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17.2勾股定理的逆定理知能演练提升能力提升1.一个三角形的两边长分别为4和5,要使该三角形为直角三角形,则第三边长为()A.3B.41C.41或3D.不确定2.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是()A.三内角之比为123B.三边长的平方之比为92516C.三边长之比为345D.三内角之比为3453.如图,若每个小正方形的边长都为1,A,B,C是小正方形的顶点,则ABC的度数为()A.90B.60C.45D.304.下列说法错误的是()A.任何命题都有逆命题B.任何定理都有逆定理C.真命题的逆命题不一定是真命题D.定理的逆定理一定是真命题5.若三角形的三边长分别等于2,6,2,则此三角形的面积为()A.22B.2C.32D.36.已知a,b,c是ABC的三边,且满足|a-3|+b-4+(c-5)2=0,则三角形是三角形.(填“直角”“钝角”或“锐角”)7.如图,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点),在这个66的方格纸中,找出格点C,使ABC是面积为1的直角三角形,点C的个数是.8.如图,在ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,ABC是等腰三角形吗?为什么?9.(xx山西灵石期中)如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30方向走60 m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100 m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.创新应用10.观察表格所给出的三个数a,b,c,abc.3,4,532+42=525,12,1352+122=1327,24,2572+242=2529,40,4192+402=412a,b,ca2+b2=c2(1)试找出它们的共同点,并证明你的结论;(2)写出当a=17时,b,c的值.11.据我国古代周髀算经记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为“勾三、股四、弦五”.(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从3起就没有间断过,计算12(9-1),12(9+1)与12(25-1),12(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能(用勾)表示7,24,25的股和弦的算式;(2)根据(1)的规律,用含n(n为奇数,且n3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,猜想它们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明;(3)继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用类似上述探索的方法,直接用含m(m为偶数,且m4)的代数式来表示它们的股和弦.参考答案能力提升1.C若5为最长边,则第三边长为52-42=3;若4和5都为直角边,则第三边长为52+42=41,故选C.2.D3.C连接AC(图略).因为每个小正方形的边长都为1,所以AB2=12+32=10,BC2=12+22=5,AC2=12+22=5,所以AB2=BC2+AC2,且BC=AC,所以ABC是等腰直角三角形,所以ABC=45.4.B5.B由三边长可确定这是直角三角形,两直角边分别为2,2,所以三角形面积为1222=2.6.直角|a-3|+b-4+(c-5)2=0,a=3,b=4,c=5,a2+b2=9+16=25=c2,ABC是直角三角形.7.6如图,当A为直角时,满足面积为1的点是C1,C2;当B为直角时,满足面积为1的点是C3,C4;当C为直角时,满足面积为1的点是C5,C6,所以满足条件的点共有6个.8.解ABC是等腰三角形.理由:在ABD中,AB2=172=289,AD2=152=225,BD2=12162=64,AB2=AD2+BD2.ABD是直角三角形.ADBC.ADC为直角三角形.AC2=AD2+DC2=152+12162=289.AB=AC.故ABC是等腰三角形.9.解沿南偏东60方向行走的.理由如下:AB=60m,BC=80m,AC=100m,AB2+BC2=AC2,ABC=90.ADNM,NBA=BAD=30.MBC=180-90-30=60.小明在河边B处取水后是沿南偏东60方向行走的.创新应用10.分析充分利用所给信息,从不同的角度去观察、分析,运用从特殊到一般的思想,来寻找总结出一般规律.解(1)以上各组数的共同点可以从以下方面分析:以上各组数均满足a2+b2=c2;最小的数a是奇数,其余的两个数是连续的正整数;最小奇数的平方等于另外两个连续整数的和.如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25由以上特点我们可以猜想并证明这样一个结论:设m为大于1的奇数,将m2拆分为两个连续的整数之和,即m2=n+(n+1),则m,n,n+1就构成一组简单的勾股数.因为m2=n+(n+1)(m为大于1的奇数),所以m2+n2=2n+1+n2=(n+1)2.故m,n,n+1是一组勾股数.(2)运用上面的结论,当a=17时,因为172=289=144+145,所以b=144,c=145.11.解(1)12(9-1)=12(32-1)=4,12(9+1)=12(32+1)=5,12(25-1)=12(52-1)=12,12(25+1)=12(52+1)=13,7,24,25的股24的算式为12(49-1)=12(72-1),弦25的算式为12(49+1)=12(72+1).(2)当n为奇数且n3时,勾、股、弦的代数式分别为n,12(n2-1),12(n2+1).例如关系式:弦-股=1;关系式:勾2+股2=弦2.证明关系式:弦-股=12(n2+1)-12(n2-1)=12(n2+1)-(n2-1)=1.证明关系式:勾2+股2=n2+12(n2-1)2=n2+14n4-12n2+14=14n4+12n2+14=14(n2+1)2.猜想得证.(3)探索得:当m为偶数且m4时,股、弦的代数式分别为m22-1,m22+1.
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