2019高考数学二轮复习 第6讲 三角恒等变换与解三角形课件 理.ppt

第6讲三角恒等变换与解三角形 总纲目录 考点一三角恒等变换 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 sin sin cos cos sin 2 cos cos cos sin sin 3 tan 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 sin2 2sin cos 2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 tan2 例 2018四川成都第一次诊断性检测 已知sin 则cos的值为 A B C D 答案A 解析 sin cos sin2 2sin cos 2 cos2 1 2sin2 1 2 1 cos 方法归纳 三角恒等变换的 4大策略 1 常值代换 特别是 1 的代换 1 sin2 cos2 tan45 等 2 项的拆分与角的配凑 如sin2 2cos2 sin2 cos2 cos2 等 3 降次与升次 正用二倍角公式升次 逆用二倍角公式降次 4 弦 切互化 一般是切化弦 1 若 则sin的值为 A B C D 答案C 2sin 所以sin 2 已知tan 2 tan 3 则tan A 1B C D 1 答案Dtan tan tan 3 而 所以tan tan 1 故选D 考点二正弦定理与余弦定理 1 正弦定理及其变形在 ABC中 2R R为 ABC的外接圆半径 变形 a 2RsinA sinA a b c sinA sinB sinC 2 余弦定理及其变形在 ABC中 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 变形 b2 c2 a2 2bccosA cosA a2 c2 b2 2accosB cosB a2 b2 c2 2abcosC cosC 3 三角形面积公式S ABC absinC bcsinA acsinB 命题角度一 利用正 余 弦定理进行边角计算 例1 2018课标全国 17 12分 在平面四边形ABCD中 ADC 90 A 45 AB 2 BD 5 1 求cos ADB 2 若DC 2 求BC 解析 1 在 ABD中 由正弦定理得 由题设知 所以sin ADB 由题设知 ADB 90 所以cos ADB 2 由题设及 1 知 cos BDC sin ADB 在 BCD中 由余弦定理得BC2 BD2 DC2 2 BD DC cos BDC 25 8 2 5 2 25 所以BC 5 方法归纳 正 余弦定理的适用条件 1 已知两角和一边 或 已知两边和其中一边的对角 应采用正弦定理 2 已知两边和这两边的夹角 或 已知三角形的三边 应采用余弦定理 注意 应用定理要注意 三统一 即 统一角 统一函数 统一结构 例2在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 已知c sinA sinC cos2A 1 求a的值 2 若角A为锐角 求b的值及 ABC的面积 命题角度二 利用正 余 弦定理进行面积计算 解析 1 在 ABC中 因为c sinA sinC 由 得a c 3 2 由cos2A 1 2sin2A 得 sin2A 由0 A 得 sinA 则cosA 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA 得 3 2 b2 2 2 b 化简得 b2 2b 15 0 解得b 5或b 3 舍 所以S ABC bcsinA 5 方法归纳 三角形面积公式的应用原则 1 对于面积公式S absinC acsinB bcsinA 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 例3某新建的信号发射塔的高度为AB 且设计要求为29米 AB 29 5米 为测量塔高是否符合要求 先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C D 测得 BDC 60 BCD 75 CD 40米 并在点C处的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30 且CE 1米 则发射塔高AB A 20 1 米B 20 1 米C 40 1 米D 40 1 米 命题角度三 正 余弦定理的实际应用 答案A 解析过点E作EF AB 垂足为F 则EF BC BF CE 1米 AEF 30 在 BDC中 由正弦定理得BC 20 米 在Rt AEF中 AF EF tan AEF 20 20 米 所以AB AF BF 1 20 米 符合设计要求 故选A 方法归纳 解三角形实际问题的步骤 1 在 ABC中 若A B C成等差数列 且AC BC 2 则A A 135 B 45 C 30 D 45 或135 答案B因为A B C成等差数列 所以B 60 由正弦定理 得 则sinA 又AC BC 所以60 A 故A 45 故选B 2 2018课标全国 9 5分 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 若 ABC的面积为 则C A B C D 答案C本题考查解三角形及其综合应用 根据余弦定理得a2 b2 c2 2abcosC 因为S ABC 所以S ABC 又S ABC absinC 所以tanC 1 因为C 0 所以C 故选C 3 2018河南郑州第一次质量检测 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且2ccosB 2a b 1 求角C 2 若 ABC的面积S c 求ab的最小值 解析 1 解法一 由2ccosB 2a b及余弦定理 得2c 2a b 得a2 c2 b2 2a2 ab 即a2 b2 c2 ab cosC 又0 C C 解法二 由已知可得2sinCcosB 2sinA sinB 则有2sinCcosB 2sin B C sinB 2sinBcosC sinB 0 B为三角形的内角 sinB 0 cosC C为三角形的内角 C 2 S absinC c sinC c ab 又c2 a2 b2 2abcosC a2 b2 ab a2 b2 ab 3ab ab 12 当且仅当a b时取等号 故ab的最小值为12 考点三解三角形与三角函数的交汇问题 例设函数f x cos2x sinxcosx 1 求f x 在上的值域 2 已知 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若f B C a b c 7 求 ABC的面积 解析 1 f x cos2x sinxcosx cos 1 因为x 所以2x 所以 cos 1 所以 cos 1 2 所以函数f x 在上的值域为 2 由f B C cos 1 得cos 又A 0 得A 在 ABC中 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccos b c 2 3bc 又a b c 7 所以5 49 3bc 解得bc 所以 ABC的面积S bcsin 方法归纳 与解三角形有关的交汇问题的关注点 1 根据条件恰当选择正弦 余弦定理完成边角互化 2 结合三角形内角和定理 面积公式等 灵活运用三角恒等变换公式 已知向量a b sinx sinx f x a b 1 求函数f x 的最小正周期及f x 的最大值 2 在锐角 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若f 1 a 2 求 ABC面积的最大值 解析 1 易得a sinx cosx 则f x a b sin2x sinxcosx cos2x sin2x sin 所以f x 的最小正周期T 当2x 2k k Z时 即x k k Z时 f x 取最大值 2 因为f sin 1 所以sin A 因为a2 b2 c2 2bccosA 所以12 b2 c2 bc 所以b2 c2 bc 12 2bc 所以bc 12 当且仅当b c时等号成立 所以S ABC bcsinA bc 3 所以当 ABC为等边三角形时面积取最大值3