2019高考数学大二轮复习 专题5 数列 第2讲 综合大题部分课件 文.ppt

专题5数列 第2讲综合大题部分 考情考向分析 1 利用转化证明等差 等比数列 2 通过分组转化 错位相减 裂项相消求数列和 进而求与不等式相关综合问题 考点一证明等差 等比数列 解析 1 依题意 an 1an an 2an 1 2an 2an 两边同时除以anan 1an 2 1 设bn an 1 an 证明 bn 是等差数列 2 求 an 的通项公式 解析 1 证明 an 2 2an 1 an 2 an 1 2an an 1 2 n 2 得an 2 an 1 2an 1 2an an an 1 an 2 an 1 an an 1 2 an 1 an bn an 1 an bn 1 an 2 an 1 bn 1 an an 1 bn 1 bn 1 2bn n 2 bn 为等差数列 2 中项法 数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 2an 1 an 2 2 由已知得b1 a2 a1 1 又 a3 2a2 a1 2 4 1 2 5 b2 a3 a2 5 2 3 公差d b2 b1 3 1 2 bn 1 2 n 1 2n 1 即an 1 an 2n 1 所以an 1 a1 n2 即an 1 n2 a1 又a1 1 所以 an 的通项公式为an n2 2n 2 1 等差数列的证明及判断 1 定义法 对于数列 an 若an 1 an d d为常数 则数列 an 是等差数列 2 等差中项法 对于数列 an 若2an 1 an an 2 则数列 an 是等差数列 3 通项公式法 若数列 an 的通项公式满足an an b a b为常数 则数列 an 是等差数列 4 前n项和法 若数列 an 的前n项和Sn an2 bn a b为常数 则数列 an 是等差数列 2 等比中项法 对于非零数列 an 若anan 2 a 则数列 an 是等比数列 3 若数列 an 成等比数列 则数列 lgan an 0 成等差数列 反之 若数列 an 成等差数列 则数列 ban 成等比数列 2 等比数列的证明与判断 考点二数列求和1 分组求和 2018 河南信阳模拟 已知数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2 2Sn n 1 2an n2an 1 数列 bn 满足b1 a1 nbn 1 anbn 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 若数列 cn 满足cn an bn n N 求数列 cn 的前n项和Tn 解析 1 由2Sn n 1 2an n2an 1 可得2Sn 1 n 2 2an 1 n 1 2an 2 两式相减可得 2an 1 n 2 2an 1 n 1 2an 2 n 1 2an n2an 1 2an 1 an 2 an 数列 an 是等差数列 又由2S1 22a1 a2 a1 2 解得a2 4 d 4 2 2 an 2 2 n 1 2n 由nbn 1 anbn 得bn 1 2bn 又b1 a1 2 数列 bn 是等比数列 首项与公比都为2 bn 2n 2 cn an bn 2n 2n 2 裂项相消 2018 东北三省三校第二次联考 已知数列 an 满足a1 3 an 1 2an n 1 数列 bn 满足b1 2 bn 1 bn an n n N 1 证明 an n 为等比数列 解析 1 因为an 1 2an n 1 所以an 1 n 1 2 an n 又a1 3 所以a1 1 2 所以数列 an n 是以2为首项 2为公比的等比数列 2 由 1 知 an n 2 2n 1 2n 所以bn 1 bn an n bn 2n 即bn 1 bn 2n b2 b1 21 b3 b2 22 b4 b3 23 bn bn 1 2n 1 3 错位相减 2018 河南 河北两省联考 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 5 nSn 1 n 1 Sn n2 n 2 令bn 2nan 求数列 bn 的前n项和Tn 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 4n n 1 2 4 n 1 2n 3 又a1 5也符合上式 所以an 2n 3 n N 所以bn 2n 3 2n 所以Tn 5 2 7 22 9 23 2n 3 2n 2Tn 5 22 7 23 9 24 2n 1 2n 2n 3 2n 1 所以 得Tn 2n 3 2n 1 10 23 24 2n 1 2n 3 2n 1 10 2n 2 8 2n 1 2n 1 2 4 并项求和 2018 湖南长沙模拟 设Sn是数列 an 的前n项和 已知a1 1 Sn 2 2an 1 1 求数列 an 的通项公式 解析 1 Sn 2 2an 1 a1 1 当n 1时 S1 2 2a2 当n 2时 Sn 1 2 2an 当n 2时 an 2an 2an 1 2 由 1 知bn 1 n n 1 Tn 0 1 2 3 1 n n 1 当n为偶数时 1 分组求和一是观察数列的通项公式的特征 若其是由若干个可求其和的数列的通项公式组成 则求和时可用分组求和法求解 二是会用公式法求和 即对分成的各组数列进行求和 2 裂项相消求和 抵消规律 正 负项相互抵消时 要注意准确分析最后所剩项的规律 特点是什么 通过具体分析求前2项和 前3项和 前4项和时 正 负项抵消后所剩项的特点 可归纳得出一般的规律 否则 极易出错 3 错位相减法 适用条件 若数列 an 是等差数列 公差为d 且d 0 数列 bn 是等比数列 公比为q 且q 1 则求等差乘等比型数列 an bn 的前n项和Sn时 可利用错位相减法 错位相减 先写出Sn的基本表达式Sn a1b1 a2b2 a3b3 anbn 然后两边同乘以公比q得Sn q a1b2 a2b3 a3b4 an 1bn anbn 1 再由以上两式作差得Sn 1 q a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 进一步化简即可求得Sn 4 并项求和法将一个数列分成若干段 然后各段分别利用等差 比 数列的前n项和的公式及错位相减法等进行求和 利用并项求和法求解问题的常见类型 一是数列的通项公式中含有绝对值符号 二是数列的通项公式中含有符号因子 1 n 1 用裂项相消法求和时漏项或添项 解析 1 由题意知2 S3 a3 S1 a1 S2 a2 所以2 a1 a2 a3 2a3 a1 a1 a1 a2 a2 易错防范应用裂项相消法求和时 将通项裂项后需要调整前面的系数 使得裂开的两项之差与裂项之前的通项恒等 同时注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 2 用错位相减法求和处理不当致误 解析 1 由an 0 2an 1 2an an 1an 0 当n 1时 b1 2也符合上式 Sn 2 20 3 21 4 22 n 1 2n 1 2Sn 2 21 3 22 4 23 n 2n 1 n 1 2n 注意将两式 错项对齐 以便写出Sn qSn的表达式 由 得 Sn 2 21 22 2n 1 n 1 2n 2 2n 2 n 1 2n n 2n 故Sn n 2n 易错防范 1 两式相减时 用两式的公比的 同次 项 相减而错位 不是 同位 项相减 相减也只是 等差部分 相减 2 相减后所得结果最后一项一般为 3 相减后 所得表达式一般从第2项开始直到 倒数第二项 成等比数列 3 忽视项数n的奇偶性讨论 易错防范由于bn是分段形式的通项 求其和Tn时 因n的奇偶性不同 Tn的项数也不同 故要对n按奇偶性分类讨论 一般地当通项式是n的奇偶性分数 或含有 1 n时 都要对n进行讨论