2020高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第9讲 函数与方程课件.ppt

函数 导数及其应用 第二章 第九讲函数与方程 知识梳理 1 函数的零点 1 函数零点的定义对于函数y f x x D 把使 成立的实数x叫做函数y f x x D 的零点 注 函数的零点不是点 是函数f x 与x轴交点的横坐标 而不是y f x 与x轴的交点 f x 0 2 几个等价关系方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与 有交点 函数y f x 有 3 函数零点的判定 零点存在性定理 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 x轴 零点 f a f b 0 f c 0 2 二分法 1 对于在区间 a b 上连续不断且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2 给定精确度 用二分法求函数f x 零点近似值的步骤如下 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 求区间 a b 的中点c f a f b 0 一分为二 零点 计算f c 若f c 0 则c就是函数的零点 若f a f c 0 则令b c 此时零点x0 a c 若f c f b 0 则令a c 此时零点x0 c b 判断是否达到精确度 即 若 a b 则得到零点近似值a 或b 否则重复 1 有关函数零点的结论 1 若连续不断的函数f x 在定义域上是单调函数 则f x 至多有一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值可能变号 也可能不变号 4 由函数y f x 在闭区间 a b 上有零点不一定能推出f a f b 0 如图所示 所以f a f b 0是y f x 在闭区间 a b 上有零点的充分不必要条件 事实上 只有当函数图象通过零点 不是偶个零点 时 函数值才变号 即相邻两个零点之间的函数值同号 5 若函数f x 在 a b 上单调 且f x 的图象是连续不断的一条曲线 则f a f b 0 函数f x 在 a b 上只有一个零点 1 教材改编 已知函数f x 的图象是连续不断的 且有如下对应值表 在下列区间中 函数f x 必有零点的区间为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 解析 由所给的函数值的表格可以看出 x 2与x 3这两个数字对应的函数值的符号不同 即f 2 f 3 0 所以函数在 2 3 内有零点 故选B B 2 教材改编 为了求函数f x 2x 3x 7的一个零点 某同学利用计算器得到自变量x和函数f x 的部分对应值 精确度0 1 如下表所示 则方程2x 3x 7的近似解 精确到0 1 可取为 A 1 32B 1 39C 1 4D 1 3 解析 通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间 1 375 1 4375 内 故选C C C D 解析 lnx 0解得x 1 x x 2 0解得x 0或 2 g x 有三个零点 5 函数f x lnx 2x 6的零点所在的大致区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 解析 因为y lnx与y 2x 6在 0 上都是增函数 所以f x lnx 2x 6在 0 上是增函数 又f 1 4 f 2 ln2 20 所以零点在区间 2 3 上 故选C C 6 下列函数图象与x轴均有公共点 其中能用二分法求零点的是 解析 A B图中零点两侧不异号 D图不连续 故选C C 考点突破 考点1确定函数零点所在区间 自主练透 1 若函数f x 的图象是连续不断的 且f 0 0 f 1 f 2 f 4 0 则下列命题正确的是 A 函数f x 在区间 0 1 内有零点B 函数f x 在区间 1 2 内有零点C 函数f x 在区间 0 2 内有零点D 函数f x 在区间 0 4 内有零点 2 2018 河南天一大联考 函数f x x lnx 3的零点位于区间 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 例1 D C 3 2018 全国名校联考 3 若函数y ln x 1 与y 21 x的图象的交点为 x0 y0 则x0所在的区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 分析 利用零点存在定理进行判断或用数形结合法画图求解 解析 1 因为f 1 f 2 f 4 0 所以f 1 f 2 f 4 中至少有一个小于0 若f 1 0 则在 0 1 内有零点 在 0 4 内必有零点 若f 2 0 则在 0 2 