2019高考数学二轮复习 第4讲 导数的综合应用课件 理.ppt

第4讲导数的综合应用 总纲目录 考点一利用导数证明不等式 例 2018课标全国 文 21 12分 已知函数f x aex lnx 1 1 设x 2是f x 的极值点 求a 并求f x 的单调区间 2 证明 当a 时 f x 0 解析 1 f x 的定义域为 0 f x aex 由题设知 f 2 0 所以a 从而f x ex lnx 1 f x ex 当02时 f x 0 所以f x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 2 当a 时 f x lnx 1 设g x lnx 1 则g x 当01时 g x 0 所以x 1是g x 的最小值点 故当x 0时 g x g 1 0 因此 当a 时 f x 0 方法总结利用导数证明不等式的常用方法 1 证明f x g x x a b 可以构造函数F x f x g x 若f x 0 则F x 在 a b 上是增函数 同时若F a 0 由增函数的定义可知 x a b 时 有F x 0 即证明了f x g x 方法归纳 用导数证明不等式的方法 1 利用单调性 若f x 在 a b 上是增函数 则 x a b 有f a f x f b x1 x2 a b 且x1 x2 有f x1 f x2 对于减函数有类似结论 2 利用最值 若f x 在某个范围D内有最大值M 或最小值m 则 x D 有f x M 或f x m 3 证明f x g x 可构造函数F x f x g x 证明F x 0 设函数f x ax2 lnx 曲线y f x 在x 2处与直线2x 3y 0垂直 1 求函数f x 的单调区间 2 当x 1时 证明 f x e1 x 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x 2ax 由已知 得f 2 即4a 所以a 所以f x x 由f x 0 得x 1 由f x 1 则g x x e1 x e1 x 令h x ex 1 x x 1 则h x ex 1 1 当x 1时 h x 0 所以h x 在 1 上为增函数 所以h x h 1 0 所以 e1 x 0 即 e1 x 所以g x x 而x 0 所以g x 0 所以g x 在 1 上为增函数 所以g x g 1 0 即f x e1 x 考点二利用导数解决不等式恒成立 存在性问题 例1 2018陕西质检一 设函数f x lnx k R 1 若曲线y f x 在点 e f e 处的切线与直线x 2 0垂直 求f x 的单调性和极小值 其中e为自然对数的底数 2 若对任意的x1 x2 0 f x1 f x2 x1 x2恒成立 求k的取值范围 解析 1 由条件 得f x x 0 曲线y f x 在点 e f e 处的切线与直线x 2 0垂直 f e 0 即 0 k e f x x 0 由f x 0 得x e f x 在 0 e 上单调递减 在 e 上单调递增 当x e时 f x 取得极小值 且极小值为f e lne 2 f x 的极小值为2 2 由题意知 对任意的x1 x2 0 f x1 x10 则h x 在 0 上单调递减 h x 1 0在 0 上恒成立 当x 0时 k x2 x 恒成立 k 故k的取值范围是 方法归纳破解此类以函数为背景的不等式恒成立问题需要 一构造 一分类 一构造 是指通过不等式的同解变形 构造一个与背景函数相关的函数 一分类 是指在不等式恒成立问题中 常需对参数进行分类讨论 求出参数的范围 有时也可以利用分离参数法 即将不等式分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题 利用导数求该函数的最值 一般地 a f x 对x D恒成立 只需a f x max a f x 对x D恒成立 只需a f x min 设a R 已知函数f x ax3 3x2 1 求函数f x 的单调区间 2 设g x f x f x 若 x 1 3 有g x 0 求实数a的取值范围 解析 1 f x 3ax2 6x 当a 0时 f x 6x 令f x 0 得x0 当a 0时 令f x 0 得x 或x0 得0 综上所述 当a 0时 f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 0 当a 0时 f x 的单调递增区间为 0 单调递减区间为 当a 0时 f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 0 2 依题意 x 1 3 ax3 3x2 3ax2 6x 0 等价于不等式a 在x 1 3 有解 令h x x 1 3 则h x 0 所以h x 在 1 3 上是减函数 所以h x 的最大值为h 1 所以a 即实数a的取值范围为 考点三利用导数研究函数的零点或方程的根 例 2018课标全国 文 21 12分 已知函数f x x3 a x2 x 1 1 若a 3 求f x 的单调区间 2 证明 f x 只有一个零点 解析 1 当a 3时 f x x3 3x2 3x 3 f x x2 6x 3 令f x 0 解得x 3 2或x 3 2 当x 3 2 3 2 时 f x 0 当x 3 2 3 2 时 f x 0 所以f x 0等价于 3a 0 设g x 3a 则g x 0 当且仅当x 0时g x 0 所以g x 在 上单调递增 故g x 至多有一个零点 从而f x 至多有一个零点 又f 3a 1 6a2 2a 6 0 故f x 有一个零点 综上 f x 只有一个零点 利用导数研究函数零点的方法 方法一 1 利用导数求出函数f x 的单调区间和极值 2 根据函数f x 的性质作出图象 3 判断函数零点的个数 方法二 1 利用导数求出函数f x 的单调区间和极值 2 分类讨论 判断函数零点的个数 方法总结 方法归纳 三步解决方程解 或曲线公共点 的个数问题第一步 将问题转化为函数的零点个数问题 进而转化为函数的图象与x轴 或直线y k 在该区间上的交点个数问题 第二步 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 极值 端点值等性质 进而画出其图象 第三步 结合图象求解 已知函数f x ex 1 g x x 其中e是自然对数的底数 e 2 71828 1 证明 函数h x f x g x 在区间 1 2 上有零点 2 求方程f x g x 的根的个数 并说明理由 解析 1 由题意 可得h x f x g x ex 1 x 所以h 1 e 30 所以h 1 h 2 0 所以函数h x 在区间 1 2 上有零点 2 方程f x g x 的根的个数为2 理由如下 由 1 可知 h x f x g x ex 1 x 由g x x知x 0 而h 0 0 则x 0为h x 的一个零点 又h x 在 1 2 内有零点 所以h x 在 0 上至少有两个零点 又h x ex 1 记 x ex 1 则 x ex 当x 0 时 x 0 所以 x 在 0 上单调递增 易知 x 在 0 内只有一个零点 则h x 在 0 上有且只有两个零点 所以方程f x g x 的根的个数为2