2019高考数学二轮复习 第一篇 微型专题 热点重点难点专题透析 专题1 函数与导数课件 理.ppt

2019 专题1 函数与导数 01 目录 微专题01函数的基本性质与基本初等函数 微专题02函数的图象与函数的应用 微专题03导数及其应用 微专题04函数与导数的综合应用 点击 出答案 1 函数的三要素是什么 定义域 值域和对应关系是函数的三要素 是一个整体 研究函数问题时必须 定义域优先 2 求函数的定义域应注意什么 求函数的定义域时 若已知函数的解析式 则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围 只需构建并解不等式 组 在实际问题中 除要考虑解析式有意义外 还要使实际问题有意义 已知f x 的定义域是 a b 求f g x 的定义域 是指满足a g x b的x的取值范围 而已知f g x 的定义域是 a b 指的是x a b 3 判断函数的单调性有哪些方法 单调性是函数在其定义域上的局部性质 常见判定方法 定义法 取值 作差 变形 定号 其中变形是关键 常用的方法有通分 配方 因式分解 图象法 复合函数的单调性遵循 同增异减 的原则 导数法 4 函数的奇偶性有什么特征 奇偶性的特征及常用结论 若f x 是奇函数 0在其定义域内 则f 0 0 f x 是偶函数 f x 的图象关于y轴对称 f x 是奇函数 f x 的图象关于原点对称 奇函数在对称 关于原点对称 的单调区间内有相同的单调性 偶函数在对称 关于原点对称 的单调区间内有相反的单调性 若f x a 为奇函数 则f x 的图象关于点 a 0 对称 若f x a 为偶函数 则f x 的图象关于直线x a对称 5 指数函数 对数函数的图象与性质有哪些 指数函数与对数函数的图象和性质 6 函数图象的推导应注意哪些 探寻函数图象与解析式之间的对应关系的方法 1 知图选式 从图象的左右 上下分布 观察函数的定义域 值域 从图象的变化趋势 观察函数的单调性 从图象的对称性方面 观察函数的奇偶性 从图象的循环往复 观察函数的周期性 2 知式选图 从函数的定义域 判断图象左右的位置 从函数的值域 判断图象的上下位置 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 从函数的周期性 判断图象的循环往复 7 确定函数零点的常用方法有哪些 函数零点个数的判断方法 1 直接法 令f x 0 则方程解的个数为函数零点的个数 2 零点存在性定理 利用该定理不仅要求曲线f x 在 a b 上是连续的 且f a f b 0 还必须结合函数的图象和性质 如单调性 才能确定函数有多少个零点 3 数形结合 对于给定的函数不能直接求解或画出图象 常会通过分解转化为两个函数的图象 然后通过数形结合 看其交点的个数有几个 其中交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 1 如何利用导数的方法研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性有什么应用 在某个区间 a b 内 如果f x 0 f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 单调递减 利用导数研究函数单调性的应用 1 利用导数判断函数的图象 2 利用导数解不等式 3 求参数的取值范围 y f x 在 a b 上单调 则 a b 是相应单调区间的子集 若函数单调递增 则f x 0 若函数单调递减 则f x 0 2 如何判断函数的极值 如何确定函数的最值 当f x0 0时 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 将函数y f x 在 a b 上的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 3 利用导数可以解决哪些不等式问题 1 利用导数证明不等式 证明f x g x 对一切x I恒成立 I是f x g x 的解集的子集 f x g x min 0 x I x I 使f x g x 成立 I与f x g x 的解集的交集不是空集 f x g x max 0 x I 对 x1 x2 I f x1 g x2 f x max g x min 对 x1 I x2 I f x1 g x2 f x min g x min 函数是一条主线 贯穿于整个高中数学 导数是重要的解题工具 是解决函数问题的利器 因此 函数与导数在高考数学中的地位不言而喻 本专题内容也是高考中重要的考点之一 从近年高考的命题情况来看 本专题在高考分值中占20 左右 试题的易 中 难比例相当 选择题 填空题和解答题均有考查 一 选择题和填空题的命题特点 一 考查函数图象的判断及简单应用 试题难度中档 综合考查函数的解析式 定义域 值域及单调性 奇偶性等性质的综合 命题特点 