉尖朝上 出现频率的变化情况 1 每人手捏一枚图钉的钉尖 钉帽在下 从1 2米的高度让图钉自由下落 2 重复200次 记录下 钉尖朝上 出现的次数 7 下图是汇总这个班上六位同学的数据后画出来的频率图 观察上图 在大量重复试验的情况下 出现 钉尖朝上 的频率会呈现出稳定性 即频率在一个 常数 附近摆动 随着试验次数的增加 摆动的幅度具有越来越小的趋势 有时候试验也可能出现频率偏离 常数 较大的情形 但是随着试验次数的增大 频率偏离 常数 大的可能性越小 8 投掷一枚图钉 设针尖向上的概率为p 则针尖向下的概率为q 1 p 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次针尖向上的概率是多少 连续掷一枚图钉3次 就是做3次独立重复试验 用表示第i次掷得针尖向上的事件 用表示 仅出现一次针尖向上 的事件 则 由于事件彼此互斥 由概率加法公式得 所以 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次针尖向上的概率是 9 伯努利试验在实际中的应用伯努利 Bernoulli 试验是一种非常重要的概率模型 它是 在同样条件下进行重复试验 的一种数学模型 历史上 伯努利概型是概率论中最早研究的模型之一 在理论上具有重要意义 并且在工业产品质量检验 群体遗传学等方面都具有广泛的实际应用 由伯努利试验 n重伯努利试验和推广的伯努利试验 不难得出下列几种概率分布 伯努利分布 二项分布 几何分布 帕斯卡分布及多项分布 10 母鸡下蛋问题 在一群母鸡中 每只母鸡的年产蛋量可以用泊松分布来描述 把一年时间T分成n等分 取n充分大 每一个等分的间隔 t T n充分小 于是在 t的时间内 母鸡或者下一个蛋 或者不下蛋 设在 t的时间内下一个蛋的概率为p 并且在各个时间间隔内是否下蛋假定是相互独立的 这就构成了一个伯努利概型 于是在一年中下k个蛋的概率就是B k n p 泊松定理得 所以每只母鸡每年下蛋的个数X服从参数为 0 的poisson分布 记为X P 若每个鸡蛋能孵化成小鸡的概率为p 且各个鸡蛋能否孵化成小鸡彼此独立 设每只母鸡有Y只下一代小鸡 则Y为随机变量 设事件A表示 每只母鸡有k只下一代小鸡 则由全概率公式得 P A 所以此鸡下一代的个数Y服从参数为 p的泊松分布 记为Y P p 11 12 谢谢观赏 13