备战2019高考数学大二轮复习 专题二 函数与导数 2.3.2 利用导数解不等式及参数的取值范围课件 理.ppt

二 利用导数解不等式及参数的取值范围 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用导数证明不等式 思考 如何利用导数证明不等式 例1已知函数f x ax2 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 由x0 0 1 得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思利用导数证明不等式 主要是构造函数 通过导数判断函数的单调性 由函数的单调性证明不等式成立 或通过求函数的最值 当该函数的最大值或最小值使不等式成立时 则不等式是恒成立 从而可将不等式的证明转化为求函数的最值 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1 2018全国 理21 已知函数f x ex ax2 1 若a 1 证明 当x 0时 f x 1 2 若f x 在区间 0 内只有一个零点 求a 1 证明当a 1时 f x 1等价于 x2 1 e x 1 0 设函数g x x2 1 e x 1 则g x x2 2x 1 e x x 1 2e x 当x 1时 g x 0 h x 没有零点 ii 当a 0时 h x ax x 2 e x 当x 0 2 时 h x 0 所以h x 在区间 0 2 内单调递减 在区间 2 内单调递增 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用导数解与不等式恒成立有关的问题 思考 求解不等式的恒成立问题和有解问题 无解问题的基本方法有哪些 例2已知函数f x ax bx a 0 b 0 a 1 b 1 1 设a 2 b 求方程f x 2的根 若对于任意x R 不等式f 2x mf x 6恒成立 求实数m的最大值 2 若01 函数g x f x 2有且只有1个零点 求ab的值 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思1 不等式的恒成立问题和有解问题 无解问题的解题方法是依据不等式的特点 进行等价变形 构造函数 借助函数的图象观察或参变分离 转化为求函数的最值问题来处理 如不等式f x g x 恒成立的处理方法一般是构造F x f x g x F x min 0 或分离参数 将不等式等价变形为a h x 或a h x 进而转化为求函数h x 的最值 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练2已知函数f x ex ax 1 x R 1 当a 2时 求f x 的图象在点 0 f 0 处的切线方程 2 若对任意x 0都有f x 0恒成立 求实数a的取值范围 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解 1 因为当a 2时 f x ex 2x 1 所以f 0 0 f x ex 2 x 所以f 0 1 所以所求切线方程为y x 2 f x ex x a 令h x f x ex x a 则h x ex 1 当x 0时 h x 0 f x 单调递增 所以f x f 0 1 a 当a 1时 f x 0 f x 在区间 0 内单调递增 f x f 0 0恒成立 当a 1时 存在x0 0 使f x0 0 则f x 在区间 0 x0 内单调递减 在区间 x0 内单调递增 则当x 0 x0 时 f x f 0 0 不合题意 综上所述 实数a的取值范围为 1 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用导数解函数中的探索性问题 思考 解决探索性问题的常用方法有哪些 例3设函数f x 定义在区间 0 上 f 1 0 导函数f x g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 2 讨论g x 与g的大小关系 3 是否存在x0 0 使得 g x g x0 0成立 若存在 求出x0的取值范围 若不存在 请说明理由 命题热点一 命题热点二 命题热点三 当x 0 1 时 g x 0 则 1 是g x 的单调递增区间 所以x 1是g x 的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 故最小值为g 1 1 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思解决探索性问题的常用方法 1 从最简单 最特殊的情况出发 有时也可借助直觉观察或判断 推测出命题的结论 必要时给出严格证明 2 假设结论存在 若推证无矛盾 则结论存在 若推出矛盾 则结论不存在 3 使用等价转化思想 找出命题成立的充要条件 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练3设函数f x x a lnx g x 已知曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线与直线2x y 0平行 1 求a的值 2 是否存在自然数k 使得方程f x g x 在 k k 1 内存在唯一的根 如果存在 求出k 如果不存在 请说明理由 3 设函数m x min f x g x min p q 表示p q中的较小值 求m x 的最大值 解 1 由题意知 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为2 所以f 1 2 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 规律总结 拓展演练 1 无论是不等式的证明 解不等式 还是不等式的恒成立问题 有解问题 无解问题 构造函数 运用函数的思想 利用导数研究函数的性质 单调性和最值 达到解题的目的 是一成不变的思路 合理构思 善于从不同角度分析问题是解题的法宝 2 当利用导数求解含参数的问题时 首先 要具备必要的基础知识 导数的几何意义 导数在单调性上的应用 函数的极值求法 最值求法等 其次 要灵活掌握各种解题方法和运算技巧 比如参变分离法 分类讨论思想和数形结合思想等 当涉及函数的极值和最值问题时 一般情况下先求导函数 然后观察能否分解因式 若能 则比较根的大小 并与定义域比较位置关系 分段考虑导函数符号 划分单调区间 判断函数的大致图象 若不能 则考虑二次求导 研究函数是否具有单调性 规律总结 拓展演练 答案 解析 规律总结 拓展演练 2 已知函数f x ex mx 1的图象为曲线C 若曲线C存在与直线y x垂直的切线 则实数m的取值范围是 答案 解析 规律总结 拓展演练 3 若函数f x 2lnx x2 5x c在区间 m m 1 内为减函数 则m的取值范围是 答案 解析 规律总结 拓展演练 4 已知函数f x x2 ax a 1 lnx a 1 1 求f x 的单调区间 2 若g x 2 a x lnx f x g x 在区间 e 上恒成立 求a的取值范围 故f x 在区间 0 上单调递增 若a 11 则10 故f x 在区间 a 1 1 内单调递减 在区间 0 a 1 1 内单调递增 规律总结 拓展演练 若a 1 1 即a 2 同理可得f x 在区间 1 a 1 内单调递减 在区间 0 1 a 1 内单调递增 规律总结 拓展演练 5 已知函数f x x 1 alnx 1 若f x 0 求a的值 规律总结 拓展演练 解 1 f x 的定义域为 0 所以f x 在区间 0 a 单调递减 在区间 a 单调递增 故x a是f x 在区间 0 的唯一最小值点 由于f 1 0 所以当且仅当a 1时 f x 0 故a 1 规律总结 拓展演练