2020高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第三节函数的奇偶性与周期性 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 最小正周期的含义 会判断 应用简单函数的周期性 栏 目 导 航 1 函数的奇偶性 f x f x f x f x 原点 y轴 2 周期性 1 周期函数 对于函数y f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的任何值时 都有 那么就称函数y f x 为周期函数 称T为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 的正数 那么这个 就叫做f x 的最小正周期 f x T f x 最小 最小正数 1 函数奇偶性的常用结论 1 如果函数f x 是偶函数 那么f x f x 2 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 3 在公共定义域内有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 B 教材母题 P19练习2 已知函数f x 3x3 2x 1 求f 2 f 2 f 2 f 2 的值 2 求f a f a f a f a 的值 高考试题 2 2017 全国卷 已知函数f x 是定义在R上的奇函数 当x 0 时 f x 2x3 x2 则f 2 解析由已知得 f 2 2 2 3 2 2 12 又函数f x 是奇函数 所以f 2 f 2 12 12 解析f 1 1 2 2 又f x 为奇函数 f 1 f 1 2 2 4 P39A组T6改编 设奇函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 则不等式f x 0的解集为 2 0 2 5 5 2019 湖南郴州摸底 若函数f x 是周期为5的奇函数 且满足f 1 1 f 2 2 则f 8 f 14 解析 T 5 f 8 f 2 f 2 2 f 14 f 1 f 1 1 f 8 f 14 2 1 1 1 自主完成 判断函数奇偶性的常用方法 1 定义法 即根据奇 偶函数的定义来判断 2 图象法 即利用奇 偶函数的对称性来判断 3 性质法 即利用在公共定义域内奇函数 偶函数的和 差 积的奇偶性来判断 考向2 函数奇偶性的应用1 已知R上的奇函数f x 满足 当x 0时 f x x2 x 1 则f f 1 等于 A 1B 1C 2D 2 解析 y f x 是奇函数 f 1 f 1 1 f f 1 f 1 1 A 2 1 1 求解析式 利用奇偶性将待求值转化到方程问题上 进而得解 2 求参数值 在定义域关于原点对称的前提下 根据奇函数满足f x f x 或偶函数满足f x f x 列等式 根据等式两侧对应相等确定参数的值 特别要注意的是 若能够确定奇函数的定义域中包含0 可以根据f 0 0列式求解 若不能确定则不可用此法 师生共研 2 设定义在R上的函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x 2x x2 则f 0 f 1 f 2 f 2019 解析 f x 2 f x 函数f x 的周期T 2 又当x 0 2 时 f x 2x x2 f 0 0 f 1 1 f 0 f 2 f 4 f 2018 0 f 1 f 3 f 5 f 2019 1 故f 0 f 1 f 2 f 2019 1010 1010 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质 对函数周期性的考查 主要涉及函数周期性的判断 利用函数周期性求值 A 函数的奇偶性 周期性以及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命制试题 其中奇偶性多与单调性相结合 而周期性常与抽象函数相结合 并以结合奇偶性求函数值为主 多以选择题 填空题形式出现 多维探究 考向1 单调性与奇偶性结合 2017 全国卷 函数f x 在 单调递减 且为奇函数 若f 1 1 则满足 1 f x 2 1的x的取值范围是 A 2 2 B 1 1 C 0 4 D 1 3 解析 f x 为奇函数 f x f x f 1 1 f 1 f 1 1 故由 1 f x 2 1 得f 1 f x 2 f 1 又f x 在 单调递减 1 x 2 1 1 x 3 D 变式探究 若将本例变为 已知偶函数f x 在 0 单调递减 f 2 0 若f x 1 0 则x的取值范围是 1 3 C 解析 f x 是奇函数 f x f x f 1 x f x 1 由f 1 x f 1 x f x 1 f x 1 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 函数f x 是周期为4的周期函数 由f x 为奇函数得f 0 0 又 f 1 x f 1 x f x 的图象关于直线x 1对称 f 2 f 0 0 f 2 0 又f 1 2 f 1 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 f 1 f 0 2 0 2 0 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 49 f 50 0 12 f 49 f 50 f 1 f 2 2 0 2 变式探究若本例中函数为偶函数 且f x 4 f x 2 f 3 2 求f 2019 的值 解 f x 4 f x 2 f x 2 4 f x 2 2 即f x 6 f x f x 是周期为6的周期函数 f 2019 f 336 6 3 f 3 2 D 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1 函数单调性与奇偶性结合 注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值问题 常利用奇偶性及周期性进行交换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 D 素养练 已知f x 是定义在R上的奇函数 且周期为2 当x 0 1 时 f x 1 x 则函数f x 在 0 2017 上的零点个数是 A 1008B 1009C 2017D 2018 解析由于f x 是定义在R上的奇函数 且周期为2 则有f 0 f 2 f 4 0 又x 1 0 时 x 0 1 则f x f x 1 x 1 x 作出函数f x 在 1 1 上的图象 并结合周期性加以延展 如图所示 可知f 1 f 3 f 5 0 故f x 在 0 2017 上的零点个数是2017 1 2018 D