全国通用版2018-2019版高中数学第二章推理与证明章末复习课件新人教A版选修2 .ppt

章末复习 第二章推理与证明 学习目标 1 整合本章知识要点 2 进一步理解合情推理与演绎推理的概念 思维形式 应用等 3 进一步熟练掌握直接证明与间接证明 4 理解数学归纳法 并会用数学归纳法证明问题 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 合情推理 1 归纳推理 由到 由到的推理 2 类比推理 由到的推理 3 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 2 演绎推理 1 演绎推理 由到的推理 2 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理 对特殊情况做出的判断 一般 特殊 大前提 小前提 结论 3 直接证明和间接证明 1 直接证明的两类基本方法是和 是从已知条件推出结论的证明方法 是从结论追溯到条件的证明方法 2 间接证明的一种方法是 是从结论反面成立出发 推出矛盾的方法 4 数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 是证当n 时结论成立 第二步 归纳递推 是假设当n 时结论成立 推得当n 时结论也成立 综合法 分析法 综合法 分析法 反证法 n0 k 1 k 1 归纳推理得到的结论不一定正确 类比推理得到的结论一定正确 2 所有3的倍数都是9的倍数 某数m是3的倍数 则m一定是9的倍数 这是三段论推理 但其结论是错误的 3 综合法是直接证明 分析法是间接证明 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 思考辨析判断正误 题型探究 类型一合情推理与演绎推理 例1 1 观察下列等式 照此规律 答案 解析 答案 解析 解析题干两图中 与 PAB PA B 相对应的是三棱锥P ABC P A B C 与 PA B 两边PA PB 相对应的是三棱锥P A B C 的三条侧棱PA PB PC 与 PAB的两条边PA PB相对应的是三棱锥P ABC的三条侧棱PA PB PC 答案 解析 3 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 解析由题意可知丙不拿2和3 若丙拿1和2 则乙拿2和3 甲拿1和3 满足题意 若丙拿1和3 则乙拿2和3 甲拿1和2 不满足题意 故甲的卡片上的数字是1和3 1和3 反思与感悟 1 用归纳推理可从具体事例中发现一般规律 但应注意 仅根据一系列有限的特殊事例 所得出的一般结论不一定可靠 其结论的正确与否 还要经过严格的理论证明 2 进行类比推理时 要尽量从本质上思考 不要被表面现象所迷惑 否则 只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比 就会犯机械类比的错误 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 其结论不会超出前提所界定的范围 所以其前提和结论之间的联系是必然的 因此 在演绎推理中 只要前提及推理正确 结论必然正确 跟踪训练1 1 如图是由火柴棒拼成的图形 第n个图形由n个正方形组成 通过观察可以发现 第4个图形中有 根火柴棒 第n个图形中有 根火柴棒 解析设第n个图形中火柴棒的根数为an 可知a4 13 通过观察得到递推关系式an an 1 3 n 2 n N 所以an 3n 1 答案 解析 13 3n 1 2 若数列 an 为等差数列 Sn为其前n项和 则有性质 若Sm Sn m n N 且m n 则Sm n 0 类比上述性质 相应地 当数列 bn 为等比数列时 写出一个正确的性质 解析由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时 加减运算类比推理为乘除运算 累加类比为累乘 由此 等差数列 an 的性质类比到等比数列 bn 中为 数列 bn 为等比数列 Tm表示其前m项的积 若Tm Tn m n N m n 则Tm n 1 数列 bn 为等比数列 Tm表示其前m项的积 若Tm Tn m n N m n 则Tm n 1 答案 解析 类型二综合法与分析法 证明 证明方法一分析法 0 sin 0 1 cos 0 4cos 1 cos 1 可变形为4cos2 4cos 1 0 只需证 2cos 1 2 0 显然成立 方法二综合法 0 sin 0 反思与感悟分析法和综合法是两种思路相反的推理方法 分析法是倒溯 综合法是顺推 二者各有优缺点 分析法容易探路 且探路与表述合一 缺点是表述易错 综合法条件清晰 易于表述 因此对于难题常把二者交互运用 互补优缺 形成分析综合法 其逻辑基础是充分条件与必要条件 跟踪训练2设a b是两个正实数 且a b 求证 a3 b3 a2b ab2 证明要证a3 b3 a2b ab2成立 即需证 a b a2 ab b2 ab a b 成立 即需证a2 ab b2 ab成立 只需证a2 2ab b2 0成立 即需证 a b 2 0成立 而由已知条件可知 a b 所以a