2019高考数学大二轮复习专题2函数与导数第2讲综合大题部分课件文.ppt

专题2函数与导数 第2讲综合大题部分 考情考向分析 利用导数探求函数的极值 最值是函数的基本问题 高考中常与函数零点 方程根及不等式相结合 难度较大 考点一函数的单调性 极值 最值问题1 单调性与最值 2018 南昌摸底调研 已知函数f x lnx 2mx2 n m n R 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有最大值 ln2 求m n的最小值 解析 1 函数f x 的定义域为 0 2 单调性与极值 2018 高考全国卷 已知函数f x 2 x ax2 ln 1 x 2x 1 若a 0 证明 当 1 x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 2 若x 0是f x 的极大值点 求a 当 1 x 0时 g x 0 当x 0时 g x 0 故当x 1时 g x g 0 0 且仅当x 0时 g x 0 从而f x 0 且仅当x 0时 f x 0 所以f x 在 1 单调递增 又f 0 0 故当 1 x 0时 f x 0 当x 0时 f x 0 2 若a 0 由 1 知 当x 0时 f x 2 x ln 1 x 2x 0 f 0 这与x 0是f x 的极大值点矛盾 若a 0 故h x 与f x 符号相同 又h 0 f 0 0 故x 0是f x 的极大值点 当且仅当x 0是h x 的极大值点 h x 0 所以x 0不是h x 的极大值点 则当x 1 0 时 h x 0 当x 0 1 时 h x 0 所以x 0是h x 的极大值点 从而x 0是f x 的极大值点 1 闭区间 开区间上的最值 1 求函数f x 在闭区间 a b 内的最大值和最小值的思路 若所给的闭区间 a b 不含有参数 则只需对函数f x 求导 并求f x 0在区间 a b 内的根 再计算使导数等于零的根的函数值 把该函数值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 若所给的闭区间 a b 含有参数 则需对函数f x 求导 通过对参数分类讨论 判断函数的单调性 从而得到函数f x 的最值 2 求函数f x 在非闭区间内的最大值和最小值的技巧 首先求函数的定义域和f x 其次在定义域内解不等式f x 0 得f x 的递增区间 在定义域内解不等式f x 0 得f x 的递减区间 最后数形结合 判断函数f x 有无最大值与最小值 2 已知极值点 极值 求参数已知函数f x 的极值点求参数的取值范围的关键 对函数求导得到f x 把函数含有极值点的个数问题转化为方程f x 0含有根的个数问题 把方程f x 0中含有的参数分离到方程的另一边 即g x a 通过构造函数 再次转化为两个函数y g x y a的图象的交点个数问题 画出图象 即可得到参数的取值范围 考点二方程与函数零点问题 1 若a 3 求f x 的单调区间 2 证明 f x 只有一个零点 2 证明 因为x2 x 1 0 仅当x 0时g x 0 所以g x 在 单调递增 故g x 至多有一个零点 从而f x 至多有一个零点 综上 f x 只有一个零点 3 当a 0 b 1 方程2mf x x2有唯一实数解 求正数m的值 解析 1 依题意 知f x 的定义域为 0 令f x 0 解得x 1 当00 此时f x 单调递增 当x 1时 f x 0 此时f x 单调递减 当x 0 x2 时 g x 0 g x 在 x2 单调递增 当x x2时 g x2 0 g x 取最小值g x2 因为g x 0有唯一解 所以g x2 0 所以2mlnx2 mx2 m 0 因为m 0 所以2lnx2 x2 1 0 设函数h x 2lnx x 1 因为当x 0时 h x 是增函数 所以h x 0至多有一解 因为h 1 0 所以方程 的解为x2 1 判断零点个数判断函数在某区间 a b a b 内的零点的个数时 主要思路为 一是由f a f b 0及零点存在性定理 说明在此区间上至少有一个零点 二是求导 判断函数在区间 a b 上的单调性 若函数在该区间上单调递增或递减 则说明至多只有一个零点 若函数在区间 a b a b 上不单调 则要求其最大值或最小值 借用图象法等 判断零点个数 考点三导数与不等式问题1 恒成立问题 2018 沈阳高考一模 已知函数f x x 1 2 3alnx a R 1 求函数f x 图象经过的定点坐标 2 当a 1时 求曲线f x 在点 1 f 1 处的切线方程及函数f x 单调区间 3 若对任意x 1 e f x 4恒成立 求实数a的取值范围 解析 1 当x 1时 ln1 0 f 1 4 函数f x 的图象无论a为何值都经过定点 1 4 2 当a 1时 f x x 1 2 3lnx 则切线方程为y 4 1 x 1 即y x 3 当a 0时 f x 0 f x 在 1 e 上单调递增 f x min