B 答案 解析 A 答案 解析 解析 因为函数为奇函数 所以其图象关于原点对称 所以选项C D错误 又当x 0时 y 0 所以选项B错误 故选A 二 考查函数的基本性质及简单应用 试题难度中档 综合考查函数的奇偶性 单调性 周期性及图象的推理能力等 3 2018年 全国 卷 理T11改编 已知f x 是定义域为R的奇函数 满足f 1 x f 1 x 若f 1 2 则f 1 f 2 f 3 f 2018 A 2018B 0C 2D 50 C 答案 解析 解析 f x 是奇函数 且f 1 x f 1 x f 1 x f 1 x f x 1 f 0 0 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x 即函数f x 是周期为4的周期函数 f 1 2 f 2 f 0 0 f 3 f 1 2 f 4 f 0 0 f 1 f 2 f 3 f 4 2 0 2 0 0 f 1 f 2 f 3 f 2018 504 f 1 f 2 f 3 f 4 f 2017 f 2018 f 1 f 2 2 0 2 故选C 1 答案 解析 5 2018 全国 卷 文T13改编 已知函数f x log3 x2 a 若f 2 1 则a 1 答案 解析 解析 f 2 1 log3 4 a 1 4 a 3 a 1 6 2017 全国 卷 文T8改编 函数y ln x2 2x 3 的单调递减区间是 A 1 1 B 1 3 C 1 D 1 B 答案 解析 解析 令t x2 2x 3 由t 0 求得 1 x 3 故函数的定义域为 1 3 且y lnt 故本题为求函数t x2 2x 3在定义域内的单调递减区间 利用二次函数的性质求得t x 1 2 4在定义域内的单调递减区间为 1 3 故选B 四 考查函数零点的判断及应用 同时考查函数与方程的思想 转化思想及数形结合思想 试题难度较大 7 2017 全国 卷 理T11改编 已知函数f x x2 4x a 10 x 2 10 x 2 有唯一零点 则a A 4B 3C 2D 2 C 答案 解析 解析 函数f x 有唯一零点等价于方程4x x2 a 10 x 2 10 x 2 有唯一解 等价于函数y 4x x2的图象与y a 10 x 2 10 x 2 的图象只有一个交点 当a 0时 f x x2 4x 此时函数有两个零点 矛盾 当a0时 由于y 4x x2在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 且y a 10 x 2 10 x 2 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 所以函数y 4x x2的图象的最高点为A 2 4 y a 10 x 2 10 x 2 的图象的最低点为B 2 2a 由题意可知点A与点B重合时满足条件 即2a 4 解得a 2 符合条件 故选C 五 考查导数的几何意义及简单的导数计算 导数的几何意义一直是高考的热点和重点 试题综合考查导数的计算及直线方程的知识 难度较小 8 2018 全国 卷 理T5改编 设函数f x x3 a 1 x2 ax 若f x 为奇函数 则曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为 y x 答案 解析 解析 因为函数f x 是奇函数 所以a 1 0 解得a 1 所以f x x3 x f x 3x2 1 所以f 0 1 所以曲线y f x 在点 0 0 处的切线方程为y x 1 在 0 2 上单调递增 在 2 上单调递减 答案 解析 2 2017 全国 卷 文T21改编 已知函数f x ex ex a a2x 其中参数a 0 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 0 求a的取值范围 答案 解析 1 识别函数图象的常用方法 1 直接法 直接求出函数的解析式并画出其图象 2 特例排除法 例如 根据已知函数的图象或已知函数的解析式 取特殊点 判断各选项的图象是否经过该特殊点 3 性质 单调性 奇偶性 过定点等 验证法 4 较复杂函数的图象 常借助导数这一工具 先对原函数进行求导 再利用导数判断函数的单调性 极值或最值 从而对选项进行筛选 2 函数性质综合问题的常见类型及解题策略 1 单调性与奇偶性结合 解决此类问题要注意函数单调性及奇偶性的定义 以及奇 偶函数图象的对称性 2 周期性与奇偶性结合 此类问题多考查求值 常利用奇偶性及周期性进行交换 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 3 周期性 奇偶性与单调性结合 解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间 然后利用奇偶性和单调性求解 规律方法 3 对于函数零点 方程的根 的确定问题 