b 0 所以 a b 2 0显然成立 即a3 b3 a2b ab2 证明 类型三反证法 证明 因为x 0且y 0 所以1 x 2y且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知x y 2矛盾 反思与感悟反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题 涉及 都是 都不是 至少 至多 等形式的命题时 也常用反证法 跟踪训练3已知 ac 2 b d 求证 方程x2 ax b 0与方程x2 cx d 0中至少有一个方程有实数根 证明假设两方程都没有实数根 则 1 a2 4b2ac 即ac 2 b d 与已知矛盾 故原命题成立 证明 类型四数学归纳法 解答 下面用数学归纳法证明 2 假设当n k k 1 k N 时猜想成立 那么当n k 1时 即当n k 1时猜想成立 由 1 2 可知 对任意正整数n 猜想均成立 反思与感悟 1 用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型 其关键点在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始n0是多少 2 由n k到n k 1时 除等式两边变化的项外还要利用当n k时的式子 即利用假设 正确写出归纳证明的步骤 从而使问题得以证明 跟踪训练4观察下列四个等式 第一个式子1 1第二个式子2 3 4 9第三个式子3 4 5 6 7 25第四个式子4 5 6 7 8 9 10 49 1 按照此规律 写出第五个等式 解第5个等式 5 6 7 13 81 解答 2 请你做出一般性的猜想 并用数学归纳法证明 解答 解猜想第n个等式为n n 1 n 2 3n 2 2n 1 2 下面用数学归纳法证明 当n 1时 左边 1 右边 2 1 2 1 猜想成立 假设当n k k 1 k N 时 猜想成立 即有k k 1 k 2 3k 2 2k 1 2 那么当n k 1时 左边 k 1 k 2 3k 2 3k 1 3k 3k 1 k k 1 k 2 3k 2 2k 1 3k 3k 1 2k 1 2 2k 1 3k 3k 1 4k2 4k 1 8k 2k 1 2 2 k 1 1 2 右边 2 k 1 1 2 即当n k 1时 猜想也成立 根据 知 猜想对任意n N 都成立 达标检测 1 数列5 9 17 33 x 中的x等于A 47B 65C 63D 128解析5 22 1 9 23 1 17 24 1 33 25 1 归纳可得 x 26 1 65 1 2 3 4 5 答案 解析 解析 1 2 3 4 5 答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解析 答案 3 若a 0 b 0 则有 解析 4 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x3 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是A 方程x3 ax b 0没有实根B 方程x3 ax b 0至多有一个实数C 方程x3 ax b 0至多有两个实根D 方程x3 ax b 0恰好有两个实根解析方程x3 ax b 0至少有一个实根的反面是方程x3 ax b 0没有实根 故选A 1 2 3 4 5 答案 解答 1 2 3 4 5 左边 右边 所以等式成立 2 假设当n k k 1 k N 时等式成立 则当n k 1时 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n N 等式都成立 1 归纳和类比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整体的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推测未知 都能用于猜想 推理的结论不一定为真 有待进一步证明 2 演绎推理与合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是数学中证明的基本推理形式 也是公理化体系所采用的推理形式 另一方面 合情推理与演绎推理又是相辅相成的 前者是后者的前提 后者论证前者的可靠性 规律与方法 3 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法 直接证明的两类基本方法是综合法和分析法 综合法是从已知条件推导出结论的证明方法 分析法是由结论追溯到条件的证明方法 在解决数学问题时 常把它们结合起来使用 间接证法的一种方法是反证法 反证法是从结论反面成立出发 推出矛盾的证明方法 4 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题 证明时 它的两个步骤缺一不可 它的第一步 归纳奠基 当n n0时 结论成立 第二步 归纳递推 假设当n k时 结论成立 推得当n k 1时 结论也成立 数学归纳法是在可靠的基础上 利用命题自身具有的传递性 运用有限的步骤 两步 证明出无限的命题成立