内有零点 在 0 4 内必有零点 若f 4 0 则在 0 4 内有零点 故选D B 2 f 1 1 ln1 3 20 f 2 f 3 0 f x 在区间 2 3 内有零点 故选C 另解 f x 的零点即为y lnx与y 3 x图象交点的横坐标 由图可知零点位于区间 2 3 内 故选C 确定函数零点所在区间的方法 1 解方程法 当对应方程f x 0易解时 可先解方程 然后再看求得的根是否落在给定区间上 2 利用函数零点的存在性定理 首先看函数y f x 在区间 a b 上的图象是否连续 再看是否有f a f b 0 若有 则函数y f x 在区间 a b 内必有零点 3 数形结合法 通过画函数图象 观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 考点2函数零点个数的确定 师生共研 例2 3 D D 分析 画出函数图象 结合图象确定零点的个数 若方程f x 0可解 也可直接解方程求解 2 文 在同一坐标系中作出f x x g x log x 的图象 由图可知选D 理 解法一 由f2 x 5f x 4 0得f x 1或4 若f x 1 当x 0时 即5 x 1 1 1 5 x 1 2解得x 1 log52 当x 0时 即x2 4x 3 0 解得x 1或 3 若f x 4 当x 0时 5 x 1 1 4 x 1 1解得x 0或2 当x 0时即x2 4x 0 解得x 4 故所求实根个数共有7个 解法二 由f2 x 5f x 4 0得f x 1或4 由f x 图象可知 f x 1有4个根 f x 4有3个根 方程f2 x 5f x 4 0有7个根 函数零点个数的判定有下列几种方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 那么有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求函数在 a b 上是连续的曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合法 利用函数y f x 的图象与x轴的交点的个数 从而判定零点的个数 或转化为两个函数图象交点个数问题 画两个函数图象 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 变式训练1 2 C 考点3函数零点的应用 多维探究 例3 D 例4 C 1 比较零点大小常用方法 1 确定零点取值范围 进而比较大小 2 数形结合法 2 已知函数有零点 方程有根 求参数值常用的方法和思路 1 直接法 直接求解方程得到方程的根 再通过解不等式确定参数范围 2 分离参数法 先将参数分离 转化成求函数值域问题加以解决 3 数形结合 先对解析式变形 在同一平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后观察求解 1 角度1 文 2018 安徽蚌埠月考 已知函数f x 2x x g x log2x x h x x3 x的零点依次为a b c 则a b c的大小关系为 A ab cD c a b 理 已知e是自然对数的底数 函数f x ex x 2的零点为a g x lnx x 2的零点为b 则f a f 1 f b 的大小关系为 B 变式训练2 f a f 1 f b D 分析 解法一 依据零点存在定理 确定a b c所在区间 进而比较大小 解法二 分别作出y 3x y log3x y x3与y x的图象 比较其交点横坐标的大小即可 2 当a 0时 f x 0 由y f x 的图象与x轴有两个交点 即函数y f x a有两个零点1与 2 舍去 当a0时 在平面直角坐标系中 画出y f x 的图象 观察图象可知 当a 2时 y f x 与y a才有三个交点 考点4二分法及其应用 自主练透 例5 0 0 5 f 0 25 7 1 用二分法求函数零点的方法 定区间 找中点 中值计算两边看 同号去 异号算 零点落在异号间 周而复始怎么办 精确度上来判断 2 利用二分法求近似解需注意的问题 1 在第一步中 区间长度尽量小 f a f b 的值比较容易计算且f a f b 0 2 根据函数的零点与相应方程根的关系 求函数的零点与相应方程的根是等价的 3 虽然二分法未单独考过 但有可能像算法中的 更相减损术 一样 嵌入到程序框图中去考查 名师讲坛 函数零点的综合问题 例6 5 A 以函数图象 图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础 通过作图 想象 发现该问题的相关数学知识及其联系 快速解决该问题 变式训练3 B B 解析 1 作出y 2x及y log2 x 的图象 不妨设x1 x2则2x1 log2 x1 2x2 log2 x2 由y 2x是增函数知2x1 2x2 0 x1 0 x2 0 log2 x1 log2 x2 0 即log2 x1x2 0 0 x1x2 1 故选B