高考常从以下几个方面进行考查 1 函数零点值大致所在区间的确定 2 零点个数的确定 3 两个函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 解决此类问题的常用方法有解方程法 利用零点存在的判定或数形结合法 尤其是方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 4 利用导数的几何意义解题主要是利用导数 切点坐标 切线斜率之间的关系来转化 关键是求出切点的坐标 5 利用导数研究函数的单调性 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解集 求单调区间应遵循定义域优先的原则 2 含参函数的单调性要分类讨论 通过确定导数的符号判断函数的单调性 3 注意两种表述 函数f x 在 a b 上为减函数 与 函数f x 的减区间为 a b 的区别 6 利用导数研究函数极值 最值的方法 1 若求极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右函数值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 A 答案 解析 微专题01函数的基本性质与基本初等函数数 返 A 答案 解析 解析 由题意知 f 2 5 4 1 f 1 e0 1 所以f f 2 1 故选A 3 已知定义在R上的函数f x 2 x 记a f log0 53 b f log25 c f 0 则a b c的大小关系是 A a b cB c b aC a c bD b a c D 答案 解析 解析 易知f x 2 x 是偶函数 且在 0 上单调递减 又f log0 53 f log23 f log23 而log25 log23 0 f log25 f log23 f 0 即b a c 故选D 8 答案 解析 解析 由条件可得f x 6 f x 所以函数f x 的周期为6 所以f 2018 f 6 336 2 f 2 f 2 8 答案 解析 典型例题 1 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合 求函数定义域只需构建不等式 组 求解即可 2 求分段函数的函数值 要先确定要求值的自变量属于哪一段区间 然后代入该段的解析式求值 当出现f f a 的形式时 应从内到外依次求值 3 当给出函数值求自变量的值时 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上 然后求出相应自变量的值 切记要代入检验 看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围 方法归纳 3 4 答案 解析 变式训练 2 答案 解析 解析 f 2 log 2 2 1 0 f f 2 f 0 20 1 2 1 答案 解析 解析 f 0 30 1 2 f 2 4a 2 由4a 2 2得a 1 答案 解析 典型例题 1 对于分段函数的单调性 应考虑各段的单调性 且要注意分界点处的函数值的大小 2 对于抽象函数不等式 应根据函数的单调性去掉 f 转化成解不等式 要注意函数定义域的运用 方法归纳 2 答案 解析 变式训练 2 已知奇函数f x 为R上的减函数 若f 3a2 f 2a 1 0 则a的取值范围是 答案 解析 答案 解析 典型例题 函数的奇偶性 周期性及单调性是函数的三大性质 在高考中常常将它们综合在一起命题 其中奇偶性多与单调性结合 而周期性多与抽象函数结合 并结合奇偶性求函数值 函数的奇偶性体现的是一种对称关系 而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律 因此 在解题时 往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性 即实现区间的转换 再利用单调性解决相关问题 方法归纳 1 已知偶函数f x 在 0 上单调递增 若f 2 2 则满足f x 1 2的x的取值范围是 A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 2 2 B 答案 解析 变式训练 解析 由题意知偶函数f x 在 0 上单调递增 若f 2 2 则f x 1 2 f x 1 f 2 f x 1 f 2 即 x 1 2 解得x 1或x 3 故选B 2 设函数f x 是以2为周期的奇函数 已知当x 0 1 时 f x 2x 则f x 在 2017 2018 上是 A 增函数 且f x 0B 减函数 且f x 0 C 答案 解析 解析 函数f x 的周期是2 函数f x 在 2017 2018 上的单调性和 1 0 上的单调性相同 当x 0 1 时 f x 2x为增函数 函数f x 为奇函数 当x 1 0 时 f x 