f 1 4 f x 4不恒成立 当a 0时 设g x 2x2 2x 3a x 0 g x 在 0 上单调递增 且存在唯一x0 0 使得g x0 0 当x 0 x0 时 g x 0 即f x 0 f x 在 0 x0 上单调递减 当x x0 时 g x 0 即f x 0 f x 在 x0 上单调递增 f x 在 1 e 上的最大值f x max max f 1 f e 2 存在性问题 已知函数f x x alnx a 0 1 若a 1 求f x 的极值 解析 1 因为a 1 所以f x x lnx x 0 令f x 0 解得0 x 1 所以f x 在 0 1 上单调递减 在 1 上单调递增 故f x 的极小值是f 1 1 无极大值 当1 a e时 h x 在 1 e 上单调递减 当12 不符合题意 3 证明问题 2018 高考全国卷 已知函数f x aex lnx 1 1 设x 2是f x 的极值点 求a 并求f x 的单调区间 当0 x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 所以f x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 当0 x 1时 g x 0 当x 1时 g x 0 所以x 1是g x 的最小值点 故当x 0时 g x g 1 0 1 不等式恒成立求参数求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关 第一关是转化关 即通过分离参数法 先转化为f a g x 或f a g x 对 x D恒成立 再转化为f a g x max 或f a g x min 第二关是求最值关 即求函数g x 在区间D上的最大值 或最小值 问题 2 不等式能成立求参数求解含参不等式能成立问题的关键是过好 三关 第一关是求导关 第二关是转化关 即通过分离参数法 先转化为存在x D 使f a g x 或f a g x 成立 再转化为f a g x min 或f a g x max 第三关是求最值关 即求函数g x 在区间D上的最小值 或最大值 问题 不等式能成立求参数的取值范围还可以直接利用图象法 通过数形结合使问题获解 3 不等式证明 1 利用导数证明单变量的不等式的常见形式是f x g x 证明技巧 先将不等式f x g x 移项 即构造函数h x f x g x 转化为证不等式h x 0 再次转化为证明h x min 0 因此 只需在所给的区间内 判断h x 的符号 从而判断其单调性 并求出函数h x 的最小值 即可得证 2 破解含双参不等式的证明的关键 一是转化 即由已知条件入手 寻找双参所满足的关系式 并把含双参的不等式转化为含单参的不等式 二是巧构造函数 再借用导数 判断函数的单调性 从而求其最值 三是回归双参的不等式的证明 把所求的最值应用到双参不等式 即可证得结果 1 混淆 函数的单调区间 函数在区间上单调 函数存在单调区间 1 若f x 在x 2处取得极小值 求a的值 2 若f x 存在单调递减区间 求a的取值范围 因为f x 在x 2处取得极小值 所以f 2 0 由f x 存在单调递减区间 得当x 0时 f x 0时 ax2 2a 1 x a 0有解 a为二次项的系数 需分类讨论 当a 0时 ax2 2a 1 x a 0显然成立 当a 0时 函数y ax2 2a 1 x a的图象是开口向上的抛物线 只要方程ax2 2a 1 x a 0有两根 且至少有一个根为正根即可 易错防范 1 已知函数的单调性求参数的取值范围问题的常用解法有两种 一种是子区间法 即利用集合思想求解 另一种是恒成立法 即若函数f x 在区间D上单调递减 则f x 0在区间D上恒成立 且不恒等于0 若函数f x 在区间D上单调递增 则f x 0在区间D上恒成立 且不恒等于0 勿因 出错 2 已知函数存在单调区间求参数的取值范围问题是存在性问题 其转化方法为 若f x 存在单调递减区间 则f x 0在给定区间上有解 注意将其与 函数的单调区间 函数在区间上单调 的转化方法区别开来 2 混淆 极值 与 最值 典例2 2018 江西吉安西路片七校联考 已知函数f x ax2 1 2a x lnx 1 当a 0时 求函数f x 的单调递增区间 解析 因为f x ax2 1 2a x lnx 1 因为a 0 x 0 所以2ax 1 0 令f x 0 得x 1 所以f x 的单调递增区间为 1 易错防范 1 解本题时不要混淆极值与最值 函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得到的 它不一定是最值 而函数的最值是通过比较整个区间内的函数值得到的 可能在极值处取得 也可能在区间端点处取得 2 求函数f x 在区间D上的最值一般有两种情况 一是f x0 0的解x0含参未定 区间D定 二是f x0 0的解x0定 区间D未定 两者均需按x0在区间D内与在区间D外进行分类讨论