全国通用版2019高考数学二轮复习专题二数列第3讲数列的综合问题课件文.ppt

第3讲数列的综合问题 专题二数列 板块三专题突破核心考点 考情考向分析 1 数列的综合问题 往往将数列与函数 不等式结合 探求数列中的最值或证明不等式 2 以等差数列 等比数列为背景 利用函数观点探求参数的值或范围 3 将数列与实际应用问题相结合 考查数学建模和数学应用能力 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1 数列 an 中 an与Sn的关系 热点一利用Sn an的关系式求an 2 求数列通项的常用方法 1 公式法 利用等差 比 数列求通项公式 2 在已知数列 an 中 满足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用累加法求数列的通项an 3 在已知数列 an 中 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用累乘法求数列的通项an 4 将递推关系进行变换 转化为常见数列 等差 等比数列 解答 例1已知等差数列 an 中 a2 2 a3 a5 8 数列 bn 中 b1 2 其前n项和Sn满足 bn 1 Sn 2 n N 1 求数列 an bn 的通项公式 解 a2 2 a3 a5 8 2 d 2 3d 8 d 1 an n n N bn 1 Sn 2 n N bn Sn 1 2 n N n 2 由 得bn 1 bn Sn Sn 1 bn n N n 2 bn 1 2bn n N n 2 b1 2 b2 2b1 bn 是首项为2 公比为2的等比数列 bn 2n n N 解答 两式相减 得 给出Sn与an的递推关系 求an 常用思路 一是利用Sn Sn 1 an n 2 转化为an的递推关系 再求其通项公式 二是转化为Sn的递推关系 先求出Sn与n之间的关系 再求an 解答 跟踪演练1 2018 绵阳诊断性考试 已知正项数列 an 的前n项和Sn满足 a1an S1 Sn 1 求数列 an 的通项公式 解由已知a1an S1 Sn 可得 由 an 是正项数列 故a1 2 当n 2时 由已知可得2an 2 Sn 2an 1 2 Sn 1 数列 an 是以2为首项 2为公比的等比数列 故an 2n 数列 an 的通项公式为an 2n n N 解答 显然 bn 是等差数列 热点二数列与函数 不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景 给出数列所满足的条件 通常利用点在曲线上给出Sn的表达式 还有以曲线上的切点为背景的问题 解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系 将条件进行准确的转化 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体 考查最值问题 不等关系或恒成立问题 解答 例2设fn x x x2 xn 1 x 0 n N n 2 1 求fn 2 解由题设fn x 1 2x nxn 1 所以fn 2 1 2 2 n 1 2n 2 n 2n 1 则2fn 2 2 2 22 n 1 2n 1 n 2n 由 得 fn 2 1 2 22 2n 1 n 2n 所以fn 2 n 1 2n 1 证明 证明因为fn 0 1 0 又fn x 1 2x nxn 1 0 解决数列与函数 不等式的综合问题要注意以下几点 1 数列是一类特殊的函数 函数定义域是正整数 在求数列最值或不等关系时要特别重视 2 解题时准确构造函数 利用函数性质时注意限制条件 3 不等关系证明中进行适当的放缩 跟踪演练2 2018 泉州质检 记数列 an 的前n项和为Sn 已知1 an Sn成等差数列 1 求 an 的通项公式 解答 解由已知1 an Sn成等差数列 得2an Sn 1 当n 1时 2a1 S1 1 所以a1 1 当n 2时 2an 1 Sn 1 1 则数列 an 是以a1 1为首项 q 2为公比的等比数列 所以an a1qn 1 1 2n 1 2n 1 n N 证明 所以b1 b2 bn 用数列知识解相关的实际问题 关键是合理建立数学模型 数列模型 弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型 它的首项是什么 项数是多少 然后转化为解数列问题 求解时 要明确目标 即搞清是求和 还是求通项 还是解递推关系问题 所求结论对应的是解方程问题 还是解不等式问题 还是最值问题 然后进行合理推算 得出实际问题的结果 热点三数列的实际应用 解答 例3科学研究证实 二氧化碳等温室气体的排放 简称碳排放 对全球气候和生态环境产生了负面影响 环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨 否则将采取紧急限排措施 已知A市2017年的碳排放总量为400万吨 通过技术改造和倡导低碳生活等措施 此后每年的碳排放总量比上一年的碳排放总量减少10 同时 因经济发展和人口增加等因素 每年又新增加碳排放量m万吨 m 0 1 