为增函数 当x 0 1 时 f x 2x 0 当x 1 0 时 f x 0 当x 2017 2018 时 f x 0 即f x 在 2017 2018 上是增函数 且f x 0 故选C 例4 1 若a b c满足2a 3 b log25 3c 2 则 A c a bB b c aC a b cD c b a 2 已知f x x3 3x a 20 3 b 0 32 c log20 3 则 A f a f b f c B f b f c f a C f c f b f a D f b f a f c 答案 解析 典型例题 解析 1 因为2a 3 3c 2 所以a log23 c log32 因为y log2x y log3x是增函数 所以log25 log23 log22 log33 log32 因此b a c 故选A 2 由指数函数的性质可得 1b c 又 f x x3 3x在R上单调递增 f c f b f a 故选C 利用指数函数 对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小时 一方面要比较两个实数或式子形式的异同 另一方面要注意特殊值的应用 有时候可以借助其 桥梁 作用 来比较大小 方法归纳 A 答案 解析 变式训练 C 答案 解析 解析 f 2 x f x 函数f x 图象的对称轴为直线x 1 当x 1时 f x lnx f x 在 1 上单调递减 在 1 上单调递增 故当x 1时 函数f x 有最小值 离x 1越远 函数值越大 故选C 1 函数y 13 log3x 的图象是 A 答案 解析 微专题02函数的图象与函数的应用 返 解析 当x 1时 y 13 log3x 13log3x 1x 当0 x 1时 y 13 log3x 3log3x x y 13 log3x 1x x 1 x 0 x 1 其图象为选项A中的图象 故选A C 答案 解析 C 答案 解析 解析 当x 2时 由 x2 4x 0 得x 0 当x 2时 令f x log2x a 0 得x 2a 又函数f x 有两个不同的零点 2a 2 解得a 1 故选C 4 某企业为节能减排 用9万元购进一台新设备用于生产 第一年需运营费用2万元 从第二年起 每年运营费用均比上一年增加3万元 该设备每年生产的收入均为21万元 设该设备使用了n n N 年后 盈利总额达到最大值 盈利额等于收入减去成本 则n等于 A 6B 7C 8D 7或8 B 答案 解析 A 答案 解析 典型例题 例1 函数y sinx ln x 在区间 3 3 上的图象大致为 解析 设f x sinx ln x 当x 0时 f x sinx lnx 则f x cosx 1x 当x 0 1 时 f x 0 即函数f x 在 0 1 上为单调递增函数 排除B 当x 1时 f 1 sin1 0 排除D 因为f x sin x ln x sinx ln x 所以f x f x 所以函数f x 为非奇非偶函数 排除C 故选A B 答案 解析 例2 函数y sinx 1 cos2x 在区间 2 2 上的图象大致为 解析 函数y sinx 1 cos2x 的定义域为 2 2 其关于原点对称 且f x sin x 1 cos2x sinx 1 cos2x f x 则f x 为奇函数 其图象关于原点对称 排除D 当00 排除C 又2sinxcos2x 0 可得x 2或x 2或x 0 排除A 故选B 函数图象的辨识主要从以下几个方面入手 1 函数图象的对称性 2 函数图象的单调性 3 特殊点 方法归纳 D 答案 解析 变式训练 解析 当x 0时 f x 2x 1 根据指数函数g x 2x的图象向下平移一个单位 即可得到函数f x 的图象 当x 0时 f x x2 2x 根据二次函数的图象与性质 可得到相应的图象 综上 函数f x 的图象为选项D中的图象 D 答案 解析 D 答案 解析 典型例题 例3 已知函数f x 满足f x 1 f x 1 且f x 是偶函数 当x 1 0 时 f x x2 若在区间 1 3 内 函数g x f x loga x 2 有4个零点 则实数a的取值范围是 A 1 5 B 1 5 C 5 D 5 解析 由题意可知函数f x 是周期为2的偶函数 结合当x 1 0 时 f x x2 绘制函数图象如图所示 函数g x 有4个零点 则函数f x 与函数y loga x 2 的图象在区间 1 3 内有4个交点 结合函数图象可得 loga 3 2 1 解得a 5 即实数a的取值范围是 5 C 答案 解析 函数零点的求解与判断方法 1 直接求零点 令f x 0 如果能求出解 那么有几个解就有几个零点 2 零点存在性定理 利用定理不仅要函数f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 且f a f b 0 还必须结合函数的图象与性质 如单调性 奇偶性 才能确定函数有多少个零点 3 利用图象交点的个数 