2019高考数学二轮复习第3讲导数的简单应用课件理.ppt

第3讲导数的简单应用 总纲目录 考点一导数的几何意义及定积分 1 导数公式 1 sinx cosx 2 cosx sinx 3 ax axlna a 0 且a 1 4 logax a 0 且a 1 5 x x 1 Q 6 ex ex 7 lnx 2 导数的几何意义函数f x 在x0处的导数是曲线f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 曲线f x 在点P处的切线的斜率k f x0 相应的切线方程为y f x0 f x0 x x0 3 定积分的性质a kf x dx kf x dx k为常数 b f1 x f2 x dx f1 x dx f2 x dx c f x dx f x dx f x dx a c b 1 已知函数f x cosx 则f f A B C D 答案C f x cosx f x cosx sinx f f 1 2 2018课标全国 5 5分 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 A y 2xB y xC y 2xD y x 答案D f x x3 a 1 x2 ax为奇函数 a 1 0 解得a 1 f x x3 x f x 3x2 1 f 0 1 故曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 故选D 解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题 1 首先应判断所给的点是不是切点 如果不是 需要设出切点 2 切点既在原函数的图象上 又在切线上 可先设出切线方程 再将切点代入两者的解析式建立方程组 3 切点处的导数值等于切线的斜率 这是求切线方程最重要的条件 3 2018课标全国 14 5分 若曲线y ax 1 ex在点 0 1 处的切线的斜率为 2 则a 答案 3 解析设f x ax 1 ex 则f x ax a 1 ex 所以曲线在点 0 1 处的切线的斜率k f 0 a 1 2 解得a 3 4 已知a cosx dx 则的展开式中 x3项的系数为 答案 解析a cosx dx sinx 1 的展开式的通项公式为 x 9 r 1 9 rx9 2r 由9 2r 3 得r 3 故x3的系数为 方法归纳 曲线y f x 的切线方程的三种类型及求解方法 1 已知切点P x0 y0 求切线方程 求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率k 求切线方程 设切点P x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求切线方程 设切点P x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 再由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 考点二利用导数研究函数的单调性 导数与函数单调性的关系 1 f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 如函数f x x3在 上单调递增 但f x 0 2 f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 当函数在某个区间内恒有f x 0时 f x 为常数函数 函数不具有单调性 命题角度一讨论 确定 函数的单调性 区间 例1 2018课标全国 21节选 已知函数f x x alnx 讨论f x 的单调性 解析f x 的定义域为 0 f x 1 若a 2 则f x 0 当且仅当a 2 x 1时 f x 0 所以f x 在 0 上单调递减 若a 2 令f x 0 得x 或x 当x 时 f x 0 所以f x 在 上单调递减 在 上单调递增 方法归纳 求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性 其实就是讨论不等式解集的情况 大多数情况下 这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论 1 在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时 依据根的大小进行分类讨论 2 在不能通过因式分解求出根的情况时 根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论 注意 讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的 千万不要忽视了定义域的限制 命题角度二利用函数的单调性求参数的值 范围 例2若函数f x x2 4ex ax在R上存在单调递增区间 求实数a的取值范围 解析因为f x x2 4ex ax 所以f x 2x 4ex a 由题意得 f x 2x 4ex a 0 即a 2x 4ex有解 令g x 2x 4ex 则g x 2 4ex 令g x 0 解得x ln2 当x ln2 时 函数g x 2x 4ex单调递增 当x ln2 时 函数g x 2x 4ex单调递减 所以 当x ln2时 g x 2x 4ex取得最大值 2 2ln2 所以a 2 2ln2 所以实数a的取值范围为 2 2ln2 方法归纳 根据函数y f x 在区间 a b 上的单调性 求参数范围的方法 1 若函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则转化为f x 0在区间 a b 上恒成立求解 2 若函数y f x 在区间 a b 上单调递减 则转化为f x 0在区间 a b 上恒成立求解 3 若函数y f x 在区间 a b 上单调 则转化为f x 在区间 a b 上不变号 即f x 在区间 a b 上恒正或恒负 4 若函数y f x 在区间 a b 上不单调 则转化为f x 0在区间 a b 上有解 1 已知函数f x lnx 3 则函数f x 的单调递减区间是 A 0 B 0 1 C 0 D 1 答案B已知函数f x lnx 3 其定义域为 0 则f x x 由得0 x 1 所以函数f x 的单调递减区间为 0 1 故选B 2 若函数f x 在R上可导 且满足f x f 2 C 2f 1 f 2 D f 1 f 2 答案A设g x 则g x f x 0 函数g x 在 0 上单调递增 即2f 1 f 2 故选A 3 若函数f x x2 x 1在区间上单调递减 则实数a的取值范围是 答案 解析由已知 得f x x2 ax 1 函数f x 在区间上单调递减 f x 0在区间上恒成立 即解得a 实数a的取值范围为 考点三利用导数研究函数的极值 最值 问题 可导函数的极值与最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 例 2018天津文 20节选 设函数f x x t1 x t2 x t3 其中t1 t2 t3 R 且t1 t2 t3是公差为d的等差数列 1 若t2 0 d 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 若d 3 求f x 的极值 解析 1 由已知 可得f x x x 1 x 1 x3 x 故f x 3x2 1 所以f 0 0 f 0 1 又因为曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y f 0 f 0 x 0 故所求切线方程为x y 0 2 由已知 可得f x x t2 3 x t2 x t2 3 x t2 3 9 x t2 x3 3t2x2 3 9 x 9t2 故f x 3x2 6t2x 3 9 令f x 0 解得x t2 或x t2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以函数f x 的极大值为f t2 3 9 6 函数f x 的极小值为f t2 3 9 6 方法归纳 利用导数研究函数极值 最值的方法 1 若求极值 则先求方程f x 0的全部实根 再检验f x 在方程根的左右两侧值的符号 2 若已知极值的存在情况 则转化为已知方程f x 0的根的存在情况 从而求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 在得到极值的基础上 比较区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值 从而得到函数的最值 1 函数y 在 0 2 上的最大值是 A B C 0D 答案A易知y x 0 2 令y 0 得0 x 1 令y 0 得1 x 2 所以函数y 在 0 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 所以y 在 0 2 上的最大值是y x 1 故选A 2 2017课标全国 11 5分 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 A 1B 2e 3C 5e 3D 1 答案A由题意 得f x x2 a 2 x a 1 ex 1 x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 f 2 0 a 1 f x x2 x 1 ex 1 f x x2 x 2 ex 1 x 1 x 2 ex 1 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 2 1 时 f x 0 f x 单调递减 f x 极小值 f 1 1 故选A 3 已知函数f x ex ax b x2 4x 曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y 4x 4 1 求a b的值 2 讨论f x 的单调性 并求f x 的极大值 解析 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知 得f 0 4 f 0 4 故b 4 a b 8 从而a 4 b 4 2 由 1 知f x 4ex x 1 x2 4x f x 4ex x 2 2x 4 4 x 2 令f x 0 得x ln2或x 2 从而当x 2 ln2 时 f x 0 当x 2 ln2 时 f x 0 故f x 在 2 ln2 上单调递增 在 2 ln2 上单调递减 当x 2时 函数f x 取得极大值 为f 2 4 1 e 2