求A市2019年的碳排放总量 用含m的式子表示 解设2018年的碳排放总量为a1 2019年的碳排放总量为a2 由已知 a1 400 0 9 m a2 0 9 400 0 9 m m 400 0 92 0 9m m 324 1 9m 解答 2 若A市永远不需要采取紧急限排措施 求m的取值范围 解a3 0 9 400 0 92 0 9m m m 400 0 93 0 92m 0 9m m an 400 0 9n 0 9n 1m 0 9n 2m 0 9m m 400 10m 0 9n 10m 由已知 n N an 550 1 当400 10m 0 即m 40时 显然满足题意 2 当400 10m 0 即m 40时 由指数函数的性质可得 400 10m 0 9 10m 550 解得m 190 综合得m40时 由指数函数的性质可得10m 550 解得m 55 综合得40 m 55 综上可得所求m的范围是 0 55 常见数列应用题模型的求解方法 1 产值模型 原来产值的基础数为N 平均增长率为p 对于时间n的总产值y N 1 p n 2 银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期的利率为r 存期为n 则本利和y a 1 r n 3 银行储蓄单利公式 利息按单利计算 本金为a元 每期的利率为r 存期为n 则本利和y a 1 nr 4 分期付款模型 a为贷款总额 r为年利率 b为等额还款数 则b 跟踪演练3 2018 上海崇明区模拟 2016年崇明区政府投资8千万元启动休闲体育新乡村旅游项目 规划从2017年起 在今后的若干年内 每年继续投资2千万元用于此项目 2016年该项目的净收入为5百万元 并预测在相当长的年份里 每年的净收入均在上一年的基础上增长50 记2016年为第1年 f n 为第1年至此后第n n N 年的累计利润 注 含第n年 累计利润 累计净收入 累计投入 单位 千万元 且当f n 为正值时 认为该项目赢利 解答 1 试求f n 的表达式 解由题意知 第1年至此后第n n N 年的累计投入为8 2 n 1 2n 6 千万元 第1年至此后第n n N 年的累计净收入为 解答 2 根据预测 该项目将从哪一年开始并持续赢利 请说明理由 当n 3时 f n 1 f n 0 故当n 4时 f n 递增 该项目将从第8年开始并持续赢利 答 该项目将从2023年开始并持续赢利 x 4 从而当x 1 4 时 f x 0 f x 单调递增 该项目将从第8年开始并持续赢利 答 该项目将从2023年开始并持续赢利 真题押题精练 1 2018 全国 记Sn为数列 an 的前n项和 若Sn 2an 1 则S6 真题体验 解析 63 答案 解析 Sn 2an 1 当n 2时 Sn 1 2an 1 1 an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 当n 1时 a1 S1 2a1 1 得a1 1 数列 an 是首项a1 1 公比q 2的等比数列 S6 1 26 63 2 2017 山东 已知 xn 是各项均为正数的等比数列 且x1 x2 3 x3 x2 2 1 求数列 xn 的通项公式 解答 解设数列 xn 的公比为q 所以3q2 5q 2 0 由已知得q 0 所以q 2 x1 1 因此数列 xn 的通项公式为xn 2n 1 n N 2 如图 在平面直角坐标系xOy中 依次连接点P1 x1 1 P2 x2 2 Pn 1 xn 1 n 1 得到折线P1P2 Pn 1 求由该折线与直线y 0 x x1 x xn 1所围成的区域的面积Tn 解答 解过P1 P2 Pn 1向x轴作垂线 垂足分别为Q1 Q2 Qn 1 由 1 得xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1 记梯形PnPn 1Qn 1Qn的面积为bn 所以Tn b1 b2 bn 3 2 1 5 20 7 21 2n 1 2n 3 2n 1 2n 2 又2Tn 3 20 5 21 7 22 2n 1 2n 2 2n 1 2n 1 得 Tn 3 2 1 2 22 2n 1 2n 1 2n 1 押题预测 已知数列 an 的前n项和Sn满足关系式Sn kan 1 k为不等于0的常数 1 试判断数列 an 是否为等比数列 押题依据本题综合考查数列知识 考查反证法的数学方法及逻辑推理能力 解答 押题依据 解若数列 an 是等比数列 则由n 1得a1 S1 ka2 从而a2 ka3 又取n 2 得a1 a2 S2 ka3 于是a1 0 显然矛盾 故数列 an 不是等比数列 押题依据是高考的热点问题 即数列与不等式的完美结合 其中将求数列前n项和的常用方法 裂项相消法 与 错位相减法 结合在一起 考查了综合分析问题 解决问题的能力 解答 押题依据 从而Sn an 1 当n 2时 由Sn 1 an 得an Sn Sn 1 an 1 an 从而其前n项和Sn 2n 2 n N 由 得bn n 2 记C2 1 2 1 2 20 n 2n 2 则2C2 1 20 2 21 n 2n 1 即n2 n 90 0 因为n N 且n 1 故n 9 从而最小正整数n的值是10