将函数变形为两个函数的差 画出这两个函数的图象 看其交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点 方法归纳 B 答案 解析 变式训练 D 答案 解析 解析 设t f x 则a f t 在同一坐标系内作y a与y f t 的图象 如图 当a 1时 两个图象有两个交点 设交点的横坐标分别为t1 t2 且t1 1 t2 1 当t1 1时 t1 f x 有一个解 当t2 1时 t2 f x 有两个解 综上可知 当a 1时 g x f f x a有三个不同的零点 故选D B 答案 解析 典型例题 例5 某高校为提升科研能力 计划逐年加大科研经费投入 若该高校2017年全年投入科研经费1300万元 在此基础上 每年投入的科研经费比上一年增长12 则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 A 2020年B 2021年C 2022年D 2023年 解析 若2018年是第1年 则第n年科研经费为1300 1 12n 由1300 1 12n 2000 可得lg1 3 nlg1 12 lg2 得n 0 05 0 19 n 3 8 n 4 即4年后 到2021年科研经费超过2000万元 故选B 方法归纳 C 答案 解析 变式训练 D 答案 解析 微专题03导数及其应用 返 1 如图 函数y f x 的图象在点P处的切线方程为x y 2 0 则f 1 f 1 A 1B 2C 3D 4 解析 由条件知 1 f 1 在直线x y 2 0上 且f 1 1 f 1 f 1 3 1 4 故选D A 答案 解析 A 答案 解析 解析 当x1时 f x 0 此时函数f x 单调递增 即当x 1时 函数f x 取得极小值同时也取得最小值f 1 所以f 0 f 1 f 2 f 1 则f 0 f 2 2f 1 故选A 0 答案 解析 答案 解析 典型例题 1 求曲线y f x 的切线方程的三种类型及方法 1 已知切点P x0 y0 求y f x 过点P的切线方程 先求出切线的斜率f x0 由点斜式写出方程 2 已知切线的斜率k 求y f x 的切线方程 设切点P x0 y0 通过方程k f x0 解得x0 再由点斜式写出方程 3 已知切线上一点 非切点 求y f x 的切线方程 设切点P x0 y0 利用导数求得切线斜率f x0 然后由斜率公式求得切线斜率 列方程 组 解得x0 再由点斜式或两点式写出方程 2 利用切线 或方程 与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程 斜率 或其与某直线平行 垂直 利用导数的几何意义 切点坐标 切线斜率之间的关系构建方程 组 或函数求解 方法归纳 1 1 答案 解析 变式训练 2 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 8 答案 解析 答案 解析 典型例题 利用导数研究函数的单调性 1 已知函数解析式求单调区间 实质上是求f x 0 f x 0的解集 求单调区间应遵循定义域优先的原则 2 含参函数的单调性要分类讨论 通过确定导数的符号判断函数的单调性 3 注意两种表述 函数f x 在 a b 上为减函数 与 函数f x 的减区间为 a b 的区别 方法归纳 1 答案 解析 变式训练 答案 解析 例3 若x 3是函数f x x2 ax 1 ex的极值点 则f x 的极大值等于 A 1B 3C 2e3D 6e 1 D 答案 解析 典型例题 解析 函数f x x2 ax 1e x f x x2 2 a x a 1 ex x 3是函数f x x2 ax 1 ex的极值点 f 3 0 解得a 4 故f x x2 2x 3 ex 当x 1时 f x 取得极大值 极大值为f 1 6e 1 故选D 答案 解析 利用导数研究函数极值 最值的方法 1 若求极值 则先求方程f x 0的根 再检查f x 在方程根的左右两边函数值的符号 2 若已知极值大小或存在情况 则将问题转化为已知方程f x 0根的大小或存在情况来求解 3 求函数f x 在闭区间 a b 上的最值时 在得到极值的基础上 结合区间端点的函数值f a f b 与f x 的各极值进行比较得到函数的最值 4 研究函数的极值或最值时应注意的问题 利用导数研究函数的极值和最值时 应先考虑函数的定义域 导数值为0的点不一定是函数的极值点 它是函数在该点取得极值的必要不充分条件 方法归纳 答案 解析 变式训练 1 若关于x的不等式x3 3x2 9x 2 m对任意x 2 2 恒成立 则m的取值范围是 A 7 B 20 C 0 D 12 7 B 答案 解析 微专题04函数与导数的综合应用 返 解析 令f x x3 3x2 9x 2 则f x 3x2 6x 9 令f x 0得x 1或x 3 舍去 f 1 7 f 2 0 f 2 20 f x 的最小值为f 2 20 故m 20 2 已知函数f x x3 3x 1 若对于区间 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 则实数t的最小值是 A 20B 18C 3D 0 A 答案 解析 解析 对于区间 3 2 上的任意x1 x2 都有 f x1 f x2 t 等价于在区间 3 2 上 f x max f x min t f x x3 3x 1 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 x 3 2 函数f x 在 3 1 1 2 上单调递增 在 1 1 上单调递减 又 f 3 19 f 1 3 f 1 1 f 2 1 f x max f 2 f 1 1 f x min f 3 19 f x max f x min 20 t 20 即实数t的最小值是20 3 已知y f x 为R上的连续可导函数 且xf x f x 0 则函数g x xf x 1 x 0 的零点个数为 A 0B 1C 0或1D 无数个 A 答案 解析 解析 因为g x f x xf x 0 所以函数g x 在 0 上为增函数 因为g 0 0 所以g x 0 故函数g x xf x 1 x 0 的零点个数为0 4 做一个无盖的圆柱形水桶 若要使其体积是27 dm3 且用料最省 则圆柱的底面半径为dm 3 答案 解析 答案 解析 典型例题 已知函数有零点求参数的常用方法和思路 1 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式 再通过解不等式确定参数的取值范围 2 分离参数法 将参数分离 转化成函数的值域问题解决 3 数形结合法 先对解析式变形 在同一个平面直角坐标系中 画出函数的图象 然后通过数形结合求解 方法归纳 1 如果函数f x ax2 bx clnx a b c为常数 a 0 在区间 0 1 和 2 上均单调递增 在 1 2 上单调递减 则函数f x 的零点个数为 A 0B 1C 2D 3 B 答案 解析 变式训练 1 答案 解析 解析 当x 0时 G x 0 G x 在 0 上单调递增 又G 0 10 G x 存在唯一零点c 0 1 且当x 0 c 时 G x 0 当x 0 c 时 g x 0 g x 在 0 c 上单调递减 在 c 上单调递增 g x g c G c cec 1 0 00 g x g c 0 函数g x 无零点 例2 2018年天津市南开中学高三模拟考试 已知f x ex alnx a 其中常数a 0 1 当a e时 求函数f x 的极值 2 当0 a e时 求证 f x 0 3 求证 e2x 2 ex 1lnx x 0 答案 解析 典型例题 利用导数证明不等式f x g x 在区间D上恒成立的基本方法是先构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h x 0 其中找到函数h x f x g x 的零点是解题的突破口 方法归纳 1 答案 解析 变式训练 答案 解析 典型例题 解析 答案 解析 1 对于恒成立和存在性的问题 常用的解法是分离参数 将问题转化为求函数最值的问题处理 解题时常用的结论 若a f x 有解 则a f x min 若a f x 有解 则a f x max 2 对于含参数的不等式 如果易分离参数 那么可先分离参数 构造函数 将问题直接转化为求函数的最值 否则应进行分类讨论 在解题过程中 必要时 可画出函数图象的草图 借助几何图形直观分析 方法归纳 答案 解析 1 已知函数f x axex x R g x lnx kx 1 k R 1 若k 1 求函数g x 的单调区间 2 当k 1时 f x g x 恒成立 求a的取值范围 变式训练 2 广西2018届高三下学期第二次模拟 已知函数f x ln 1 x ln 1 x k x3 3x k R 1 当k 3时 求曲线y f x 在原点O处的切线方程 2 若f x 0对x 0 1 恒成立 求k的取值范围 答案 解析 答案 解析 典型例题 由上表可得 当x 4时 函数f x 取得极大值 也是最大值 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 故当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 建模 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求导 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 求最值 比较函数在区间端点和使f x 0的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 结论 回归实际问题作答 方法归纳 答案 解析 变式训练 谢 谢 观 赏